Spin

  L'opérateur de Schrödinger libre est invariant par rotation, il commute avec les générateurs des rotations:

Ce qui traduit le fait que l'hamiltonien H=p²/2m est invariant par rotation. Ce n'est pas le cas du hamiltonien de Dirac

car les ne bougent pas lors d'une rotation. Pour rendre H invariant, il faut rajouter à la rotation du repère une rotation ``interne'' qui agisse sur les matrices pour pouvoir considérer comme un gradient (où on remplace par un espace de dimension 3 engendré par les matrices ).

Considérons par exemple une rotation autour de x₃ (correspondant à ). Il faut trouver le générateur de la rotation correspondant dans l'espace des . Or:

Donc on pose:

et de même par permutation circulaire S₁ et S₂. Le moment cinétique total:

commute avec H et est donc globalement conservé, sa composante interne S est appelé le spin. On remarque aussi que S_j²=1/4 donc le spin selon une direction possède deux valeurs propres . L_j commute avec S_k, on peut donc conclure que J_j admet comme valeurs propres des entiers+1/2.