Espaces vectoriels symplectiques

 

 

Exemple:
Si F est un espace vectoriel de dimension finie et F^* son dual, alors muni de la forme:

est un espace vectoriel symplectique. En effet, la forme est bilinéaire et antisymétrique (évident) et non dégénérée car si il existe tel que:

alors , on choisit tout d'abord x=0, on obtient

donc x'=0 puisque F^**=F. On en déduit:

donc également.

 

Preuve: est injectif car entraîne donc x=0 puisque la forme bilinéaire est non dégénérée.

 

 

Preuve

Les cinq premières propriétés se démontrent directement ou en utilisant le fait que où désigne l'orthogonal de dans E^*. La sixième propriété est une conséquence des deux premières.

Pour la septième, si L est isotrope maximal, supposons qu'il existe , alors est isotrope, car si l et l' appartiennent à L:

Ce qui contredit la maximalité de L, donc L est lagrangien.

Huitième propriété: si L est lagrangien,

Réciproquement, si dimE=2dimL, alors dimL=dim , comme on sait aussi que (L est isotrope), on en déduit .

Neuvième propriété: Soit L isotrope, si L est maximal, c'est terminé (L est lagrangien). Sinon il existe un espace vectoriel L₁ isotrope et qui contient strictement L, on recommence le processus avec L₁, comme dim dimL+1, après un nombre fini d'étapes, on doit tomber sur un isotrope maximal puisque la dimension de E est finie.

 

Preuve:
Soit M un sev de E tel que:

On va faire grossir ce sous-espace isotrope M jusqu'à en faire un espace lagrangien L'.

Si , c'est terminé car M est lagrangien, on a alors dimL=dim dimE, donc L et M sont supplémentaires.

Sinon, car dim dimL>dimE. Comme , n'est pas contenu dans M, donc en passant aux orthogonaux, n'est pas contenu dans M+L. On choisit un vecteur qui n'est pas élément de M+L et on pose . Le sev M₁ est encore isotrope (car ) et vérifie car e n'appartient pas à M+L.

On a donc montré l'existence d'un supplémentaire lagrangien de L. Soit une base de L' et considérons la base duale de dans E^*. On pose alors:

où on rappelle que est l'isomorphisme entre E et E^* induit par la forme bilinéaire . Alors est une base de L'. En effet:

• puisque

  

  donc car L' est lagrangien,

• est une famille libre comme image réciproque d'une famille libre par un isomorphisme.

On vérifie alors que la matrice de dans la base a la forme du théorème.

 

 

Exemple:
Considérons muni de la forme bilinéaire canonique:

Alors A est un endomorphisme symplectique de E si detA=1. En effet, écrivons:

alors:

 

Preuve:
Si Ax=0 alors:

donc x=0 car est non dégénérée.