% Merci a Yannick Chevallier pour la version mathjax-enabled
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\newenvironment{preuve}{{\bf Preuve~:}}{}

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\newtheorem{coro}[prop]{Corollaire}
\newtheorem{remarque}[prop]{Remarque}


%\theoremstyle{definition}

\newtheorem{defn}[prop]{D\'{e}finition}
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\newtheorem{exs}[prop]{Exemples}
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\newtheorem{rems}[prop]{Remarques}
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\medskip
\end{flushleft}}
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% \renewcommand{\cuttingunit}{subsection} (add HEVEA after % for hacha)
\input{giacfr.tex}
\ifhevea
\(
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\)
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%HEVEA\htmlfoot{Retour \`a la page principale de \ahref{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/\home{parisse}/giac_fr.html}{Giac/Xcas}.}
\giacmathjax
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\begin{document}
\title{Formes quadratiques, s\'eries de Fourier (Mat404)}
\date{Derni\`ere r\'evision par B. Parisse, mai 2021}

\begin{giacjshere}

\maketitle

\tableofcontents

\printindex

%\newpage
\chapter{Motivations}
Les s\'eries de Fourier permettant d'\'ecrire une
fonction p\'eriodique (par exemple un signal p\'eriodique) comme une somme de fonctions
p\'eriodiques fondementales (sinus et cosinus, ou exponentielle
imaginaire pure). Le but est de simplifier la r\'esolution
de probl\`emes qui v\'erifient le principe de superposition
et faisant intervenir des fonctions p\'eriodiques
en se ramenant \`a ces fonctions p\'eriodiques fondementales.

Exemple: \'ecriture approch\'ee de $\frac{1}{2+\sin(t)}$ comme
somme de fonctions sinusoides fondementales
$$ \frac{\sqrt{3}}{3}+ \frac{-14 \sqrt{3}+24}{3} \cos\left(2\cdot t\right)+\frac{194 \sqrt{3}-336}{3} \cos\left(4\cdot t\right)+\frac{52 \sqrt{3}-90}{3} \sin\left(3\cdot t\right)+\frac{-4 \sqrt{3}+6}{3} \sin\left(t\right)$$
\begin{giaconload}
f1:=1/(2+sin(t));
g1:=(sqrt(3))/3+(-14*sqrt(3)+24)/3*cos(2*t)+(194*sqrt(3)-336)/3*cos(4*t)+
(52*sqrt(3)-90)/3*sin(3*t)+(-4*sqrt(3)+6)/3*sin(t);
plot([f1,g1],t,-pi,pi,color=[red,blue]);
\end{giaconload}
Il faut vraiment zoomer pour voir la diff\'erence
\begin{giaconload}
plot([f1,g1],t,-0.1,0.1,color=[red,blue]);
\end{giaconload}

Une application imm\'ediate des s\'eries de Fourier est l'analyse d'un son. 
Si on gratte sur une corde de guitare,
on observe un ph\'enom\`ene p\'eriodique en temps, qui se d\'ecompose
en une somme de sinusoides dont la fr\'equence est un
multiple entier de la fr\'equence de base. Pour une m\^eme note de
musique (par exemple un la \`a 440Hz), une guitare, un piano, une
flute ne donneront pas le m\^eme son parce que les harmoniques sont
diff\'erents.
Voici 2 sons\index{son} purs
de fr\'equence 440Hz et 880Hz,
et deux sons de fr\'equence de base 440Hz
avec une harmonique n'ayant pas le m\^eme coefficient.\\
\ifhevea
\giacinput{omega:=2*pi*440;
s1:=sin(omega*soundsec(1)):;
s2:=sin(2*omega*soundsec(1)):;
playsnd(2^14*s1);}
\giacinput{playsnd(2^14*s2);}
\giacinput{playsnd(2^14*(s1+s2));}
\giacinput{playsnd(2^14*(s1+2*s2));}
\giacinput{playsnd(2^14*(2*s1+s2));}
\else
\verb|omega:=2*pi*440;|\\
\verb|s1:=sin(omega*soundsec(1)):;|\\
\verb|s2:=sin(2*omega*soundsec(1)):;|\\
\verb|playsnd(2^14*s1);|\\
\verb|playsnd(2^14*s2);|\\
\verb|playsnd(2^14*(s1+s2));|\\
\verb|playsnd(2^14*(s1+2*s2));|
\fi
N.B.~: la commande \verb|l:=soundsec(t)| renvoie une liste
$l$ de r\'eels de la forme $k/44100$ pour $k \in [0,44100*t]$,
par exemple\\
\giacinput{1.0/44100; soundsec(0.0002)}\\
Ceci permet de g\'en\'erer un son de dur\'ee $t$ secondes
\'echantillon\'e \`a 44.1 kHz
(qualit\'e sonore d'un CD audio) pour la commande \verb|playsnd|.
Si on calcule $\sin(2\pi f l)$, on obtient la liste des sinus des
r\'eels $\sin(2\pi f k/44100)$, si on en trace la repr\'esentation
graphique (avec en abscisse $k$) on obtient une sinusoide avec
$f$ p\'eriodes.
\giacinput{f:=2; omega:=2*pi*f;plotlist(2^14*sin(omega*soundsec(1))}

On pourrait ainsi num\'eriser le son en
stockant les coefficients des sinusoides pour la fr\'equence
de base et de ses multiples (les harmoniques) jusqu'\`a la limite de sensibilit\'e
de l'oreille humaine. D'une certaine mani\`ere c'est ce que fait une
partition de musique en donnant une succession de notes d'une certaine
dur\'ee \`a jouer par des instruments de musique (chaque note jou\'ee
par un instrument correspondant en quelques sorte \`a une s\'erie
de Fourier).
Si on repr\'esente graphiquement la liste des coefficients des harmoniques
en fonction des multiples de la fr\'equence de base, on obtient
le spectre, qui donne une description compl\`ete du son (et qu'on peut
manipuler avec des logiciels comme \ahref{https://audacity.fr}{audacity}
par exemple faire l'analyse spectrale du son, supprimer des
harmoniques trop aig\"ues...). Voir par exemple 
\ifpdf
\href{https://www.lpsm.paris/pageperso/mazliak/DecompositionSpectrale.pdf}{ce
document}
\else
\ahref{https://www.lpsm.paris/pageperso/mazliak/DecompositionSpectrale.pdf}{ce
document}
\fi

Plus g\'en\'eralement, on parle
d'{\bf analyse spectrale}\index{spectrale, analyse}. Cette id\'ee de d\'ecomposer en somme de
fonctions p\'eriodiques``pures'' s'applique \`a diverses
g\'en\'eralisations 
des s\'eries de Fourier : la transform\'ee de Fourier (qui peut servir
\`a comprendre la lumi\`ere, les couleurs correspondant \`a des
fr\'equences, mais vues comme un param\`etre continu variant dans
$\mathbb{R}^+$ et non discret restreint aux harmoniques d'une
fr\'equence de base),
et la transform\'ee de Fourier discr\`ete, adapt\'ee au calcul sur machine.

Un exemple plus math\'ematique, si on veut r\'esoudre une \'equation diff\'erentielle
lin\'eaire \`a coefficients constants avec second membre p\'eriodique
(ressort soumis \`a un for\c{c}age p\'eriodique en temps, 
circuit RLC soumis \`a une source p\'eriodique en temps, ...),
on a des formules simples pour trouver une solution particuli\`ere
si le second membre est un sinus ou un cosinus (imp\'edance complexe).
Le principe de superposition s'applique (pour obtenir la solution
particuli\`ere correspondant \`a un second membre somme de deux
fonctions, il suffit de faire la somme des solutions particuli\`eres
correspondant \`a chacune des deux fonctions). 
Bien sur, on sait r\'esoudre ces \'equations diff\'erentielles avec un
second membre quelconque, mais la forme de la solution n'est
pas toujours explicite\\
\giacinputmath{desolve(x''+3x'+2x=f1,t,x)}
et m\^eme si elle l'est, elle peut \^etre
compliqu\'ee et ne pas faire apparaitre certaines propri\'et\'es.
L'existence
de certains ph\'enom\`enes, par exemple d'une fr\'equence
de r\'esonance ou d'un filtre passe-haut ou passe-bas, 
et la d\'ecomposition en somme de fr\'equences
va permettre de mettre en \'evidence des propri\'et\'es de la solution
particuli\`ere plus facilement\\
\giacinputmath{desolve(x''+3x'+2x=(-14*sqrt(3)+24)/3*cos(2*t),t,x)}

Historiquement, les s\'eries de Fourier ont \'et\'e invent\'ees par
Fourier pour r\'esoudre le probl\`eme de la diffusion de la chaleur.
On ne sait pas r\'esoudre analytiquement l'\'equation de la chaleur,
mais on va voir qu'on sait le faire lorsqu'on d\'ecompose la temp\'erature initiale 
en somme de cosinus.
On va aussi voir que la m\'ethode utilis\'ee pour 
l'\'equation de la chaleur est suffisamment g\'en\'erale
pour s'appliquer dans d'autes cas, par exemple pour l'\'equation des
ondes (qui elle se r\'esoud analytiquement).

Math\'ematiquement, les concepts qui interviennent sont~
\begin{enumerate}
\item de l'alg\`ebre lin\'eaire (principe de superposition)
\item des sommes (de fonctions
sinusoides) qui ne sont pas finies (puisqu'il y a une infinit\'e de multiples
entiers d'une fr\'equence de base), on les appelle des {\bf s\'eries}
\item ces s\'eries sont plus difficiles \`a \'etudier que des sommes
de nombres r\'eels, car il s'agit de fonctions. Pour donner un sens
\`a la valeur d'une somme infinie de fonctions, il faut donner un sens
\`a \^etre petit pour une fonction, pour les s\'eries de Fourier, le bon cadre pour
cela est l'alg\`ebre bilin\'eaire et les formes quadratiques.
\item Les formes quadratiques particuli\`eres qui interviennent pour les
s\'eries de Fourier sont des produits scalaires qui g\'en\'eralisent
le produit scalaire usuel dans $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$. D'autres formes
quadratiques ont des applications en physique, par exemple
les trajectoires du probl\`eme \`a 2 corps (un astre en orbite autour
d'un autre) sont des coniques dont
l'\'equation cart\'esienne fait intervenir une forme quadratique, ou encore la
relativit\'e qui fait intervenir des formes quadratiques qui ne sont pas
des produits scalaires, ou la m\'ecanique quantique o\`u les fonctions
d'ondes sont des vecteurs de norme 1 d'un $\mathbb{C}$-espace vectoriel muni d'un 
produit scalaire (hermitien).
\end{enumerate}

\section{L'\'equation de la chaleur.}\index{chaleur, \'equation de la}\index{equation de la chaleur}
Consid\'erons une tige chauff\'ee de fa\c con inhomog\`ene, par
exemple une tige m\'etallique qui vient de servir \`a remuer les braises
d'un feu de bois. 
Comment se diffuse la chaleur dans cette tige ?

On a donc une tige de longueur finie $L$ dont 
la temp\'{e}rature initiale (au temps $t=0$) en un point d'abscisse 
$x$ est donn\'{e}e par une fonction 
$T_{\mbox{init}}(x) =T(x,t=0), \ x \in [0,L]$.
Dans l'exemple de la tige retir\'ee du feu de bois, si l'extr\'emit\'e de la tige est en $x=L$,
alors $T_{\mbox{init}}(x)$ est une fonction croissante de $x$ ($T_{\mbox{init}}(L)$ vaut
peut-etre 100 degr\'es, alors que $T_{\mbox{init}}(0)$ est proche de 20 degr\'es).
On suppose que les \'echanges de chaleur entre la tige et l'air sont 
n\'egligeables et que les extremit\'es de la tige sont au contact d'un parfait
isolant, ce qui implique qu'il n'y a pas de flux de chaleur \`a travers 
ces extr\'emit\'es.
En particulier le gradient de la temp\'erature y est nul.  
On veut comprendre comment la chaleur se diffuse dans la barre avec 
le temps ; autrement dit, si $T(x,t)$ est la temp\'erature dans la
tige au point $x$ 
en un temps $t$, alors on
veut comprendre l'\'evolution de la valeur de $T(x,t)$ avec $t$. 

Si la temp\'erature croit lorsque $x$ augmente,
la chaleur va aller vers les $x$ d\'ecroissant, d'autant plus vite que
$\frac{\partial T}{\partial x}$ est grand. Si on consid\`ere un petit \'el\'ement
de tige entre $x$ et $x+dx$, la chaleur entrante en $x+dx$ est
proportionelle \`a $\frac{\partial T}{\partial x}(x+dx)$ et la chaleur sortante
en $x$ \`a $\frac{\partial  T}{\partial x}(x)$ donc on a un bilan de chaleur
entrant de 
$\frac{\partial T}{\partial x}(x+dx)-\frac{\partial  T}{\partial x}(x)$, qui va r\'echauffer
le morceau de tige entre $x$ et $x+dx$, donc est
proportionnel \`a $\frac{\partial T}{\partial t} dx$
Les lois de la physique entrainent donc que $T$ doit satisfaire \`a 
l'\'equation, dite \'equation de la chaleur :
\[\frac{\partial T}{\partial t}= k \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} \]
o\`u $k$ est une constante positive
(la {\it diffusivit\'e}) qui d\'epend du mat\'eriau (proportionnelle
\`a  sa conductivit\'e thermique).

Nous avons en plus les conditions au bord \[\frac{\partial T}{\partial x}(0,t)= 
\frac{\partial T}{\partial x}(L,t)= 0 \ \mbox{ pour tout }\ t,\] 
qui traduisent l'absence de flux de chaleur \`a travers les extr\'emit\'es, et
la condition initiale \[T(x,t=0)= T_{\mbox{init}}(x).\] 
Oublions d'abord la condition $T(x,0)=T_{\mbox{init}}(x)$. Autrement dit, on cherche 
les solutions v\'{e}rifiant seulement les conditions au bord 
\[\frac{\partial T}{\partial x}(0,t)=
\frac{\partial T}{\partial x}(L,t)= 0 \ \mbox{ pour tout }\ t.\]
L'\'equation \'etant beaucoup trop compliqu\'ee pour \^etre r\'esolue 
avec les m\'ethodes dont nous disposons actuellement, nous allons 
commencer par simplement chercher des {\it exemples} de fonctions qui la satisfont.
Les fonctions {\it \`a variables s\'epar\'ees} (c'est-\`a-dire s'\'ecrivant dans la forme 
$T(x,t)=f(x)g(t)$) sont
une source f\'econde d'exemples satisfaisant \`a des \'equations aux d\'eriv\'ees
partielles, puisque de telles \'equations se simplifient souvent dans
ce cas. 
Nous commencerons donc 
par chercher des solutions de la forme $T(x,t)=f(x)g(t)$. 
On a alors~:
$$f(x)g'(t)=kf''(x)g(t),$$  
soit $$\frac{f''(x)}{f(x)}=\frac{g'(t)}{kg(t)},$$
au moins sur la r\'egion ou ni $f$ ni $g$ ne s'annule.
Notons que le membre de gauche est une fonction qui ne d\'epend que de $x$ et
le membre de droite est une fonction qui ne d\'epend que de $t$ :
comme $x$ et $t$ sont ind\'{e}pendantes, cela implique qu'il 
existe $\alpha\in\mathbb{R}$ tel que 
$$\frac{f''(x)}{f(x)}=\frac{g'(t)}{kg(t)}=\alpha.$$
Ainsi, on a $$f''(x)-\alpha f(x)=0$$ et $$g'(t)-k\alpha g(t)=0.$$
On a donc $g(t)=\lambda e^{k\alpha t}$ pour $\lambda\in\mathbb{R}$, et donc 
$g(t)\neq 0$ pour tout $t\geq 0$ (car on cherche $T$ non identiquement nulle).
La contrainte 
\[\frac{\partial T}{\partial x}(0,t)=\frac{\partial T}{\partial x}(L,t)
=0\] entra\^{\i}ne alors $f'(0)=f'(L)=0$. Pour r\'esoudre l'\'equation en $f$ il nous faut 
maintenant distinguer 3 cas.
\begin{enumerate}
\item 
Cas 1 : $\alpha=0$. On a alors $f''(x)=0$, et donc $f(x)=b_0x+a_0$. Les conditions $f'(0)=f'(L)=0$ imposent alors facilement $f(x)=a_0$ pour tout $x$. 
On a donc une 
premi\`ere solution de base
\[T_0(x,t)=1.\]
\item Cas 2 : $\alpha>0$. On peut exclure ce cas par des
  consid\'erations physiques, car $g$ serait exponentiellement
  croissante. 
D'un point de vue math\'ematique, on peut alors 
poser $\alpha=\omega^2$ et  $f$ est de la forme 
$f(x)=a e^{\omega x}+ be^{-\omega x}$. Les conditions que $f'(0)=0$ et $f'(L)=0$ impliquent 
alors $a=b=0$, et $f$ est identiquement nulle, ce qui est exclu.
 \item Cas 3 : $\alpha<0$. On peut alors poser $\alpha=-\omega^2$
et  $$f(x)=a\cos(\omega x)+b\sin(\omega x), a,b,\in\mathbb{R}.$$
Puisque $f'(0)=0$ on a $b=0$, et puisque $f'(L)=0$ on a $a\sin(\omega L)=0$. Puisque l'on cherche $T$ non nulle, on a 
$a\neq 0$ et donc $\sin(\omega L)=0$. 

Ainsi $\omega L=\pi n$ pour $n\geq 0$ entier (remarque~: ceci quantifie les
$\omega$ possibles qui prennent une suite discr\`ete de valeurs), et donc pour chaque $n$, on a une 
solution de la forme 
$$T_n(x,t)=\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-\frac{\pi^2 n^2}{L^2}kt}.$$
\end{enumerate}
Pour chaque entier positif $n\geq 0 $ nous avons donc une solution de l'\'equation de la chaleur
 $$T_n(x,t)=\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-\frac{\pi^2 n^2}{L^2}kt}.$$
(Nous pouvons int\'egrer la solution $T_0(x,t)=1$ dans cette famille de solutions
en consid\'erant qu'il s'agit de  $T_0(x,t)= \cos(0x)e^{-0t}$.)
La condition initiale $T_{\mbox{init},n}(x)$ correspondant \`a la solution $T_n(x,t)$
 est donn\'ee par $T_{\mbox{init},n}(x)= T_n(x,0)$, c'est \`a dire  
\[ T_{\mbox{init},n}(x)= \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right).\]
Nous avons donc trouv\'e une solution \`a l'\'equation de la chaleur pour certaines conditions initiales
bien particuli\`eres, c'est \`a dire certains cosinus. 
Est ce qu'on peut en construire d'autres solutions pour d'autres conditions 
initiales ?\\ \\
Notons tout d'abord que 
l'\'equation de la chaleur \`a une propri\'et\'e tr\`es utile :
\begin{rem}[Lin\'earit\'e de l'\'equation de la chaleur.]
 Si $T_1(x,t)$
et $T_2(x,t)$ sont deux solutions \`a l'\'equation de la chaleur alors 
pour tous r\'eels $\lambda, \mu\in \mathbb{R}$ 
\[ T(x,t)= \lambda T_1(x,t)+\mu T_2(x,t)\]
est encore une solution de cette \'equation.
(Une telle fonction est appell\'ee une {\it combinaison lin\'eaire} de $T_1$ et $T_2$). 
On dit alors que l'\'equation de la 
chaleur est une {\bf \'equation lin\'eaire}.
\end{rem} 
{\bf Exercice.} D\'emontrer que l'\'equation de la chaleur est une \'equation
lin\'eaire.\\ \\
En particulier, toute fonction qui est une combinaison 
lin\'eaire finie
\[T(x,t)=\lambda_0 T_0(x,t)+\lambda_1 T_1(x,t)+\lambda_2T_2(x,t)+\ldots +\lambda_n T_n(x,t)\] 
avec des nombres r\'eels $\lambda_0, \ldots, \lambda_n$ est encore
une solution de l'\'equation de la chaleur. Cette solution corresponde \`a la 
condition initiale \[T_{\mbox{init}}(x)=T(x,0)\] c'est \`a dire
\[T_{\mbox{init}} (x)= \lambda_0+
\lambda_1 \cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)+\lambda_2\cos\left(\frac{2 \pi x}{L}\right)
+\ldots + \lambda_n\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right).\]
Nous savons donc trouver une solution pour l'\'equation de la chaleur pour certaines  
conditions initiales bien particuli\`eres : celles qui s'\'ecrivent  comme des
sommes finies de cosinus. \\ \\
Et il vient assez naturellement l'id\'ee : {\it Peut-on r\'esoudre cette \'equation de la m\^eme
  fa\c{c}on pour
une condition initiale $T_{\mbox{init}}$ quelconque en l'\'ecrivant comme une ``somme infinie''
de cosinus ?} \\ \\
%Supposons que pour chaque $n$ on choisisse, parmi les fonctions de la forme
%\[ \lambda_0+\lambda_1 \cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)+
%\lambda_2\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right)
%+\ldots + \lambda_n\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\]
%celle qui est ``la plus proche'' de $T_{\mbox{init}}$, appelons-la $S_n(T_{\mbox{init}})$. 
%On a alors une suite infinie 
%de fonctions $S_1(T_{\mbox{init}})$, $S_2(T_{\mbox{init}})$,$\ldots$, qui 
%approchent ``de mieux en mieux'' la fonction $T_{\mbox{init}}$. Pour chaque
%condition initiale $S_n(T_{\mbox{init}})$ il existe
%une solution $T_n(T_{\mbox{init}})$ de l'\'equation de la 
%chaleur : peut-\^etre quand $n\rightarrow \infty$ aura-t-on que :
%\begin{enumerate}
%\item la suite
% $S_n(T_{\mbox{init}})$ converge vers $T_{\mbox{init}}$ et
%\item  
%la suite $T_n(T_{\mbox{init}})$ converge vers une solution de l'\'equation de la 
%chaleur pour la condition initiale
%$T_{\mbox{init}}$ ?
%\end{enumerate} 

\begin{remarque}
La m\'ethode de s\'eparation de variables s'applique
aussi \`a l'\'equation de Schr\"odinger, ici pour une particule
de masse $m$ et charge $q$ soumise \`a un potentiel $V(x)$ en dimension 1 d'espace,
et permet de trouver les \'etats stationnaires~:
$$ i \hbar \frac{\partial \varphi}{\partial t}=
\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2} +qV(x)
\right) \varphi$$
Si on pose $\varphi(x,t)=f(x)g(t)$, on a 
$$ i \hbar f(x) g'(t)=\left(-\frac{\hbar^2}{2m}f''(x)+qV(x) f(x)\right) g(t)$$
Donc 
$$ i \hbar
\frac{g'(t)}{g(t)}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{f''(x)}{f(x)}+qV(x)= E$$
constant, c'est le niveau d'\'energie de la particule que l'on trouve
en r\'esolvant l'\'equation en $x$ (pour un potentiel qui pi\`ege la
particule, on trouve, comme pour l'\'equation de la chaleur, que seules
certaines valeurs de $E$ conviennent), alors qu'en $t$, on a
$$ g(t)=e^{-i\frac{Et}{\hbar}} g(0)$$
\end{remarque}

\section{L'\'equation des ondes.}\index{ondes, \'equation des}
\index{equation des ondes}
Pour illustrer que la m\'ethode utilis\'ee pour l'\'equation de
la chaleur est pertinente, nous allons voir qu'elle peut s'appliquer \`a
une \'equation que l'on sait r\'esoudre autrement~: l'\'equation
des ondes.

Un fil horizontal
de longueur $L$, soumis \`a une tension $T$ et de densit\'e lin\'eaire
$\mu$, est tenu aux deux extremit\'es. Par exemple une corde de
guitare de longueur $L=3$ pinc\'ee en un point d'abscisse 1 et
d'ordonn\'ee tr\`es petite (0.2 sur le dessin) aura le profil suivant
\begin{giaconload}
gl_ortho=1; L:=3; P:=point(1,0.2); segment(0,P);segment(P,L);
\end{giaconload}
Au temps $t=0$ il
est relach\'e et se met \`a osciller librement dans un plan vertical.\\ \\
Soit $y(x,t) $ la fonction \'egale au d\'eplacement vertical\footnote{par rapport \`a l'\'equilibre}
\`a l'instant $t$ de la partie du fil qui se trouve (\`a l'\'equilibre) \`a une distance $x$ d'une 
des extremit\'es.
\\
 Nous avons cette fois les conditions aux bords
\[ y(0, t)= y(L,t)=0,\]
qui traduisent le fait que le fil est attach\'e aux extr\'emit\'es.
Si le d\'eplacement initial du fil est d\'ecrit par la fonction $y_{\mbox{init}}(x)$ alors nous avons
aussi les conditions initiales \[y(x,0)= y_{\mbox{init}}(x)\ \mbox{ et }\ \frac{\partial y}{\partial t}(x,0)=0,\]
cette derni\`ere condition traduisant le fait que le fil est rel\^ach\'e \`a l'instant $t=0$
et se trouve donc \`a ce moment-l\`a au repos. 

Si on consid\`ere le morceau de fil compris entre les abscisses $x$ et
$x+dx$, il est soumis \`a deux forces~: 
\begin{itemize}
\item en $x+dx$, une traction
d'intensit\'e $T$ de direction et sens 
le vecteur directeur de la tangente $(1,y'(x+dx))$
\item en $x$, une traction oppos\'ee port\'ee par $(1,y'(x))$
\end{itemize}
Le principe fondemental de la dynamique donne alors
$$ \mu \frac{\partial ^2 y}{\partial t^2} dx = T(y'(x+dx)-y'(x))$$
L'\'evolution de $y$ est d\'ecrite (au premier ordre, car on a
fait comme si le vecteur $(1,y')$ \'etait norm\'e, et on n'a pas tenu
compte de la possible variation locale de tension si $y'$ est non nul)
par l'\'equation des ondes
\[ \frac{\partial ^2 y}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\]
o\`u $c$ est la constante positive $c^2=\frac{T}{\mu}$.

On sait d\'eterminer la solution de cette \'equation, on prolonge
$y_{\mbox{init}}$ par p\'eriodicit\'e (p\'eriode $L$), on a alors~:
$$ y(x,t)=\frac{1}{2}(y_{\mbox{init}}(x+ct)+y_{\mbox{init}}(x-ct))$$
Cherchons comme ci-dessus des solutions de la forme $f(x)g(t)$. 
 On a alors
$$f(x)g''(t)=c^2f''(x)g(t),$$
soit $$\frac{f''(x)}{f(x)}=\frac{g''(t)}{c^2g(t)}.$$
Notons que le membre de gauche est une fonction qui ne d\'epend que de $x$ et
le membre de droite est une fonction qui ne d\'epend que de $t$ :
comme $x$ et $t$ sont deux variables ind\'{e}pendantes, cela implique qu'il
existe $\alpha\in\mathbb{R}$ tel que
$$\frac{f''(x)}{f(x)}=\frac{g''(t)}{c^2g(t)}=\alpha.$$
Ainsi, on a $$f''(x)-\alpha f(x)=0\ \mbox{ et }\ g''(t)-c^2\alpha g(t)=0.$$
Le m\^eme raisonnement que ci-dessus nous montre que  cette \'equation a une solution
telle que  $y(0,t)= y(L, t)=0$ si et seulement si il existe un entier $n$ tel que
$\alpha= -\frac{n^2\pi^2}{L^2}$ et dans ce cas on a une solution donn\'ee par
\[ y_n(x,t)= \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\cos\left(\frac{ cn\pi t}{L}\right)
.\] 
Ceci nous donne une solution au probl\`eme pour une condition initiale
\[ Y_n(x)= \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right).\]
On v\'erifie bien que $y_n(x,t)=\frac{1}{2} (Y_n(x+ct)+Y_n(x-ct))$
\begin{rem} L'\'equation des ondes est encore une \'equation lin\'eaire,
\end{rem} 
{\bf Exercice} D\'emontrer que l'\'equation des ondes est lin\'eaire.\\ \\
Puisque  la fonction $y_n(x,t)$ est une solution pour chaque $n$, 
toute combinaison
lin\'eaire finie
\[y(x,t)=\lambda_1 y_1(x,t)+\lambda_2y_2(x,t)+\ldots +\lambda_k y_k(x,t)\] 
ou les $\lambda_k$ sont des nombres r\'eels est encore
une solution de l'\'equation de la chaleur. Cette solution correspond \`a la
condition initiale
\[y_{\mbox{init}} (x)= 
\lambda_1 \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)+\lambda_2\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)
+\ldots + \lambda_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right).\]
Nous savons donc trouver une solution \`a cette \'equation pour des
conditions initiales bien particuli\`eres : celles qui s'\'ecrivent  comme des
sommes finies de sinus. \\ \\
Il vient la m\^eme id\'ee que dans le cas de l'\'equation de la chaleur 
: {\it Peut-on r\'esoudre cette \'equation pour
une condition initiale quelconque $y_{\mbox{init}}$ en \'ecrivant $y_{\mbox{init}}$ 
comme une ``somme infinie'' de sinus ?} \\ \\
%Ou, pour exprimer la m\^eme id\'ee d'une autre fa\c con : {\it serait il possible 
%d'\'ecrire une condition initiale quelconque $y_{\mbox{init}}$ comme une somme infinie
%de sinus, \`a fin d'y appliquer la solution trouv\'ee ci-dessus ?}\\ \\
%Cette id\'ee  de trouver des solutions \`a ces \'equations par approximations
% successives (c'est \`a dire par ``somme infinie'') 
%est s\'eduisante, mais pose plus de questions qu'elle ne r\'esout :
%\begin{enumerate}
%\item Quel sens donner \`a une somme infinie ?
%\item Qu'est ce que \c ca veut dire, quand on dit 
%que deux fonctions sont ``proches'' ?
%\item Plus pr\'ecisement, comment quantifier la ``distance'' entre deux 
%fonctions ?
%\item Comment calculer effectivement une ``bonne approximation'' \`a une 
%fonction donn\'ee ?
%\item Qu'est ce que cela signifie quand on dit 
%qu'une suite de fonctions converge
%vers une autre fonction ?
%\item Supposant qu'on trouve une r\'eponse aux questions 1)-4), est-ce qu'on
%a r\'eellement $S_n(y_{\mbox{init}})\rightarrow y_{\mbox{init}}$ ?
%\item Si les fonctions $S_n(y_{\mbox{init}})$ convergent, est-ce que la m\^eme chose 
%est vraie pour les fonctions  $T_n$ ?
%\item Si chaque fonction $T_n$ satisfait l'\'equation de la chaleur, est-ce que
%cela est vraie pour la fonction limite ?
%\end{enumerate}
%R\'epondre \`a toutes ces questions va bien au-del\`a de ce que nous pouvons faire dans ce cours : nous allons
%nous concentrer surtout sur les questions 1) - 3). Dans le prochain chapitre nous allons
%nous pencher sur la question 1) : comment interpreter une somme infinie ? Faute de disposer d'une
%notion math\'ematique pr\'ecise de ``fonctions proches'' ou de ``distance entre deux fonctions'' nous parlerons
%dans ce chapitre uniquement d'une somme infinie de nombres r\'eels.
Avant de se lancer dans des sp\'eculations sur les sommes infinies de fonctions, il faudrait d\'ej\`a 
savoir ce que veut dire une somme infinie de nombres. Dans un prochain chapitre, nous allons \'etudier
les s\'eries\footnote{C'est le nom que les math\'ematiciens donnent aux sommes infinies.} num\'eriques. 
% \newpage

Puis nous remplacerons les nombres par des fonctions. 
Nous voudrions prendre une fonction $y_{\mbox{init}}(x)$, d\'efinie sur
une intervalle $[0,L]$, et l'\'ecrire comme une somme infinie de fonctions trigonom\'etriques, dans l'espoir que
cela nous permettra de r\'esoudre l'\'equation de la chaleur avec
condition initiale $y_{\mbox{init}}$. 

Notons tout d'abord que la d\'efinition que nous avons donn\'ee d'une somme infinie 
de nombres ne s'applique pas naturellement aux fonctions. En effet, la valeur
d'une somme infinie s'exprime comme une limite d'une suite, et pouvoir parler
de la limite d'une suite on a besoin d'une notion de distance - il faut pouvoir dire
quand deux objets sont ``proches''. Or, si cette notion est intuitive pour des nombres r\'eels
ou complexes, c'est beaucoup plus d\'elicat de dire quand deux fonctions sont ``proches''
ou de d\'efinir une ``distance'' entre deux fonctions. 

Mettons bri\`evement de c\^ot\'e cette difficult\'e. Si on nous donne 
une fonction $y_{\mbox{init}}$ sur une intervalle $[0,L]$, 
comment pourrait-on essayer d'\'ecrire $y_{\mbox{init}}$ 
comme une somme infinie de fonctions trigonom\'etriques ? Une
premi\`ere id\'ee pourrait \^etre de calculer cette somme par 
approximations successives : pour chaque
entier $k$, on pourrait essayer de calculer $S_k(y_{\mbox{init}})$, qui serait le ``meilleur approximant'' 
de $y_{\mbox{init}}$, sous la forme 
\[ a_0+ a_1\cos(\frac{\pi x}{L})+a_2\cos(2\frac{\pi x}{L})+\ldots + a_k\cos(k\frac{\pi x}{L})\]
Peut \^etre qu'en prenant des valeurs de $k$ de plus en plus grandes, 
on trouvera des $S_k(y_{\mbox{init}})$, sommes trigonom\'etriques
finies, de plus en plus proches de $y_{\mbox{init}}$~? 
Peut \^etre que lorsque $k$ tend vers $\infty$, les $S_k(y_{\mbox{init}})$ convergeront vers
une somme infinie de fonctions trigonom\'etriques dont le r\'esultat
est $y_{\mbox{init}}$ ? 
  
Cette id\'ee  d'\'ecrire $y_{\mbox{init}}$ comme une somme infinie de 
fonctions trigonom\'etriques par approximations
 successives  est s\'eduisante, mais pose beaucoup de questions~:
\begin{enumerate}
\item Quel sens donner \`a une somme infinie de fonctions ?
\item Qu'est ce que \c{c}a veut dire, quand on dit 
que deux fonctions sont ``proches'' ?\\
Comment quantifier la ``distance'' entre deux 
fonctions ?
\item Comment calculer effectivement 
cette ``meilleure approximation'' $S_k(y_{\mbox{init}})$ ?
\item Qu'est ce que cela signifie quand on dit 
qu'une suite de fonctions converge
vers une autre fonction ?
\end{enumerate}
Nous avons d\'ej\`a commenc\'e dans le chapitre pr\'ecedent
\`a r\'epondre \`a la question 1), au moins
dans le cas simple
qui est celui d'une somme infinie de nombres.  
Nous chercherons maintenant \`a comprendre ce que peut vouloir
dire une ``bonne approximation'' pour des fonctions. En effet, 
le premier probl\`eme que l'on rencontre lorsqu'on essaie de r\'esoudre
ces deux \'equations par une m\'ethode d'approximations successives est celui
de d\'efinir ce qu'on veut dire par une ``bonne approximation'', ou une ``distance'' entre
deux fonctions.\footnote{
Nous serons particuli\`erement attentifs \`a la question de l'approximation d'une fonction 
quelconque par des sommes de fonctions trigonom\'etriques $\sin(n\pi x)$ et
$\cos(n\pi x)$, puisque ces fonctions, qui repr\'esentent math\'ematiquement les ph\'enom\`enes 
physiques {\it ondulatoires}, occupent une place tr\`es importante 
dans les math\'ematiques au service de la physique.} 

Nous  allons en particulier regarder de pr\`es la question suivante :\\
{\bf Supposons donn\'ee sur un intervalle $[0,L]$ une fonction $f$. Comment
faire pour trouver la meilleure approximation pour $f$ de la forme
\[ S_n(f)= a_0+ \sum_{j=1}^n a_j \cos\left(j \frac{\pi
    x}{L}\right)+b_j\sin \left(j\frac{\pi x}{L}\right)\; ?\]}
Si nous ne disposons pas actuellement d'une bonne notion 
de distance entre des fonctions\footnote{Et encore
moins d'un algorithme permettant de calculer ce ``meilleur approximant'' pour une fonction donn\'ee...}
il existe bien des espaces pour lesquels on connait une d\'efinition de distance. Ce 
sont les espace g\'eom\'etriques $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$. De plus, dans ces 
espaces, il existe des algorithmes efficaces 
qui permettent, \'etant donn\'es un point $x$ et un plan ou droite $S$, 
de calculer le point de $S$ le plus proche de $x$.

Nous allons nous
baser sur ce que nous savons sur $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$ pour d\'efinir des 
distances entre 
fonctions (et plein d'autres choses). 
Dans le prochain chapitre, nous allons \'etudier la notion d'espace
vectoriel, qui r\'eunit (entre autres) les espaces g\'eom\'etriques et les espaces de 
fonctions. 

\chapter{Rappels d'alg\`ebre lin\'eaire.}

\section{Rappels sur les espaces vectoriels : d\'efinitions et exemples.}
Un $\mathbb{R}$-espace vectoriel est un ensemble $V$ tel que
la somme de deux \'el\'ements de $V$ est encore un
\'el\'ement de $V$, le produit d'un r\'eel (appel\'e scalaire r\'eel) par un \'el\'ement de $V$
est encore un \'el\'ement de $V$, et qui v\'erifie les
propri\'et\'es habituelles des sommes et produits ($x+y=y+x$,
existence d'un \'el\'ement nul, d'un oppos\'e, distributivit\'e du 
produit par rapport \`a la somme...). L'exemple typique est l'ensemble
des solutions d'un syst\`eme homog\`ene d'\'equations lin\'eaires.

\begin{defn}
Plus formellement, un espace vectoriel $V$ doit \^etre muni d'une 
loi interne $$V\times V\to V,(x,y)\mapsto x+y,$$ 
et d'une loi externe $$\mathbb{R}\times V\to V,(\lambda,x)\mapsto
\lambda\cdot x,$$ 
appel\'{e}e parfois {\it multiplication par un scalaire}, satisfaisant aux propri\'{e}t\'{e}s suivantes: 
\begin{enumerate}
\item Il existe un \'{e}l\'{e}ment $0_V\in V$ tel que $0_V+x=x+0_V=x$ pour tout $x\in V$.
\item $x+(y+z)=(x+y)+z$ pour tout $x,y\in V$
\item $x+y=y+x$ pour tout $x,y\in V$
\item Pour tout $x\in V$, il existe un \'{e}l\'{e}ment $x'\in V$ tel que $x+x'=x'+x=0_V$.
Cet \'{e}l\'{e}ment $x'$ est alors unique, et est not\'{e} $-x$. 
\item $1\cdot x=x$ pour tout $x\in M$
\item $(\lambda\mu)\cdot x=\lambda\cdot(\mu\cdot x)$ pour tout $\lambda,\mu\in \mathbb{R},x\in V$
\item $\lambda\cdot (x+y)=\lambda\cdot x+\lambda\cdot y$ pour tout $x,y\in V,\lambda\in \mathbb{R}$
\item $(\lambda+\mu)\cdot x=\lambda\cdot x+\mu\cdot x$ pour tout $x\in V,\lambda,\mu\in \mathbb{R}$.
\end{enumerate}
\end{defn}

Un $\mathbb{C}$-espace vectoriel est d\'efini de mani\`ere analogue
en rempla\c{c}ant $\mathbb{R}$ par $\mathbb{C}$, 
on peut donc multiplier un \'el\'ement de $V$ par un complexe (un scalaire
complexe).

\begin{rem} On \'ecrira $\lambda x$ pour $\lambda \cdot x$.
\end{rem}

{\bf Exemples~:}
\begin{enumerate}
\item $\mathbb{R}^n$, l'espace de vecteurs colonnes 
$\underline{X}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}$ 
avec $x_i\in \mathbb{R}$,  
est un espace vectoriel r\'eel. L'espace $\mathbb{C}^n$ de vecteurs colonnes complexes
est un espace vectoriel complexe.
\item $\mathbb{R}[X]$, l'espace de polyn\^omes r\'eels en une variable $X$, est un 
espace vectoriel r\'eel. De m\^eme, $\mathbb{C}[Y]$, l'espace de polyn\^omes 
complexes en une variable $Y$ est une espace vectoriel complexe.
\item $\mathbb{R}_n[X]$,  l'espace de polyn\^omes r\'eels en une variable $X$ de 
degr\'e $\leq n$, est un 
espace vectoriel r\'eel. De m\^eme, $\mathbb{C}_n[Y]$, l'espace de polyn\^omes 
complexes en une variable $Y$ de degr\'e $\leq n$, 
est une espace vectoriel complexe.
\item $\mbox{M}_n(\mathbb{R})$, l'espace de matrices $n\times n$ \`a coefficients r\'eels, est un espace vectoriel r\'eel,
\item Pour tout $a<b\in \mathbb{R}$ l'espace $C^0([a,b],\mathbb{R})$ de toutes les fonctions continues r\'eelles sur l'intervalle
$[a,b]$, est un espace vectoriel r\'eel.
\item Pour tout $a<b\in \mathbb{R}$ et tout entier $i>0$ 
l'espace $C^i([a,b],\mathbb{C})$ de toutes les fonctions
$i$-fois continument d\'erivables \`a valeurs dans les complexes 
sur l'intervalle $[a,b]$, est un espace vectoriel complexe.
\end{enumerate}

V\'erifier tous ces axiomes est fastidieux. Heureusement dans la
pratique, nous travaillerons souvent avec des espaces vectoriels qui
sont inclus dans d'autres pour lesquels on a une proc\'edure de v\'erification simplifi\'ee.
\begin{defn}
Soit $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel. 
Un {\bf sous-espace vectoriel} $W$ de $V$ est un sous-ensemble de
$W\subset V$ {\bf contenant le vecteur nul de $V$}, tel que
\begin{enumerate}
\item pour tout $w_1, w_2\in W$ nous avons que $w_1+w_2\in W$
\item pour tout $w_1\in W$ et $\lambda\in \mathbb{R}$ nous avons que $\lambda w_1\in W$
\end{enumerate}
\end{defn}
On montre que l'ensemble $W$ est bien 
un espace vectoriel avec l'addition et la multiplication h\'erit\'ees de $V$.
\begin{exe}
Montrer que les sous-ensembles suivants sont tous des sous-espaces vectoriels.
\begin{enumerate}
\item L'ensemble de tous les $(x,y)\in \mathbb{C}^2$ tels que $x+y=0$.
\item L'ensemble des solutions d'un syst\`eme lin\'eaire homog\`ene d'\'equations.
\item Un plan d'\'{e}quation $ax+by+cz=0$ ($a,b,c\in\mathbb{R}$ fix\'es) dans $\mathbb{R}^3$.
\item L'ensemble $\{ P\in \mathbb{R}[X]| P(1)=0\}$ des polyn\^omes
\`a coefficients r\'eels  qui s'annulent en 1
\item L'ensemble $\{ M\in M_n(\mathbb{C})| {}^tM= M\}$ des matrices sym\'etriques dans $M_n(\mathbb{C})$. 
\item L'ensemble de toutes les fonctions deux fois d\'erivables $f\in C^2(\mathbb{R},\mathbb{R})$ 
telles que
$f''= -2f$ dans $C^2(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
\item L'ensemble $P$ des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ de
  p\'eriode $2\pi$ (i.e. $f \in P$ lorsque $f(x+2\pi)=f(x)$ pour tout
  r\'eel $x$). Qu'en est-il des fonctions p\'eriodiques~?
\end{enumerate}
\end{exe}

\section{Familles libres, g\'en\'eratrices, bases et coordonn\'ees.}
\begin{defn}
On v\'erifie ais\'ement que l'ensemble $E$ des combinaisons lin\'eaires d'une famille de vecteurs
$\{v_1,...,v_n\}$ d'un espace vectoriel $V$ est un sous-espace
vectoriel de $V$ que l'on notera $E=$Vect$(v_1,...,v_n)$. On dit aussi que
$\{v_1,...v_n\}$ est une {\bf famille g\'en\'eratrice}\index{g\'en\'eratrice, famille} de $E$ (tout
\'el\'ement de $E$ s\'ecrit comme combinaison lin\'eaire des
\'el\'ements de la famille).
\end{defn}
Si $v_n$ est une combinaison lin\'eaire de $v_1,...,v_{n-1}$ 
$$ v_n=\lambda_1 v_1+... + \lambda_{n-1} v_{n-1}$$
alors
Vect$(v_1,...,v_{n-1})$=Vect$(v_1,...,v_n)$, on peut donc enlever
$v_n$ de la famille g\'en\'eratrice sans changer l'espace vectoriel
engendr\'e.
\begin{defn}
On dit qu'une famille vecteurs $(e_1,\ldots, e_n)$
 est {\bf libre}\index{libre, famille} si aucun vecteur n'est combinaison
lin\'eaire des autres, ou
de mani\`ere \'equivalente si l'\'equation
$\sum \lambda_i e_i=0_V$ d'inconnues $\lambda_1,...,\lambda_n$
a pour unique solution $\lambda_1=...=\lambda_n=0$
\end{defn}

Une {\bf base}\index{base} d'un espace vectoriel $E$ est une famille g\'en\'eratrice
et libre. On peut obtenir une base en enlevant tous les \'el\'ements
superflus d'une famille g\'en\'eratrice~: on commence par 
enlever $v_1$ si $v_1=0$, puis $v_2$ si $v_2$ est combinaison
lin\'eaire de $v_1$, puis $v_3$ si $v_3$ est combinaison lin\'eaire de
$v_1,v_2$, etc.

Une base permet de 
{\it repr\'esenter} (de mani\`ere unique) un \'el\'ement d'un espace
vectoriel par un vecteur colonne.
\begin{defn}\label{defbase}
Soit $V$ un espace vectoriel r\'eel. Une famille ordonn\'ee
d'\'el\'ements de $V$, 
${\bf e}=\{e_1, \ldots, e_n\}$ est
une base (finie) pour $V$ si pour tout \'el\'ement $v\in V$ il existe
un \underline{unique} n-uplet
de scalaires 
$\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ tels que 
\[ v= \lambda_1e_1+\lambda_2e_2+\ldots +\lambda_n e_n.\]
\end{defn}
L'\'ecriture est unique sinon la famille $\{e_1, \ldots, e_n\}$ ne
serait pas libre.
\begin{defn}
Avec les notations de la d\'efinition \ref{defbase},  
nous dirons que le vecteur colonne 
\[ \begin{pmatrix}\lambda_1\\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n\end{pmatrix}\]
est le vecteur des coordonn\'ees de $v$ dans la base ${\bf e}$.
\end{defn}
\begin{rem}[{\bf Attention !}] Le vecteur de coordonn\'ees de $v$ dans une base 
${\bf e}$ d\'epend autant de la base ${\bf e}$ que du vecteur $v$.
\end{rem} 
\begin{rem}[{\bf Notation}]{\bf  Dans ce qui suit il sera tr\`es important de 
distinguer l'\'el\'ement $v$ dans un espace vectoriel $V$ de dimension finie $n$ (qui peut \^etre un 
vecteur colonne, ou une matrice, ou une fonction, ou un polyn\^ome, ou plein 
d'autres choses) et le vecteur colonne $\underline{V}\in \mathbb{R}^n$ qui le repr\'esente dans une 
base donn\'ee. }
\\ \\
Pour bien distinguer ces deux objets, nous soulignerons 
syst\'ematiquement les noms des variables qui sont des vecteurs colonnes, 
et ne soulignerons pas ceux qui ne le sont pas.
\end{rem}

\begin{exs}

\trick

\begin{enumerate}

\item Les vecteurs 
$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right) ,\cdots,\left(\begin{array}{c} 0 \\ \vdots\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$
forment une base de $\mathbb{R}^n$, appel\'{e}e la {\bf base canonique}.
\\ \\
Si $\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{array}\right)$ est un \'el\'ement de $\mathbb{R}^n$ alors on
peut \'ecrire 
\[ \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{array}\right)=
x_1\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right) +\cdots+ x_n\left(\begin{array}{c} 0 \\ \vdots\\ 0\\ 1\end{array}\right) ;\]
autrement dit, le vecteur de coordonn\'ees de $\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{array}\right)$
dans la base canonique est $\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{array}\right)$. Ceci est une 
source importante de confusion.
\item Montrons que $B=\left\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 1\end{array}\right), 
\left(\begin{array}{c} 1\\ 2\end{array}\right)\right\}$ est une base de $\mathbb{C}^2$. Nous consid\'erons pour 
un vecteur arbitraire $\left(\begin{array}{c} x\\ y\end{array}\right)$ l'\'equation
\[ \left(\begin{array}{c} x\\ y\end{array}\right)= \lambda_1 \left(\begin{array}{c} 1\\ 1\end{array}\right)+
\lambda_2\left(\begin{array}{c} 1\\ 2\end{array}\right)\]
c'est-\`a-dire
\[ x= \lambda_1+ \lambda_2\]
\[ y= \lambda _1+ 2\lambda_2\]
ce qui (apr\`es pivot de Gauss) nous donne l'unique solution 
\[\lambda_1= 2x-y,\] \[\lambda_2= y-x.\] 
Cette famille est donc une base et
le vecteur de coordonn\'ees de 
$\left(\begin{array}{c} x\\ y\end{array}\right)$ dans la base $B$ est
\[ \left(\begin{array}{c} 2x-y\\ y-x\end{array}\right).\] 
\item La famille $B=(1,X,\ldots,X^n)$ forme une base de l'espace vectoriel $\mathbb{R}[X]_n$
des polyn\^{o}mes \`{a} coefficients dans $\mathbb{R}$ de degr\'{e} au plus $n$. Si $P= a_0+a_1X+\ldots a_n X^n$
est un \'el\'ement de $\mathbb{R}_n[X]$ alors son vecteur  de coefficients dans la base $B$ est
\[ \left(\begin{array}{c} a_0\\ a_1\\ \vdots \\ a_n \end{array}\right).\] 
\item On consid\`ere $M_2(\mathbb{C})$, l'espace de matrices carr\'ees complexes 
$2\times 2$. Elle a une base 
\[B=\left(\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0& 0 \end{pmatrix},
 \begin{pmatrix} 0& 1\\ 0& 0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1& 0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0& 1\end{pmatrix}, \right)\]
et dans cette base la matrice $M=\begin{pmatrix}a & b\\ c& d\end{pmatrix}$ a 
pour vecteur de coefficients
$\begin{pmatrix}a \\ b\\ c\\ d\end{pmatrix}$.
\item On consid\`ere l'espace de fonctions r\'eelles deux fois d\'erivables
sur $\mathbb{R}$ qui satisfont l'\'equation $f''= -2f$. Vous avez vu
en L1
que cette espace est de dimension 2 et 
la famille \[(\cos(\sqrt{2}x), \sin(\sqrt{2} x))\] en est une base. 
Le vecteur de coordonn\'ees de la fonction $f=a\cos(\sqrt{2} x)+
b\sin(\sqrt{2}x)$ dans cette
base est $\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}$.
\end{enumerate}

\end{exs}

\begin{defn}
Lorsqu'un espace vectoriel $V$ poss\`ede une base finie on dit que $V$
est de dimension finie.
\end{defn}
Soit $n$ le nombre d'\'el\'ements de cette base $B$ de $V$.
Alors une famille libre de $V$ a au plus $n$ \'el\'ements. Sinon,
consid\'erons une famille libre $\{v_1,...,v_{n+1}\}$. On pose le syst\`eme
$$ \lambda_1 v_1+...+\lambda_{n+1} v_{n+1}=0$$
en \'ecrivant les coordonn\'ees des vecteurs dans la base $B$. Ce syst\`eme a plus
d'inconnues ($n+1$) que d'\'equations ($n$) donc il admet
une solution non identiquement nulle, ce qui est absurde car on a suppos\'e la
famille libre.
(En faisant le pivot de Gauss on peut
\'ecrire le syst\`eme sous forme \'echelonn\'ee. Si on trouve un pivot dans
les colonnes de 1 \`a $n$, on peut exprimer $\lambda_n$ en fonction
de $\lambda_{n+1}$ avec la derni\`ere \'equation, puis $\lambda_{n-1}$
en fonction de $\lambda_{n+1}$, etc. et on trouve une solution non
identiquement nulle. S'il y a une colonne sans pivot, par exemple la
troisi\`eme, alors on prend $\lambda_4=...=\lambda_{n+1}=0$,
la deuxi\`eme \'equation donne $\lambda_2$ en fonction de $\lambda_3$
et la premi\`ere \'equation $\lambda_1$ en fonction de $\lambda_2$.

On en d\'eduit que~:
\begin{prop}
Toutes les bases de $V$ ont alors le m\^eme nombre d'\'el\'ements : ce nombre
s'appelle  la {\bf dimension} de $V$.
\end{prop}

\begin{exs}
\begin{enumerate}
\item L'espace $\mathbb{R}^n$ est de dimension $n$.
\item L'espace $\mathbb{R}_n[X]$ est de dimension $n+1$.
\item L'espace $M_2(\mathbb{R})$ est de dimension $4$. 
\item L'espace $\mathbb{R}[X]$ n'est pas de dimension finie (sinon on
  aurait une base, on regarde le plus grand degr\'e des \'el\'ements
  de la base, un polyn\^ome de degr\'e plus grand ne peut pas \^etre
combinaison lin\'eaire des \'el\'ements de la base).
\item On peut aussi montrer que l'espace des fonctions $2\pi$-p\'eriodiques n'est pas de
  dimension finie. Un des objectif des s\'eries de Fourier, c'est en
  quelque sorte d'en donner une ``base'' mais ayant un nombre infini d'\'el\'ements.
\end{enumerate}
\end{exs}

Le r\'esultat suivant sera souvent
utilis\'e pour v\'erifier qu'une famille de vecteurs est une base.
\begin{lem}
Soit $V$ un espace vectoriel de dimension $n$ et soit $\{e_1,\ldots, e_n\}$ une 
famille de $n$ vecteurs dans $V$. Si la famille $\{e_1,\ldots, e_n\}$ est 
{\it libre} alors elle est une base. 
\end{lem} 
En effet, si $v \in V$, alors la famille $\{e_1,\ldots, e_n,v\}$ n'est
pas libre puisqu'elle a $n+1$ \'el\'ements, donc on a une combinaison
lin\'eaire non identiquement nulle
$$ \lambda_1 e_1+...+\lambda_ne_n+\lambda v=0 $$
On a $\lambda \neq 0$ car $\{e_1,\ldots, e_n\}$ est libre, donc $v$
est combinaison lin\'eaire de $\{e_1,\ldots, e_n\}$.

\begin{prop}
Tout sous-espace $W$ d'un espace $V$ de dimension finie $n$ est de
dimension finie $m \leq n$ (avec \'egalit\'e si et seulement si $W=V$).
\end{prop}
En effet, une famille libre de $W$ est une famille libre de $V$ donc a
au plus $n$ \'el\'ements. On cr\'ee ensuite une famille libre de $W$
ayant un nombre maximal d'\'el\'ements, c'est une base de $W$.
 
Les coordonn\'ees d'un \'el\'ement $v\in V$
dans une base seront essentielles dans la suite, car elles nous permettront
de ramener tous nos calculs \`a 
de simples multiplications de matrices. Il nous sera, d'ailleurs,
souvent utile de simplifier nos calculs au maximum en choississant une base 
bien adapt\'ee. Pour faire cela, il nous 
faut comprendre comment le vecteur $\underline{V}$
des coordonn\'ees d'un \'el\'ement $v\in V$ dans une base ${\bf e}$
se transforme lorsqu'on change
de base.
\begin{defn}
Soit $V$ un espace vectoriel de dimension $n$ et soient ${\bf E}=\{e_1,
\ldots, e_n\}$ et 
$ {\bf F}=\{f_1,\ldots, f_n\}$ des
bases de $V$. On appelle matrice
de passage de ${\bf E}$ vers ${\bf F}$ la matrice
obtenue en \'ecrivant en colonnes les coordonn\'ees des $f_i$
dans la base ${\bf E}$~:
\[P=(\underline{V}_1,\ldots, \underline{V}_n)\]
o\`u $\underline{V}_i$ est le vecteur de coordonn\'es de
$f_i$ dans la base 
${\bf E}=\{e_1,\ldots, e_d\}$.
\end{defn}
\begin{rem}
{\bf Cas particulier}\\
Si ${\bf E}$ est la base canonique de 
$\mathbb{R}^n$, la matrice de passage $P$ est donn\'ee par
\[ P= (\underline{f}_1,\ldots, \underline{f}_n).\]
C'est-\`a-dire que la premi\`ere colonne de $P$ est form\'ee par les
composantes de $f_1$, la deuxi\`eme colonne de $P$ par les
composantes de $f_2$, etc.
%Encore une fois, ce cas sp\'ecial donne lieu \`a beaucoup de confusion.
\end{rem}
Soit $\{e_1,...,e_n\}$ une base de $V$. Soit $\{f_1,...,f_n\}$ une autre base de $V$, et $v \in V$ tel que
$$v_1f_1+...+v_nf_n=v$$
Cette \'equation devient un syst\`eme si on remplace par les coordonn\'ees des $f_i$ et
de $v$ dans la base $\{e_1,...,e_n\}$. Ce syst\`eme a pour inconnues
les coordonn\'ees de $v$ dans la base $\{f_1,...,f_n\}$, il a comme matrice
$P$ la matrice de passage de $\{e_1,...,e_n\}$  vers
$\{f_1,...,f_n\}$ et comme second membre les coordonn\'ees de $v$ dans
la base $\{e_1,...,e_n\}$. D'o\`u le~:
\begin{thm} 
Soient ${\bf B_1}$ et ${\bf B_2}$ des bases de $V$ et soit $v$ un \'el\'ement de 
$V$. Soient $\underline{V}_1$ et $\underline{V}_2$ les vecteurs de
coordonn\'es de $v$ dans les bases ${\bf B}_1$ et ${\bf B}_2$. Soit $P$ la 
matrice de passage de $B_1$ vers $B_2$. Alors
\[ \underline{V}_1= P \underline{V}_2\]
ou, de fa\c con \'equivalente
\[ \underline{V}_2= P^{-1} \underline{V}_1\]
\end{thm}
\begin{rem} {\bf Attention} il faut multiplier par
$P^{-1}$ (et pas $P$) le vecteur colonne des composantes de $v$ dans
la base ${\bf B_1}$ pour obtenir le vecteur colonnes des composantes 
de $v$ dans la base ${\bf B_2}$.
\end{rem}
 Il y a une g\'en\'eralisation de la notion de base qui sera utile dans la 
d\'emonstration d'un th\'eor\`eme ult\'erieur.
\begin{defn}
Soient $V_1,\ldots,V_m$ des sous-espaces vectoriels de $V$. 
On dit que $V$ est la {\bf somme directe} des sous-espaces $V_1,\ldots,V_m$, et on \'ecrit 
$V= V_1\oplus V_2\oplus \ldots \oplus V_m$, si et seulement si 
pour tout $v\in V$ il existe des uniques 
\'el\'ements $v_1\in V_1, \ldots, v_m\in V_m$ tels que 
 $$v=v_1+\ldots+v_m.$$
\end{defn}
On montre aussi que~:
\begin{prop}
Si $V= V_1\oplus V_2\oplus \ldots \oplus V_m$ et pour chaque $i$ nous avons que ${\bf e}_i$ est une base de $V_i$ alors 
la concatenation $({\bf e}_1, {\bf e}_2,\ldots, {\bf e}_m)$ est une base de $V$.
\end{prop}

\section{Applications lin\'eaires.}
Consid\'erons maintenant la classe des applications qui pr\'eservent la 
structure d'un espace vectoriel.
\begin{defn}
Soient $V$ et $V'$ deux $\mathbb{R}$-espaces vectoriels.

Une {\bf application lin\'{e}aire}\index{application lin\'eaire}\index{lin\'eaire, application} 
de  $V$ dans $V'$ est une
application $\varphi: V\to V'$ qui commute avec l'addition et la
multiplication par un r\'eel, donc v\'{e}rifiant 

\begin{enumerate}

\item $\varphi(v_1+v_2)=\varphi(v_1)+\varphi(v_2)$ pour tous $v_1,v_2\in V$
(l'image de la somme est la somme des images)

\item $\varphi(\lambda v)=\lambda \varphi(v)$ pour tous $\lambda\in
  \mathbb{R},v\in V$
(l'image du produit par $\lambda$ est le produit par $\lambda$ de l'image)
\end{enumerate}
\end{defn}
Dans le cas o\`u l'espace d'arriv\'ee est $\mathbb{R}$ on dira que $\varphi$ est une 
{\bf forme lin\'eaire}\index{forme lin\'eaire}\index{lin\'eaire, forme}
\begin{rem}Pour toute application lin\'eaire $\varphi$ on a
  n\'{e}cessairement $\varphi(0)=0$.\end{rem}

Pour d\'efinir une application lin\'eaire  entre deux espaces vectoriels
sur $\mathbb{C}$,
on remplace ci-dessus $\mathbb{R}$ par $\mathbb{C}$ 

{\bf Exemples~:}
\begin{enumerate}\label{exapp}
\item L'application $\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^2$ donn\'ee par 
$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}x\\y
\end{pmatrix}$ est lin\'eaire. Elle l'est aussi de $\mathbb{C}^3\rightarrow \mathbb{C}^2$.
\item L'application $\mathbb{C}^3\rightarrow \mathbb{C}^2$ donn\'ee par
$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}x\\y+1
\end{pmatrix}$ n'est pas lin\'eaire.
\item L'application de $\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ d\'efinie
  par $\varphi(z)=\overline{z}$ n'est pas lin\'eaire. Mais si on
  consid\`ere $\mathbb{C}$ comme un $\mathbb{R}$-espace
vectoriel (de dimension 2) elle le devient.
\item L'application des fonctions continument d\'erivables dans les
  fonctions continues ($C^1(\mathbb{R}, \mathbb{R})\mapsto
  C^0(\mathbb{R}\mathbb{R})$), 
d\'efinie par $f \mapsto f'-2f$ est lin\'eaire.
\item L'application de transposition dans l'espace vectoriel des matrices carr\'ees 
$M_n(\mathbb{C}) \mapsto M_n(\mathbb{C})$ donn\'ee par $M\mapsto
{}^tM$ est lin\'eaire.
\item L'application de l'espace des polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a 3 dans
l'espace des polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a 1 
$\mathbb{R}_3[X] \mapsto \mathbb{R}_1[X]$, $P\mapsto P''$, 
est une application lin\'eaire. 
\end{enumerate}

\begin{exe}
D\'emontrer que les applications 1, 3, 4, 5 sont bien lin\'eaires et que 2 ne 
l'est pas.
\end{exe}
\begin{defn}
Le {\bf noyau}\index{noyau} de $\varphi$, not\'{e} $\mbox{Ker}(\varphi)$, est l'ensemble 
$$\mbox{Ker}(\varphi)=\{ v\in V \mid \varphi(v)=0\}(\subseteq V).$$
C'est un sous-espace vectoriel de $V$.
\end{defn}

\begin{defn}
{\bf L'image}\index{image} 
de $\varphi$, not\'{e}e $\mbox{Im}(\varphi)$, est l'ensemble $$\mbox{Im}(\varphi)=\{ \varphi(v), v\in V\}\subseteq V'.$$
C'est un sous-espace vectoriel de $V'$.
 \end{defn}
 
{\bf Exercices}
\begin{enumerate}
\item 
Montrer que le noyau et l'image d'une application lin\'eaire sont des sous-espaces vectoriels. 
\item
Calculer l'image et le noyau des applications lin\'eaires donn\'ees en exemple.
\end{enumerate}

\begin{defn}
On appelle {\bf rang}\index{rang (application lin\'eaire)} d'une
application
lin\'eaire $\varphi$ la dimension de son image Im$(\varphi)$.
\end{defn}
On rappelle le th\'eor\`eme du rang, dont nous aurons besoin dans une d\'emonstration ult\'erieure.
\begin{thm}
Soit $\varphi:V\rightarrow W$ une application lin\'eaire. On suppose que $V$
est de dimension finie. 
Alors $\mbox{Im}(\varphi)$ est de dimension finie et
\[ \mbox{dim}(V)=
\mbox{dim}(\mbox{Ker}(\varphi))+\mbox{dim}(\mbox{Im}(\varphi)).\]
\end{thm}
Preuve~: on prend une base $\{ v_1, ..., v_n\} $ de $V$,
les images $\{ \varphi(v_1), ..., \varphi(v_n) \} $ forment une partie
g\'en\'eratrice de Im$\varphi$ qui est donc de dimension finie, on 
prend une base de Im$\varphi$ et on \'ecrit les coordonn\'ees des vecteurs
images dans une matrice (en ligne $i$, les coordonn\'ees de $\varphi(v_i)$).
On ajoute une colonne contenant les vecteurs $v_1,...,v_n$ pour
savoir de quel vecteur on a l'image. On applique le pivot de Gauss.
On obtient une matrice \'echelonn\'ee
dont les lignes non nulles (colonne rajout\'ee non comprise)
forment une base de Im$\varphi$, et les lignes
nulles sont les images d'une base de Ker$\varphi$, base que l'on lit dans
la colonne rajout\'ee. Comme le nombre de lignes $n$ est la somme des
deux nombres pr\'ec\'edents, on conclut.

\section{Calcul Matriciel.}
Dans cette section nous ferons des rappels sur les matrices et leurs manipulations. 
Celles-ci seront un \'el\'ement cl\'e de
notre travail ce semestre.
\begin{defn}
Etant donn\'es deux entiers $m$ et $n$ strictement positifs, 
une \emph{matrice \`a $m$ lignes et
$n$ colonnes} est un tableau rectangulaire de r\'eels 
$A=(a_{i,j})$. L'indice de ligne $i$ va de $1$ \`a $m$,
l'indice de colonne $j$ va de $1$ \`a $n$.
$$
A=(a_{i,j})
=
\left(
\begin{array}{ccccc}
a_{1,1}&\cdots&a_{1,j}&\cdots&a_{1,n}\\
\vdots&&\vdots&&\vdots\\
a_{i,1}&\cdots&a_{i,j}&\cdots&a_{i,n}\\
\vdots&&\vdots&&\vdots\\
a_{m,1}&\cdots&a_{m,j}&\cdots&a_{m,n}
\end{array}
\right)
\;.
$$
Les entiers $m$ et $n$ sont les \emph{dimensions} de la matrice, $a_{i,j}$
est son \emph{coefficient d'ordre $(i,j)$}.
\end{defn}
Notons qu'une matrice $A$ peut \^etre pr\'ecis\'ee en donnant une expression 
pour ses coefficients $a_{i,j}$ Par exemple, la matrice $A$ de taille $2\times 2$
donn\'ee par le formule $a_{i,j}= i+j$ est la matrice
\[A= \begin{pmatrix} 1+1 & 1+2 \\ 2+1 & 2+2\end{pmatrix}=  \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4\end{pmatrix}.\]

L'ensemble des matrices \`a $m$ lignes et $n$ colonnes et \`a
coefficients r\'eels est not\'e
$\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$. Ce qui suit s'applique aussi, si on remplace
$\mathbb{R}$ par $\mathbb{C}$, \`a l'ensemble des matrices \`a coefficients complexes. \\ \\
Notons trois cas sp\'eciaux :
\begin{enumerate}
\item Un vecteur de $n$ \'el\'ements  peut s'\'ecrire comme une
 vecteur colonne
$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}$ (matrice 
$n\times 1$).
\item Un vecteur de $n$ \'el\'ements peut s'\'ecrire
comme un vecteur ligne $\begin{pmatrix}x_1,&x_2,&\ldots, 
&x_n\end{pmatrix}$ (matrice $1\times n$).
\item Un nombre r\'eel $x$ peut \^etre vu comme une matrice $1\times 1$.
\end{enumerate}
Du point de vue du calcul matriciel - en particulier lorsqu'il s'agit de faire 
des multiplications - un vecteur ligne ne se comporte pas comme un vecteur 
colonne. Nous ferons cette distinction en consid\'erant, par exemple,
que les vecteurs
\[ \begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}\ \mbox{et}\ \begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}\]
sont diff\'erents, m\^eme s'ils contiennent les m\^emes nombres dans
le m\^eme ordre. Toutefois certains logiciels, notamment Xcas,
  permettent de multiplier une matrice par un vecteur ligne,
 qui est alors remplac\'e par le vecteur colonne ayant les m\^emes
 composantes.

{\bf Notation.} Si $\underline{X}$ est un vecteur colonne \`a $n$ \'el\'ements,
on notera le coefficient $\underline{X}_{1,i}$ par $\underline{X}_i$. \\ \\ 
L'ensemble $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ est naturellement muni d'une addition
 (on peut ajouter deux matrices de m\^emes dimensions terme \`a
terme) et de multiplication par des scalaires (on peut multiplier une matrice
par un r\'eel terme \`a terme). 
\begin{enumerate}
\item[$\bullet$]
\emph{Addition~:}
Si $A=(a_{i,j})$ et $B=(b_{i,j})$ sont deux matrices de 
$\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$, leur somme $A+B$ est la matrice $(a_{i,j}+b_{i,j})$. Par
exemple~:
$$
\left(
\begin{array}{rr}
1&1\\
2&3\\
1&-1
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{rr}
-3&1\\
5&-3\\
0&2
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{rr}
-2&2\\
7&0\\
1&1
\end{array}
\right)
$$
\item[$\bullet$]
\emph{Multiplication par un scalaire~:}
Si $A=(a_{i,j})$ est une matrice de $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$, 
et $\lambda$ est un r\'eel, le produit $\lambda A$ est
la matrice $(\lambda a_{i,j})$.
Par exemple~:
$$
-2\,
\left(
\begin{array}{rr}
1&1\\
2&3\\
1&-1
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{rr}
-2&-2\\
-4&-6\\
-2&2
\end{array}
\right)
$$
\end{enumerate}
Observons que ces op\'erations auraient le m\^eme effet si les
matrices \'etaient dispos\'ees comme des $mn$-uplets de r\'eels
(toutes les lignes \'etant concat\'en\'ees, par exemple)


\begin{defn} (Matrice d'une application lin\'eaire)\\
Soit $\varphi$ une application lin\'eaire d'un espace vectoriel $V_1$ 
de base $B_1=(e_1,...,e_n)$ dans un espace vectoriel $V_2$
de base $B_2=(f_1,..,f_n)$. On appelle matrice de $\varphi$ 
dans les bases $B_1$ et $B_2$ la matrice dont les colonnes
sont les composantes dans la base $B_2$ des images 
$\varphi(e_1),...,\varphi(e_n)$
des vecteurs $e_1,...,e_n$ de la base $B_1$.

Si $V_1=V_2$ on choisit (presque toujours) $B_1=B_2$.
\end{defn}

{\bf Exemple}\\ Soit l'application lin\'eaire de $\mathbb{R}^3$
dans $\mathbb{R}^2$ qui a un vecteur $X=(x,y,z)$
associe le vecteur $Y=(x+2y-z,3x-2z)$. Sa matrice
dans les bases canoniques de $\mathbb{R}^3$
et $\mathbb{R}^2$ a pour premi\`ere colonne
les composantes de $\varphi(e_1)=\varphi((1,0,0))=(1,3)$,
pour deuxi\`eme colonne les composantes de
$\varphi(e_2)=\varphi((0,1,0))=(2,0)$ et pour troisi\`eme colonne
les composantes de
$\varphi(e_3)=\varphi((0,0,1))=(-1,-2)$
donc 
$$ 
\begin{array}{cccc} 
\varphi(e_1) & \varphi(e_2) & \varphi(e_3) & \\
1 & 2 &-1  & f_1\\
3 & 0 & -2 & f_2
\end{array},
\quad \Rightarrow \quad
M=
\left(\begin{array}{ccc} 
1 & 2 &-1  \\
3 & 0 & -2 
\end{array}\right)$$
On observe qu'on a en ligne les coefficients en $x,y,z$ des coordonn\'ees du
vecteur image.

{\bf Applications~: Noyau et image d'une application lin\'eaire de
  matrice $M$}\\
Soit $\varphi: V \mapsto V'$ a pour matrice $M$ relativement \`a des
bases $B$ et $B'$.
Pour calculer le noyau de $\varphi$, il faut r\'esoudre le syst\`eme
lin\'eaire 
$$ \left\{ 
\begin{array}{ccc}
x+2y-z&=&0\\
3x-2z&=&=0
\end{array}
\right.
$$
dont la matrice est $M$.
On r\'eduit donc $M$ (en lignes) par
l'algorithme du pivot de Gauss pour se ramener \`a une matrice
triangulaire. 
Dans l'exemple ci-dessus, on remplace la ligne $L_2$ par $L_2-3L_1$ ce qui
donne la matrice
$$ M=\left(\begin{array}{ccc} 
1 & 2 &-1\\
0 & -6 & 1
\end{array}\right)$$
La deuxi\`eme \'equation donne $-6y+z=0$ soit $y=z/6$.
Ensuite la premi\`ere \'equation donne  $x+2y-z=0$ soit
$x=-2y+z=2z/3$. Donc $(x,y,z)=z(2/3,1/6,1)$ et Ker$(\varphi)$
est de dimension 1, engendr\'e par le vecteur $(2/3,1/6,1)$. 
Le th\'eor\`eme du rang donne alors
que Im$(\varphi)$ est de dimension 3-1=2, c'est donc $\mathbb{R}^2$
tout entier.

Dans le cas g\'en\'eral, les vecteurs colonnes de $M$ forment
une famille g\'en\'eratrice de Im$(\varphi)$. Il suffit de r\'eduire
$M$ en colonnes par l'algorithme du pivot de Gauss, une fois
la r\'eduction termin\'ee les colonnes non nulles forment une base de Im$(\varphi)$.\\
N.B~: La commande {\tt rref} de Xcas permet de r\'eduire une matrice de
vecteurs lignes, il faut donc transposer la matrice $M$, la r\'eduire
avec {\tt rref} puis extraire les vecteurs lignes non nuls pour avoir
les coordonn\'ees d'une base de Im$(\varphi)$.

\begin{prop}
Soit $\varphi$ une application lin\'eaire de $V_1$ muni de la base
$B_1=\{e_1,...,e_n\}$ vers $V_2$ muni de la base $B_2=\{f_1,...,f_n\}$ et $M$ la matrice de $\varphi$
dans les bases $B_1$ et $B_2$. Soit $v \in V_1$ un
vecteur de composantes $\underline{X}$ dans la base $B_1$. 

Alors les composantes de $\varphi(v)$ dans la base $B_2$ sont
donn\'ees par le vecteur $M\underline{X}$ de composantes~:
\[ (M\underline{X})_i := \sum_{j=1}^n M_{i,j} \underline{X}_j.\]
\end{prop}
En effet~:
$$ \varphi(v)=\varphi(\sum_j X_j e_j)
=\sum_j X_j \varphi(e_j) = \sum_j X_j \sum_i M_{i,j} f_i 
= \sum_i (\sum_j M_{i,j} X_j)) f_i$$

Soit $\varphi$ une application lin\'eaire de $V_1$ de base $B_1$
dans $V_2$ de base $B_2$ et $\psi$
une autre application lin\'eaire de $V_2$ dans $V_3$ de base
$B_3$. On peut montrer que 
la compos\'ee $\psi(\varphi(.))$
est une application lin\'eaire de $V_1$
dans $V_3$. Que se passe-t-il pour les matrices repr\'esentant
$\psi$, $\varphi$ et la matrice de la compos\'ee~? On v\'erifie que la matrice
de la compos\'ee s'obtient en faisant le {\bf produit
  matriciel}\index{produit matriciel}
des matrices de $\psi$ et $\varphi$ (cela peut m\^eme \^etre une
fa\c{c}on de d\'efinir le produit de matrices).
\begin{defn}
\label{def:prodmatrices}
Soient $m,n,p$ trois entiers strictement positifs.
Soit $A=(a_{i,j})$ une matrice de $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ et soit
$B=(b_{j,k})$ une matrice de $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$. On appelle
\emph{produit matriciel} de $A$ par $B$ la matrice 
$C\in \mathcal{M}_{m,p}(\mathbb{R})$ dont le terme g\'en\'eral $c_{i,k}$ est
d\'efini, pour tout $i=1,\ldots,m$ et pour tout $k\in 1,\ldots,p$
par~:
$$
c_{i,k} = \sum_{j=1}^n a_{i,j}\,b_{j,k}\;.
$$ 
\end{defn}
Nous insistons sur le fait que le produit $AB$ de deux matrices n'est
d\'efini que si le nombre de colonnes de $A$ et le nombre de
lignes de $B$ sont les m\^emes (pour la composition des applications
lin\'eaires, ceci correspond au fait
que l'espace vectoriel de d\'epart de la deuxi\`eme application $\psi$
est le m\^eme que l'espace vectoriel d'arriv\'ee de la premi\`ere
application $\varphi$,
ils ont donc m\^eme dimension).
Dans le cas particulier o\`u $B$ est un vecteur colonne de taille $n\times 1$ 
cette op\'eration nous fournit un vecteur colonne de taille $m\times 1$.
$$
\begin{array}{cc}
&
\left(
\begin{array}{ccccc}
b_{1,1}&\cdots&b_{1,k}&\cdots&b_{1,n}\\
\vdots&&\vdots&&\vdots\\
&\cdots&b_{j,k}&\cdots&\\
\vdots&&\vdots&&\vdots\\
b_{n,1}&\cdots&b_{n,k}&\cdots&b_{n,p}
\end{array}
\right)
\\
\left(
\begin{array}{ccccc}
a_{1,1}&\cdots&&\cdots&a_{1,n}\\
\vdots&&\vdots&&\vdots\\
a_{i,1}&\cdots&a_{i,j}&\cdots&a_{i,n}\\
\vdots&&\vdots&&\vdots\\
a_{m,1}&\cdots&&\cdots&a_{m,n}
\end{array}
\right)
&
\left(
\begin{array}{ccccc}
c_{1,1}&&\vdots&&c_{1,p}\\
&&\vdots&&\\
\cdots&\cdots&c_{i,k}&\ &\\
&&&&\\
c_{m,1}&&&&c_{m,p}
\end{array}
\right)
\end{array}
$$
Posons par exemple~:
$$
A=
\left(
\begin{array}{rr}
1&1\\
2&3\\
1&-1
\end{array}
\right)
\quad\mbox{et}\quad
B=
\left(
\begin{array}{rrrr}
0&1&-1&-2\\
-3&-2&0&1
\end{array}
\right)\;.
$$
La matrice $A$ a 3 lignes et 2 colonnes, la matrice $B$ a 2 lignes et
4 colonnes. Le produit $AB$ a donc un sens~: c'est une matrice \`a 3
lignes et 4 colonnes.
$$
\left(
\begin{array}{rrrr}
0&1&-1&-2\\
-3&-2&0&1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{rr}
1&1\\
2&3\\
1&-1
\end{array}
\right)
\ = \ \left(
\begin{array}{rrrr}
-3&-1&-1&-1\\
-9&-4&-2&-1\\
3&3&-1&-3
\end{array}
\right)
$$
Le produit matriciel a les propri\'et\'es habituelles d'un 
produit, \`a une exception notable pr\`es~: il n'est pas commutatif
\begin{prop}
\label{prop:prodmat}
Le produit matriciel poss\`ede les propri\'et\'es suivantes.
\begin{enumerate}
\item \emph{Associativit\'e~:} Si les produits $AB$ et $BC$ sont
d\'efinis, alors les produits $A(BC)$ et $(AB)C$ le sont aussi et ils
sont \'egaux.
$$
A(BC)=(AB)C\;.
$$
\item \emph{Lin\'earit\'e \`a droite~:} Si $B$ et $C$ sont deux matrices de
m\^emes dimensions, si $\lambda$ et $\mu$ sont deux r\'eels et si $A$
a autant de colonnes que $B$ et $C$ ont de lignes, alors
$$
A(\lambda B+\mu C) = \lambda AB+\mu AC\;.
$$
\item \emph{Lin\'earit\'e \`a gauche~:} Si $A$ et $B$ sont deux matrices de
m\^emes dimensions, si $\lambda$ et $\mu$ sont deux r\'eels et si $C$
a autant de lignes que $A$ et $B$ ont de colonnes, alors
$$
(\lambda A+\mu B)C = \lambda AC+\mu BC\;.
$$
\end{enumerate}
\end{prop}
Ces propri\'et\'es se d\'emontrent par le calcul \`a partir de la d\'efinition
\ref{def:prodmatrices} ou en interpr\'etant le produit
comme une composition d'applications lin\'eaires.


La {\bf transposition}\index{transposition} est une op\'eration
qui va intervenir plus loin dans le calcul matriciel avec les formes bilin\'eaires
(d'un point de vue th\'eorique cela provient de la dualit\'e, qui d\'epasse le cadre de ce cours).
\begin{defn}
\label{def:transposee}
\'Etant donn\'ee une matrice $A=(a_{i,j})$ de $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$, sa
\emph{transpos\'ee} est la matrice de  $\mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{R})$ dont le
coefficient d'ordre $(j,i)$ est $a_{i,j}$.
\end{defn}
Pour \'ecrire la transpos\'ee d'une matrice, il suffit de transformer
ses lignes en colonnes. Par exemple~:
$$
A=
\left(
\begin{array}{rr}
1&1\\
2&3\\
1&-1
\end{array}
\right)
\quad,\quad
{^t\!A}=
\left(
\begin{array}{rrr}
1&2&1\\
1&3&-1
\end{array}
\right)\;.
$$
Observons que la transpos\'ee de la transpos\'ee est la matrice
initiale.
$$
{^t({^t\!A})} = A\;.
$$
La transpos\'ee d'un produit est le produit des transpos\'ees, mais il
faut inverser l'ordre des facteurs.
\begin{prop}
\label{prop:produittransposee}
Soient $m,n,p$ trois entiers strictement positifs. 
Soient $A=(a_{i,j})$ une matrice de $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ et
$B=(b_{j,k})$ une matrice de $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$. La transpos\'ee du
produit de $A$ par $B$ est le produit de la transpos\'ee de $B$ par la
transpos\'ee de $A$.
$$
{^t(AB)} = {^t\!B}\,{^t\!A}\;.
$$
\end{prop}
Par exemple, en reprenant les matrices $A$ et $B$ d\'efinies
ci-dessus~:
$$
\left(
\begin{array}{rrr}
\;1&\quad2&1\\
\; 1&\quad 3&-1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{rr}
0&-3\\
1&-2\\
-1&0\\
-2&1
\end{array}
\right)
\ = \ 
\left(
\begin{array}{rrr}
-3&-9&3\\
-1&-4&3\\
-1&-2&-1\\
-1&-1&-3
\end{array}
\right)
$$
\begin{defn}

\label{def:symetrique}
Soit $n$ un entier strictement positif
et $A$ une matrice carr\'ee \`a $n$ lignes et $n$ 
colonnes. On dit que $A$ est sym\'etrique\index{sym\'etrique, matrice} si pour tous
$i,j=1,\ldots,n$, ses coefficients d'ordre $a_{i,j}$ et $a_{j,i}$ sont
\'egaux, ce qui est \'equivalent \`a dire que $A$ est \'egale \`a sa
transpos\'ee.
\end{defn}
Le produit d'une matrice par sa transpos\'ee est toujours
une matrice sym\'etrique. En effet~:
$$
{^t(A\,{^t\!A})} = {^t({^t\!A})}\,{^t\!A}=A\,{^t\!A}\;.
$$
%
\section{Matrices carr\'ees}
%
En g\'en\'eral si le produit $AB$ est d\'efini, le produit $BA$ n'a
aucune raison de l'\^etre. Le produit d'une matrice par sa
transpos\'ee  est une exception, les
matrices carr\'ees en sont une autre~: si $A$ et $B$ sont deux
matrices \`a $n$ lignes et $n$ colonnes, les produits $AB$ et $BA$ 
sont tous deux d\'efinis et ils ont les m\^emes dimensions que $A$ et
$B$. En g\'en\'eral ils ne sont pas \'egaux. Par exemple,
$$
\left(
\begin{array}{rr}
0&-1\\
1&0
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{rr}
0&1\\
1&0
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{rr}
1&0\\
0&-1
\end{array}
\right)
\qquad
\left(
\begin{array}{rr}
0&1\\
1&0
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{rr}
0&-1\\
1&0
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{rr}
-1&0\\
0&1
\end{array}
\right)
$$
Nous noterons simplement $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ l'ensemble $\mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{R})$
des matrices carr\'ees \`a $n$ lignes et $n$ colonnes, \`a
coefficients r\'eels. Parmi elles la \emph{matrice identit\'e},
not\'ee $I_n$, joue un r\^ole particulier.
$$
I_n=
\left(
\begin{array}{ccccc}
1&0&\cdots&\cdots&0\\
0&1&\ddots&&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\
\vdots&&\ddots&1&0\\
0&\cdots&\cdots&0&1
\end{array}
\right)
$$
En effet, elle est l'\'el\'ement neutre du produit matriciel~:
pour toute matrice $A\in\mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{R})$,
$$
A\,I_n = I_m\,A = A\;.
$$
On le v\'erifie facilement \`a partir de la d\'efinition
\ref{def:prodmatrices}.
\begin{defn}
\label{def:inversematrice}
Soit $A$ une matrice de $\mathcal{M}_n$. On dit que $A$ est inversible
s'il existe une matrice de $\mathcal{M}_n$, not\'ee $A^{-1}$, telle que
$$
A\,A^{-1} = A^{-1}\,A = I_n\;.
$$
\end{defn}
Par exemple~:
$$
\left(
\begin{array}{rrr}
1&0&-1\\
1&-1&0\\
1&-1&1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{rrr}
1&-1&1\\
1&-2&1\\
0&-1&1
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{rrr}
1&-1&1\\
1&-2&1\\
0&-1&1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{rrr}
1&0&-1\\
1&-1&0\\
1&-1&1
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{rrr}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{array}
\right)
$$
Observons que l'inverse, s'il existe, est n\'ecessairement
unique. En effet, soient $B_1$  et $B_2$ deux matrices telles que
$A\,B_1=B_1\,A=I_n$ et $A\,B_2=B_2\,A=I_n$. 
En utilisant l'associativit\'e,
le produit $B_1\,A\,B_2$ vaut $B_1\,(A\,B_2)=B_1\,I_n=B_1$,
mais aussi $(B_1\,A)\,B_2=I_n\,B_2=B_2$. Donc $B_1=B_2$.

Nous rappelons 
la proposition suivante, qui nous dit qu'il suffit de trouver une matrice 
$B$ telle
que $A\,B=I_n$ pour \^etre s\^ur que $A$ est
inversible et que son inverse est $B$.
\begin{prop}
\label{th:invunique}
Soit $A$ une matrice de $\mathcal{M}_n$. Supposons qu'il existe une
matrice $B$ telle que $A\,B=I_n$ \emph{ou bien} $B\,A=I_n$. Alors $A$ est
inversible et $B=A^{-1}$.
\end{prop}
Si $A$ et $B$ sont deux matrices inversibles de $\mathcal{M}_n$, leur
produit est inversible.
\begin{prop}
\label{prop:produitinversible}
Soient $A$ et $B$ deux matrices inversibles de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Le
produit $AB$ est inversible et son inverse est $B^{-1}A^{-1}$.
\end{prop}
\begin{preuve}
Nous utilisons le th\'eor\`eme \ref{th:invunique}, ainsi que
l'associativit\'e du produit~:
$$
(B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}I_nB=B^{-1}B=I_n\;.
$$
\end{preuve}

L'inverse d'une matrice et la proposition \ref{chgtbase}
permettent de donner une formule de changement
de base pour une application lin\'eaire.
\begin{prop}
Soit $\varphi$ une application lin\'eaire d'un espace vectoriel $V_1$
de base $B_1$ vers un espace vectoriel $V_2$ de base $B_2$, de matrice
$M$ relativement \`a ces bases $B_1$ et $B_2$. 
Soit $B_1'$ une autre base de $V_1$ de matrice de passage $P_1$ dans
la base $B_1$,
et $B_2'$ une autre base de $V_2$ de matrice de passage $P_2$ dans
la base $B_2$.
Alors la matrice $M'$ de $\varphi$ relativement aux bases $B_1'$ et $B_2'$
est donn\'ee par
$$ M'=P_2^{-1} M P_1$$
Si $V_1=V_2$ on prend $B_1=B_2$ et $B_1'=B_2'$ donc $P_1=P_2=P$ et on a
$$ M'=P^{-1}MP$$
\end{prop}

{\bf Exemple 1} Dans $\mathbb{R}^2$ vu comme le plan complexe,
on consid\`ere l'application lin\'eaire $f: z \rightarrow
\overline{z}$. On v\'erifie qu'il s'agit bien d'une application
lin\'eaire (c'est une sym\'etrie par rapport \`a l'axe $Ox$). 
Dans la base canonique $B$, sa matrice est 
\giacinputmath{A:=[[1,0],[0,-1]]}
% $$ M=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right]$$
Prenons la base $B'$ dont les vecteurs ont pour affixe
$1+i$ et $1-i$, la matrice de passage de $B$ \`a $B'$
est \giacinputmath{P:=[[1,1],[1,-1]]}
%$$ P=\left[\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\end{array}\right]$$
donc la matrice de $f$ dans $B'$ est
\giacinputmath{P^-1*A*P}
ce qu'on v\'erifie directement puisque les deux vecteurs de base
sont conjugu\'es l'un de l'autre.

{\bf Exemple 2}\\
Dans $\mathbb{R}^2$, on consid\`ere la projection orthogonale sur la droite
vectorielle engendr\'ee par le vecteur $v(1,1)$.
 On prend pour
$B_1=B_2$ la base canonique $(e_1,e_2)$ et pour $B_1'=B_2'$ la base form\'ee
par $v$ et un vecteur orthogonal $w(1,-1)$.
\begin{giaconload}
gl_ortho=1;
e1:=vecteur(1,0); e2:=vecteur(0,1);
v:=vecteur(1,1,color=red); w:=vecteur(1,-1,color=green);
display(1/2*v,magenta); 
segment(1,i,color=cyan);
\end{giaconload}
L'image de $v$ est
lui-m\^eme i.e. $1v+0w$, donc la premi\`ere colonne de $M'$ est $(1,0)$.
L'image de $w$ est le vecteur nul, donc
$$
M'= \left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 0
\end{array}\right)
$$
L'image du vecteur $(1,0)$ par la projection est 
$\frac{1}{2} v
=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$
de m\^eme pour $(0,1)$ donc les 2 colonnes de $M$ ont pour 
coordonn\'ees $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$
$$ 
M=\left(\begin{array}{cc}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{array}\right)
$$
La matrice de passage
de $B_1'$ est (coordonn\'ees de $v$ et $w$ en colonnes)
$$ P=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
1 & -1
\end{array}\right)$$
V\'erifions que $M'=P^{-1}MP$.
\giacinputbigmath{P:=[[1,1],[1,-1]]; M:=1/2*[[1,1],[1,1]]; P^-1*M*P}

\begin{defn}
On d\'efinit le {\bf rang}\index{rang (matrice)} d'une matrice $M$ comme \'etant la dimension du
sous-espace vectoriel engendr\'e par ses vecteurs colonnes.
Il s'agit donc du rang de toute application lin\'eaire ayant $M$ comme
matrice.
\end{defn}
\begin{prop} \label{prop:rangmultinv}
Multiplier une matrice \`a droite ou/et \`a gauche 
par une matrice inversible ne change pas son rang.
\end{prop}
Cela r\'esulte du fait que le produit de matrices correspond \`a la
composition de deux applications lin\'eaires et que composer avec
une application lin\'eaire inversible ne change pas le rang. En effet
\begin{itemize}
\item pour la composition \`a droite, si $\varphi$ est inversible, alors
  Im$(\psi \circ \varphi)$=Im$(\psi)$, 
\item pour la composition \`a gauche, les
images par $\varphi$ d'une base de Im$(\psi)$  forment une base de 
Im$(\varphi \circ \psi)$.
\end{itemize}

Enfin, nous aurons parfois besoin du lemme suivant:
\begin{lem}\label{multzero}
Soit $M\in M_n(\mathbb{R})$ une matrice carr\'ee $n\times n$. 
Si pour tout $\underline{X}, \underline Y\in \mathbb{R}^n$
nous avons que ${}^t\underline{X} M \underline{Y}=0$ alors $M=0$.
\end{lem}
\begin{preuve}
Soit pour tout $i$ le vecteur colonne $\underline{e}_i\in \mathbb{R}^n$ d\'efini par
\[ (\underline{e}_i)_j= 1\ \mbox{si}\ i=j,\; 0\ \mbox{si}\ i\neq j.\]
Alors pour tout $1\leq i,j\leq n$ on a que \[{}^t\underline{e}_i 
M \underline{e}_j=M_{i,j}=0\] et donc
$M=0$.
\end{preuve}  

R\'e\'ecrivons maintenant notre probl\`eme initial dans le language des espaces 
vectoriels. Nous consid\'erons une fonction r\'eelle continue $f$, d\'efinie
sur une intervalle 
$[0,L]$ ($f \in V=C^0([0,L], \mathbb{R})$).
Nous voulons chercher une fonction $g_n$ qui est de la forme
\[ g_n(x)= a_0+ \sum_{k=1}^n a_k \cos\left(\frac{ k\pi x}{L}\right)+ b_k\sin\left(\frac{k\pi x}{L}\right)\]
et qui doit \^etre ``aussi proche que possible'' de $f$. \\ \\
Dans le langage des espaces vectoriels on pourrait \'ecrire la chose suivante :\\ \\
Soit $W$ le sous-espace de tous les \'el\'ements $g\in V$
qui peuvent s'\'ecrire sous la forme
\[ g_n(x)= a_0+ \sum_{k=1}^n a_k \cos\left(\frac{ k\pi x}{L}\right)+ b_k\sin\left(\frac{k\pi x}{L}\right).\]
$W$ est alors un sous-espace 
vectoriel de $V$ ({\bf exercice} : d\'emontrez-le !): 
de plus, $W$ est de dimension
finie et admet pour base finie la famille 
\[ {\bf e}=( 1, \cos{\frac{\pi x}{L}},\sin{\frac{\pi x}{L}},
\ldots, \cos{ \frac{n\pi x}{L}}, \sin{\frac{n\pi x}{L}}).\] Nous cherchons \`a identifier un
\'el\'ement $g\in W$ qui est ``le plus proche que possible'' de $f\in V$.\\ \\
Notre probl\`eme initial est donc un exemple particulier du probl\`eme suivant :\\ \\
{\bf Question.} J'ai un espace vectoriel $V$  et un \'el\'ement $v\in V$.
Il y a dans $V$ un sous-espace sp\'ecial de dimension finie $W\subset V$. Je veux
approcher au mieux $v$ par un \'el\'ement $w\in W$. Comment faire ? Et tout
d'abord, qu'est ce que \c ca veut dire ``approcher au mieux'' ?
\\ \\
Dans les deux prochains chapitres, nous aborderons surtout la question : 
qu'est ce
que \c ca veut dire ``approcher au mieux'' ?
%\newpage

\chapter{Formes bilin\'{e}aires.}

\section{Le produit scalaire canonique sur $\mathbb{R}^3$.}
Dans le chapitre pr\'ecedent, nous avons \'etudi\'e la notion d'espace vectoriel. Cette notion est utile parce qu'elle
englobe \`a la fois des espaces g\'eom\'etriques tels que $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$ et 
des espaces de fonctions tels que $\mathbb{R}_n[X]$ et
$C^0([0,1], \mathbb{R})$. 
Notre but est maintenant d'utiliser cette notion pour \'etendre des id\'ees g\'eom\'etriques (distance et
angle, par exemple) \`a des espaces de fonctions. Pour faire cela, 
il nous sera n\'ecessaire d'identifier une formule purement
alg\'ebrique 
qui permet de calculer distances et angles dans $\mathbb{R}^3$,
faisant intervenir le produit scalaire canonique sur $\mathbb{R}^3$.
\begin{defn}
Le produit scalaire canonique sur $\mathbb{R}^3$ est une fonction 
prenant en argument deux vecteurs $\underline{X}=\begin{pmatrix}
x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$ et $\underline{Y}=\begin{pmatrix}
y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}$
d\'efinie par
$$\langle \underline{X} | \underline {Y}\rangle= x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3$$
\end{defn}
Le produit scalaire canonique tire son int\'er\^et du fait qu'il
encode la g\'eom\'etrie de l'espace $\mathbb{R}^3$.
\ifhevea
\begin{giaconload}
X:=vecteur(3,1); Y:=vecteur(2,3);
X-Y; legend(X-Y,"X-Y"); angle(X,Y,"θ");
\end{giaconload}
\else
X:=vecteur(3,1); Y:=vecteur(2,3);
X-Y; legend(X-Y,"X-Y"); angle(X,Y,"theta");
\fi
\begin{thm}
Soient $\underline{X}$ et $\underline{Y}$ deux vecteurs dans
$\mathbb{R}^3$, 
soit $d$ la longueur de la diff\'erence $\underline{X}-\underline{Y}$
et soit $\theta$ l'angle entre ces deux vecteurs.
On a~:
\[ d= \sqrt{\langle \underline{X}-\underline{Y}|
 | \underline{X}-\underline{Y}\rangle}, \quad
\theta=
\arccos\left(\frac{\langle\underline{X}|\underline{Y}\rangle}
{\sqrt{\langle\underline{X}|\underline{X}\rangle\langle\underline{Y}|\underline{Y}\rangle}}\right).\]
\end{thm}
{\bf Il existe donc une formule qui permet de calculer la distance et l'angle entre deux vecteurs utilisant seulement le  produit 
scalaire.} Nous allons donc essayer de d\'efinir des classes 
de fonctions sur des espaces vectoriels qui ressemblent au produit scalaire sur $\mathbb{R}^3$ dans l'espoir qu'elles nous 
livront une bonne notion de ``distance''. 

Une des propri\'et\'es cl\'es du produit scalaire est qu'il se comporte effectivement comme un produit sous les
op\'erations alg\'ebriques de base sur les vecteurs,
c'est-\`a-dire qu'on a, pour tout $\underline{X}, \underline{Y},\underline{Z}\in \mathbb{R}^3$ et pour tout $\lambda\in \mathbb{R}$
\begin{enumerate}
\item $\langle\underline{X}+\underline{Y}, \underline{Z} \rangle=\langle\underline{X}|\underline{Z}\rangle+\langle\underline{Y}|\underline{Z}\rangle$
\item $\langle\underline{X}|\underline{Y}+\underline{Z}\rangle=\langle\underline{X}|\underline{Y}\rangle+\langle\underline{X}|\underline{Z}\rangle$
\item $\langle\underline{X}|\lambda \underline{Y}\rangle=\langle\lambda \underline{X}|\underline{Y}\rangle=
\lambda \langle\underline{X}|\underline{Y}\rangle$
\end{enumerate}

Nous allons donc commencer par \'etudier les fonctions de deux vecteurs qui respectent ces conditions.

\section{Formes bilin\'eaires : d\'efinitions et exemples.}
Dans cette section, de nouveau, nous pr\'esenterons la th\'eorie des formes bilin\'eaires r\'eelles, 
mais tous nos r\'esultats seront valables pour des formes complexes. 
% \begin{defn} 
% Soient $V$ et $V'$ deux $\mathbb{R}$-espaces vectoriels, 
% et soit $\varphi:V\times V'\to \mathbb{R}$ une application de $V\times V'$ 
% dans 
% $\mathbb{R}$.

% On dit que $\varphi :V\times V'\to \mathbb{R}$ est {\bf une forme
%   bilin\'{e}aire} s'il se comporte comme un produit, i.e.~:
% \begin{enumerate}
% \item pour tout $v_1, v_2\in V$ et $v'\in V'$ nous avons que
%   $\varphi(v_1+v_2, v')= \varphi(v_1, v)+\varphi(v_2,v')$
% \item pour tout $v\in V$ et $v_1', v_2'\in V'$ nous avons que $\varphi(v, v_1'+v_2')= \varphi(v, v_1')+\varphi(v,v_2')$
% \item pour tout $v\in V$, $v'\in V'$ et $\lambda\in \mathbb{R}$ nous avons que
% $\varphi(\lambda v, v')= \varphi(v, \lambda v') =\lambda \varphi(v,v')$.
% \end{enumerate}
% Dans le cas ou $V=V'$, on dit que $\varphi:V\times V\to \mathbb{R}$ est {\bf sym\'{e}trique} si 
% $\varphi(y,x)=\varphi(x,y)$ pour tout $x,y\in V$, et on dit que $\varphi:V\times V\to \mathbb{R}$ est 
% {\bf antisym\'{e}trique} si 
% $\varphi(y,x)=-\varphi(x,y)$ pour tout $x,y\in V$. 
% \end{defn}

\begin{defn} 
Soient $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel, 
et soit $\varphi$ une fonction de 2 variables de $V$ \`a valeur 
r\'eelle $\varphi :V\times V\to \mathbb{R}$.
On dit que $\varphi$ est {\bf une forme
  bilin\'{e}aire}\index{forme bilin\'eaire}\index{bilin\'eaire,
  forme}s'il se comporte comme un produit, i.e.~:
\begin{enumerate}
\item pour tout $v_1, v_2\in V$ et $v\in V$ nous avons que
  $\varphi(v_1+v_2, v)= \varphi(v_1, v)+\varphi(v_2,v)$
\item pour tout $v\in V$ et $v_1, v_2 \in V $ nous avons que $\varphi(v, v_1+v_2)= \varphi(v, v_1)+\varphi(v,v_2)$
\item pour tout $v\in V$, $v' \in V$ et $\lambda\in \mathbb{R}$ nous avons que
$\varphi(\lambda v, v')= \varphi(v, \lambda v') =\lambda \varphi(v,v')$.
\end{enumerate}
On dit que $\varphi$ est {\bf sym\'{e}trique}\index{sym\'etrique,  forme bilin\'eaire} si 
$\varphi(y,x)=\varphi(x,y)$ pour tout $x,y\in V$,
\\
On dit que $\varphi$ est 
{\bf antisym\'{e}trique}\index{antisym\'etrique, forme bilin\'eaire} si 
$\varphi(y,x)=-\varphi(x,y)$ pour tout $x,y\in V$. 
\end{defn}

{\bf Remarque~:}\\
On utilise le terme forme parce que la valeur de $\varphi$
est un r\'eel. Le terme bilin\'eraire vient du fait que
si on fixe un des arguments, on a une application lin\'eaire par
rapport \`a l'autre argument.

{\bf Exemples :}
\begin{enumerate}
\item L'application $$\varphi: \ 
\left\{ \begin{array}{ccc}
\mathbb{R}\times \mathbb{R} & \to & \mathbb{R}\\
 (x,y) & \mapsto & xy
\end{array} \right.$$
est une forme bilin\'{e}aire sym\'{e}trique.
\item
Le produit scalaire  $$\varphi: \ 
\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}, 
\quad \left(\left(\begin{array}{c}x_1 \\ \vdots \\ x_n
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{array}\right)\right)\mapsto x\cdot y=\sum_{i=1}^n x_iy_i$$
est une forme bilin\'{e}aire sym\'{e}trique. Lorsque $n=2$ ou $3$, on retrouve le produit scalaire 
\'etudi\'e ci-dessus. Nous appelons cette forme le {\it produit scalaire canonique} sur $\mathbb{R}^n$.
\item 
L'application qui \`a deux polyn\^omes $P$ et $Q$ associe le produit $P(0)Q(1)$
$$\varphi: \ 
\left\{ \begin{array}{ccc}
\mathbb{C}[X]\times\mathbb{C}[X] & \to &\mathbb{C}\\
 (P,Q) &\mapsto & P(0)Q(1)
\end{array} \right.$$
est une forme bilin\'{e}aire. Elle 
n'est pas sym\'{e}trique et n'est pas antisym\'etrique.
\item
 L'application qui \`a deux matrices carr\'ees $M$ et $N$ associe la
 trace du produit des deux matrices
$$\varphi: \ 
\left\{ \begin{array}{ccc}
\M_n(\mathbb{R})\times \M_n(\mathbb{R}) &\to &\mathbb{R}
\\
(M,N) &\mapsto &
          \mbox{tr}(MN)
\end{array} \right.$$
est une forme bilin\'{e}aire sym\'{e}trique.
\item
 L'application d\'eterminant $$\varphi:\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}, \quad
\left(
\left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2\end{array}\right), 
\left(\begin{array}{c}y_1 \\ y_2\end{array}\right) 
\right)\mapsto x_1y_2-x_2y_1$$
est bilin\'{e}aire et antisym\'etrique.
\item
 L'application $$\varphi:\mathbb{C}^2\times \mathbb{C}^2\to \mathbb{C}, \quad
\left(
\left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2\end{array}\right), 
\left(\begin{array}{c}y_1 \\ y_2\end{array}\right) 
\right)\mapsto x_1x_2+2x_1y_2$$
n'est pas bilin\'{e}aire.
\\
En effet, posons $\underline{U}=\left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2\end{array}\right),
\underline{V}=\left(\begin{array}{c}y_1 \\ y_2\end{array}\right)$. 
On a $$\varphi(\lambda \underline{U}, \underline{V})=(\lambda x_1)(\lambda x_2)+2(\lambda x_1)y_2=
\lambda^2 x_1x_2+2\lambda x_1y_2\neq \lambda \varphi(\underline{U},\underline{V}).$$
\item
L'application qui associe \`a deux fonctions continues $f$ et $g$
l'int\'egrale de leur produit sur $[0,1]$
$$\varphi: \ 
\left\{ \begin{array}{ccc}
 C^0([0,1], \mathbb{R})\times C^0([0,1], \mathbb{R}) & \rightarrow &
          \mathbb{R} \\
(f,g) & \rightarrow & \int_0^1 f(x) g(x) dx
\end{array} \right.$$
 est une forme bilin\'eaire sym\'etrique.
\item
 Pour toute fonction continue $p:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$,
l'application $$\varphi: \ 
\left\{ \begin{array}{ccc}
 C^0([0,1], \mathbb{R})\times C^0([0,1], \mathbb{R}) & \rightarrow
          &\mathbb{R}\\
 (f,g) & \rightarrow & \int_0^1 p(x) f(x) g(x) dx
\end{array} \right.$$
 est une forme bilin\'eaire sym\'etrique.
\end{enumerate}

Un cas particulier int\'eressant est celui ou on applique une forme bilin\'eaire \`a deux vecteurs identiques.
\begin{defn}
Soit $V$ un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ et soit 
$\varphi$ une forme bilin\'eaire sym\'etrique sur $V$. Alors la forme quadratique
associ\'ee \`a $\varphi$, 
not\'ee $q_\varphi$, est la fonction d\'efinie sur $V$ par 
$$q_\varphi(v)=\varphi(v,v)$$
\end{defn}
La forme quadratique\index{quadratique, forme}\index{forme
  quadratique} 
associ\'ee \`a une forme bilin\'eaire est un analogue de la fonction
carr\'ee d'un nombre r\'eel, ou de 
la norme de $v$ au carr\'e ($\|v\|^2$) quand $v$ est un vecteur 
dans $\mathbb{R}^2$ ou $\mathbb{R}^3$. 
Les formules suivantes (dites ``formule de polarisation'' et ``formule du 
parall\'elogramme'') permettent 
de r\'etrouver une forme bilin\'eaire sym\'etrique \`a partir de la
forme quadratique associ\'ee.
\begin{lem}
Soit $V$ un espace vectoriel, $\varphi$ une forme bilin\'eaire sur 
$V\times V$ et $q_\varphi$ la forme quadratique associ\'ee. Alors pour tout
$v,w\in V$ on a 
\[\varphi(v,w)= \frac{1}{2}(q_\varphi(v+w)-q_\varphi(v)-q_\varphi(w))\]
\[q_\varphi(v+w)+q_\varphi(v-w)= 2(q_\varphi(v)+q_\varphi(w)).\]
\end{lem}
La d\'emonstration de ce lemme est laiss\'ee en exercice. 

{\bf Remarque~:}\\
Ces formules sont les g\'en\'eralisations des relations suivantes sur $\mathbb{R}$ :
\[ xy= \frac{1}{2}((x+y)^2-x^2-y^2).\]
\[ (x+y)^2+ (x-y)^2= 2(x^2+y^2).\]

\section{Formes bilin\'eaires : repr\'esentation matricielle.}
Nous allons maintenant d\'efinir la matrice d'une forme bilin\'eaire dans une base, qui va nous permettre,
modulo le choix d'une base, de r\'eduire les calculs faisant intervenir des formes bilin\'eaires sur
des espaces de dimension finie \`a des multiplications de matrices.
\begin{defn}
Soit $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie $n$, soit
${\bf e}=(e_1,\ldots,e_n)$
 une base de $V$, et soit $\varphi:V\times V\to \mathbb{R}$ une forme bilin\'{e}aire. 
La {\bf matrice} de $\varphi$ dans la base {\bf e} est la matrice $n\times n$,
$M$, dont les coefficients sont 
donn\'es par
$$M_{i,j}=(\varphi(e_i,e_j))_{1\leq i,j\leq n}.$$
\end{defn}

\begin{lem}\label{lembilrep}
Soit $V$ un espace vectoriel de dimension finie $n$, soient $x,y\in
V$, soit ${\bf e}=(e_1,\ldots,e_n)$ 
une base de $V$, notons 
$\underline{X}=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\ x_n\end{pmatrix}$ et 
$Y= \begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\ y_n\end{pmatrix}$ les vecteurs coordonn\'{e}es de $x$ et $y$ dans la base {\bf e} 
(autrement dit $x=\sum_{i=1}^n x_i e_i, y=\sum_{i=1}^ny_i e_i$). 
Soit $\varphi:V\times V\to \mathbb{R}$ une forme bilin\'{e}aire, et
soit $M$ la matrice 
de $\varphi$ dans la base ${\bf e}$. 
Alors on a $$\varphi(x,y)={}^t\underline{X}M\underline{Y}=\sum_{i,j}\varphi(e_i,e_j)x_iy_j.$$
\end{lem}

\begin{preuve}
On a $$\varphi(x,y)=\varphi(\sum_{i=1}^n x_i e_i,\sum_{j=1}^n y_j e_j)=\sum_{j=1}\varphi(\sum_{i=1}^n x_i e_i,y_j e_j)=\sum_{j=1}y_j 
\varphi(\sum_{i=1}^n x_i e_i,e_j),$$
puisque $\varphi$ est lin\'{e}aire en $y$.
Or on a aussi $$\varphi(\sum_{i=1}^n x_i e_i,e_j)=\sum_{i=1}^n \varphi(x_i e_i,e_j)=\sum_{i=1}^n x_i\varphi(e_i,e_j).$$
Ainsi, on obtient $$\varphi(x,y)=\sum_{j=1}^n y_j(\sum_{i=1}^n x_i\varphi(e_i,e_j))=\sum_{i,j} \varphi(e_i,e_j)x_iy_j.$$

On a aussi $$M\underline{Y}=\left(\begin{array}{c}\vdots \\ \sum_{j=1}^n \varphi(e_i,e_j)y_j\\ \vdots \end{array}\right),$$
et donc $${}^t\underline{X}M\underline{Y}=\left(\begin{array}{ccc}\cdots & x_i& \cdots \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\vdots \\ \sum_{j=1}^n \varphi(e_i,e_j)y_j\\ \vdots \end{array}\right)=\sum_{i,j} x_i\varphi(e_i,e_j)y_j=\sum_{i,j} \varphi(e_i,e_j)x_iy_j.$$
\end{preuve}

\begin{coro}\label{corosym}
Soit $V$ un espace vectoriel de dimension finie $n$.
Soit $\varphi:V\times V\to \mathbb{R}$ une forme bilin\'{e}aire. Les propositions 
suivantes sont \'{e}quivalentes.

\begin{enumerate}

\item $\varphi$ est sym\'{e}trique

\item Pour tout base {\bf e} de $V$, la matrice $M$ de $\varphi$ dans la base {\bf e} est sym\'etrique.

\item Il existe une base {\bf e} de $V$ telle que la matrice $M$ de $\varphi$ dans la base {\bf e} est sym\'{e}trique.

\end{enumerate}
\end{coro}
\begin{preuve}
Soit $\varphi:V\times V\to \mathbb{R}$ une forme bilin\'eaire, et soit {\bf e} une base de $V$.

Si $\varphi$ est sym\'etrique, alors on
a $$\varphi(e_i,e_j)=\varphi(e_j,e_i)\ \mbox{pour tout}\ i,j,$$
et ceci s'\'{e}crit matriciellement ${}^tM=M$, par d\'{e}finition de
la matrice de $\varphi$. On a donc $(1)\Rightarrow (2)$.
L'implication $(2)\Rightarrow (3)$ \'{e}tant claire, il reste \`{a} montrer $(3)\Rightarrow (1)$.

Supposons qu'il existe une base {\bf e} de $V$ telle que $M$ est sym\'etrique. Soient $x,y\in V$, et soient $\underline{X}, \underline{Y}$
leurs vecteurs de coordonn\'ees dans la base ${\bf e}$.
On a alors que
\[ \varphi(x,y)= {}^t\underline{X} M \underline{Y}\]
Le membre de droit est une matrice $1\times 1$ : elle est donc \'egale \`a sa propre  transpos\'ee et on a 
\[ \varphi(x,y)= {}^t\underline{X} M \underline{Y}= {}^t({}^t\underline{X} M \underline{Y})= {}^t \underline{Y}{}^t M \underline{X}= {}^t\underline{Y}M \underline{X}=
\varphi(y,x)\] 
CQFD.
\end{preuve}

Le lemme pr\'{e}c\'{e}dent admet une r\'{e}ciproque, bien utile pour d\'{e}montrer qu'une application est bilin\'{e}aire et donner sa matrice repr\'{e}sentative dans une base fix\'{e}e.

\begin{lem}
 Soit $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie, et soit ${\bf e}=(e_1,\ldots,e_n)$ une base de $V$. 
 Pour tout $a_{ij}\in \mathbb{R}, 1\leq i,j\leq n$, l'application 
$$\varphi:\ 
\left\{ \begin{array}{ccc}
V\times V  & \to & \mathbb{R} \\
(\sum_{i=1}^n x_ie_i,\sum_{j=1}^n y_je_j) & \mapsto & \sum_{1\leq i,j\leq n}
                                                a_{ij}x_iy_j
\end{array}\right.$$ 
est une forme bilin\'{e}aire, dont la matrice $A$ dans la base {\bf e}
est donn\'ee par $A_{ij}=(a_{ij}).$
\end{lem}


{\bf Exemples}
\begin{enumerate}
\item L'application $$\varphi:\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, \left(\left(\begin{array}{cc}x_1 \\ x_2\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}y_1 \\ y_2\end{array}\right) \right)\mapsto x_1y_1+x_2y_2+3x_1y_2-x_2y_1$$ est bilin\'{e}aire, et sa matrice repr\'{e}sentative dans la base canonique de $\mathbb{R}^2$ est $$M=\left(\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -1 & 1\end{array}\right).$$

\item Consid\'{e}rons l'application qui \`a deux polynomes de degr\'e
  inf\'erieurs ou \'egaux \`a 2 associe le produit de leur valeur en 1
  et 0 
$$\varphi: \mathbb{R}_2[X]\times \mathbb{R}_2[X]\to \mathbb{R}, (P,Q)\mapsto P(1)Q(0).$$
On peut v\'{e}rifier directement que $\varphi$ est bilin\'{e}aire, mais on peut aussi utiliser la remarque pr\'{e}c\'{e}dente. 
Pour cela, consid\'{e}rons la base $1,X,X^2$ de $\mathbb{R}_2[X]$. On \'{e}crit $$P=x_1+x_2X+x_3 X^2, Q=y_1+y_2X+y_3X^2.$$
On v\'{e}rifie alors que $\varphi(P,Q)=x_1y_1+x_2y_1+x_3y_1$. Donc $\varphi$ est bilin\'{e}aire et sa matrice repr\'{e}sentative dans la base $1,X,X^2$ est 
$$M=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0& 0 \\ 1 & 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right).$$
\end{enumerate}


Regardons maintenant ce qui se passe lorsque l'on effectue un changement de base.

\begin{prop}\label{chgtbase}
Soit $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie $n$, soient ${\bf e}$ et ${\bf e'}$ deux bases de $V$, et soit $P$ la matrice de passage de la base 
${\bf e}$ 
\`{a} la base ${\bf e}'$ (c'est-\`{a}-dire colonne par colonne
la matrice des coordonn\'{e}es des vecteurs de ${\bf e'}$ dans la base {\bf e}).
Soit $\varphi:V\times V\to \mathbb{R}$ une forme bilin\'{e}aire, soit $M$ sa matrice dans la base ${\bf e}$ et soit $N$ sa matrice dans la base ${\bf e'}$. Alors on a $N={}^tPMP.$
\end{prop}

\begin{preuve}
Soient $x,y\in V$, soient $\underline{X}, \underline{Y}$ leur vecteurs de coordonn\'ees dans la base ${\bf e}$ et
 soient $\underline{X}', \underline{Y}'$ leurs coordonn\'ees dans la base ${\bf e'}$. On a alors $\underline{X}= P\underline{X}'$ et $ \underline{Y}= P\underline{Y}'$ pour tout $x,y$ et donc
\[ \varphi(x,y)= {}^t \underline{X}M \underline Y= {}^t(P\underline{X}') M P\underline{Y}'= {}^t\underline{X}'{}^tP MP \underline{Y}'={}^t\underline{X}'N\underline{Y}'.\]
c'est \`a dire que $N= {}^t P MP$ par \ref{multzero}.
\end{preuve}



Nous sommes pr\^{e}ts \`{a} d\'{e}finir la notion de rang.
\begin{defn}
Soit $\varphi:V\times V\to \mathbb{R}$ une forme bilin\'{e}aire. Le
{\bf rang}\index{rang (forme bilin\'eaire)} de $\varphi$ est le 
rang de n'importe quelle matrice 
repr\'{e}sentative de $\varphi$ dans une base de $V$.

Le rang est bien d\'{e}fini et ne d\'{e}pend pas de la base choisie
d'apr\`{e}s la proposition pr\'{e}c\'{e}dente et la proposition \ref{prop:rangmultinv}.
\end{defn}

\section{Orthogonalit\'e.}

Les expressions permettant de calculer $\varphi(x,y)$ peuvent se
simplifier grandement lorsque 
la base {\bf e} est adapt\'ee. 
Par exemple, il est souvent utile de se d\'{e}barasser des termes
crois\'{e}s lorsque c'est possible.
On introduit pour cela la notion d'orthogonalit\'{e}.

\begin{defn}
Soit $V$ un espace vectoriel de dimension $n$ sur $\mathbb{R}$, et soit $\varphi:V\times V\to \mathbb{R}$ une forme bilin\'{e}aire {\bf sym\'{e}trique}.

On dit que deux vecteurs $x,y\in V$ sont $\varphi$-{\bf orthogonaux}\index{orthogonal} si $\varphi(x,y)=0$.

On le note $x\underset{\varphi}{\perp} y$, ou $x\perp y$ s'il n'y a pas de confusion possible.

On dit que la base ${\bf e}=(e_1,\ldots,e_n)$ est $\varphi$-{\bf
  orthogonale} si les vecteurs de la base sont $\varphi$-orthogonaux
deux \`{a} deux, c'est-\`{a}-dire si on a $$\varphi(e_i,e_j)=0\ \mbox{pour tout}\ i\neq j.$$
\end{defn}
\begin{lem}
La base ${\bf e}$ est $\varphi$-orthogonale si et seulement si $M$, la matrice de $\varphi$ dans la base ${\bf e}$,  est diagonale.
\end{lem}
\begin{preuve}
La base ${\bf e}$ est $\varphi$-orthogonale $\Leftrightarrow$
$\varphi(e_i, e_j)=0$ 
si $i\neq j$ $\Leftrightarrow$ $M_{i,j}=0$ si $i\neq j$ $\Leftrightarrow$ $M$ est diagonale.
\end{preuve}
 
On dit que {\bf e} est $\varphi$-{\bf orthonorm\'{e}e}\index{orthonorm\'ee} si on a 
$$\varphi(e_i,e_j)=\left\lbrace\begin{array}{l}0 \ \mbox{si}\ i\neq j
                                 \\ 1 \ \mbox{si}\ i=j\end{array}\right.$$ 

\begin{lem}
La base ${\bf e}$ est $\varphi$-orthonorm\'ee si et seulement si $\Mat(\varphi, {\bf e})$ est la matrice identit\'e.
\end{lem}
\begin{preuve}
Laiss\'ee en exercice.
\end{preuve}

\begin{defn}
On dit que deux sous-espaces $W,W'$ de $V$ sont {\bf orthogonaux} si
on a 
$$\varphi(w,w')=0\ \mbox{pour tout}\ w\in W,w' \in W'.$$ 

On dit que $V$ est la somme directe {\bf orthogonale} des sous-espaces $V_1,\ldots,V_m$ si $V=V_1\oplus\ldots\oplus V_m$ et les sous-espaces $V_1,\ldots,V_m$ sont orthogonaux deux \`{a} deux. On
note alors $$V=V_1\underset{\perp}{\oplus}\ldots\underset{\perp}{\oplus} V_m.$$
\end{defn}
On a le :
\begin{lem}\label{orthbase}
Soit $V$ un espace vectoriel et soit $\varphi$ une forme bilin\'eaire sur $V$. Soient $V_1,\ldots V_k$
des sous-espaces de $V$ tels que $V= V_1\underset{\perp}{\oplus}\ldots\underset{\perp}{\oplus} V_k$. 
Si pour chaque $i$, ${\bf v_i}$ est une base orthonorm\'ee 
de $V_i$ alors la concatenation $({\bf v}_1, {\bf v}_2, \ldots, {\bf v}_k)$
est une base orthonorm\'ee de $V$
\end{lem}
En effet tout vecteur $w$ de cette base de $V$ est dans un des $({\bf v}_i$
donc $\varphi(w,w)=0$, et il est orthogonal \`a tout autre vecteur $w'$ de
cette base de $V$, soit parce que $({\bf v}_1$ est orthonorm\'ee si
$w' \in {\bf v}_1 $, soit parce que les $V_i$ sont orthogonaux entre eux.

{\bf Exemples}
\begin{enumerate}
\item L'application qui a une paire de polyn\^omes de degr\'e au plus
  2 associe $$\varphi(P,Q)= \int_{-1}^1 P(t)Q(t)\mbox{d}t$$
est bilin\'{e}aire sym\'{e}trique. 
De plus, $1\underset{\varphi}{\perp}X$ et $X\underset{\varphi}{\perp}
X^2$. 
\giacinputmath{phi(P,Q):=integrate(P*Q,X,-1,1); 
phi(1,X); phi(X,X^2); phi(1,X^2);}
Par contre, $1$ et $X^2$ ne sont pas $\varphi$-orthogonaux, puisque l'on a 
$\varphi(1,X^2)=\frac{2}{3}$. 
La base $1,X,X^2$ n'est donc pas $\varphi$-orthogonale.\\
On peut v\'{e}rifier que la base $$1,X,X^2-\frac{1}{3}$$ est $\varphi$-orthogonale.
Elle n'est pas $\varphi$-orthonorm\'{e}e puisque \[\varphi(1,1)=2,\; 
\varphi(X, X)= 2/3,\; 
\varphi(X^2-\frac{1}{3}, X^2-\frac{1}{3})=  8/45.\] 
\giacinputmath{phi(1,1); phi(X,X); phi(X^2-1/2,X^2-1/3);}
On peut la rendre $\varphi$-orthonorm\'ee en
multipliant chaque \'el\'ement de la base par une constante bien
choisie.    
Plus pr\'ecisement, la base~:
\[\frac{1}{\sqrt{2}}\; \sqrt{\frac{3}{2}} X\; \sqrt{\frac{45}{8}}
(X^2-\frac{1}{3})\]
est une base $\varphi$-orthonorm\'ee.
\item
La base canonique de $\mathbb{R}^n$ est $\varphi$-orthonorm\'{e}e pour la forme bilin\'{e}aire sym\'{e}trique
$$\varphi( x, y)=x \cdot y=\sum_{i=1}^n x_iy_i$$
\item
Soit $V=C^0([-1,1],\mathbb{R})$, et soient $\mathcal{P}$ et
$\mathcal{I}$ le sous-espace 
des fonctions paires et impaires respectivement.
On sait que l'on a $$V=\mathcal{P}\oplus\mathcal{I}.$$
Consid\'{e}rons sur $V\times V$ l'application $$\varphi(f,g)= \int_{-1}^1 f(t)g(t)\mbox{d}t$$ 
Alors, on a $$\varphi(f,g)=0\ \mbox{pour tout}\ f \in\mathcal{P},g\in\mathcal{I}.$$
On a donc $$V=\mathcal{P}\underset{\perp}{\oplus}\mathcal{I}.$$  

\item Soit $\varphi$ la forme bilin\'eaire sym\'etrique sur $\mathbb{R}^3$ de matrice 
$$\begin{pmatrix} 
 0 & 1 & 0 \\
  1 & 0 & -1 \\
  0 & -1 & 0
\end{pmatrix}$$
Alors $(1,0,1)$ est orthogonal \`a tout vecteur,
$(1,0,0)$ est orthogonal \`a lui-m\^eme.
La base $\{ (1,0,1), (1,1,0), (1,-1,0) \}$ est $\varphi$-orthogonale.
\end{enumerate}

Le lemme \ref{lembilrep} entra\^{\i}ne imm\'{e}diatement:

\begin{lem}\label{calculorth}
Soit $V$ un espace vectoriel de dimension finie $n$, soit ${\bf
  e}=(e_1,\ldots,e_n)$ une base de $V$,
 et soient $$x=\sum_{i=1}^n x_i e_i, y=\sum_{i=1}^ny_i e_i$$ 
deux vecteurs de $V$.
Soit $\varphi:V\times V\to \mathbb{R}$ une forme bilin\'{e}aire
sym\'{e}trique. 
Si ${\bf e}$ est $\varphi$-orthogonale, on a $$\varphi(x,y)=\sum_{i=1}^n \varphi(e_i,e_i)x_iy_i.$$
En particulier, si ${\bf e}$ est $\varphi$-orthonorm\'{e}e, on a  $$\varphi(x,y)=\sum_{i=1}^n x_iy_i.$$

\end{lem}

Il n'existe pas toujours une base $\varphi$-orthonorm\'{e}e. 
En effet, si $\varphi:V\times V\to \mathbb{R}$ est bilin\'{e}aire sym\'{e}trique et s'il existe une base 
$\varphi$-orthonorm\'{e}e
alors le  lemme pr\'{e}c\'{e}dent montre que $\varphi(x,x)>0$ pour tout $x\neq 0$. 

Par exemple, la forme bilin\'{e}aire sym\'{e}trique sur
$\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2$
d\'efinie par $$\varphi((x_1,x_2),(y_1,y_2))= x_1y_1-x_2y_2.$$
n'admet pas de base $\varphi$-orthonorm\'{e}e, puisque $\varphi((0,1),(0,1))=-1<0$.

En revanche, on a le th\'{e}or\`{e}me suivant:

\begin{thm}\label{existorthogo}
Soit $V$ un espace vectoriel de dimension finie sur $\mathbb{R}$, et 
soit $\varphi:V\times V\to \mathbb{R}$ une forme bilin\'{e}aire sym\'{e}trique.
Alors il existe une base de $V$ qui est $\varphi$-orthogonale.
\end{thm}

\begin{preuve}
On d\'{e}montre l'existence d'une base $\varphi$-orthogonale par
r\'{e}currence sur $n=\dim(V)$.

Id\'ee de la preuve~: prenons un vecteur $e_0$, et regardons l'ensemble
des vecteurs $\varphi$-orthogonaux \`a $e_0$, c'est un sous-espace de dimension $n$ ou
$n-1$. Si la dimension vaut $n$, $e_0$ est orthogonal \`a tout le
monde, on peut prendre un sous-espace de dimension $n-1$ qui
ne contient pas $e_0$, une base $\varphi$-orthogonale de ce
sous-espace auquel on ajoute $e_0$ convient. Si la dimension vaut $n-1$, on prend une base
$\varphi$-orthogonale  de ce sous-espace, si $e_0$  n'appartient pas
au sous-espace, on ajoute $e_0$ \`a la base. On a donc int\'er\^et \`a choisir $e_0$ tel que
$\varphi(e_0,e_0)\neq 0$ (dans l'exemple sur $\mathbb{R}^3$, on ne
peut pas par exemple prendre $e_0=(1,0,0)$ qui est orthogonal \`a lui-m\^eme).

Soit donc $(P_n)$ la propri\'{e}t\'{e}:\\
$(P_n)$  Pour tout $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension $n$ et tout $\varphi:V\times V\to \mathbb{R}$, il existe une base $\varphi$-orthogonale. 

Si $n=1$, il n'y a rien \`{a} d\'{e}montrer.

Supposons que $(P_n)$ soit vraie, et soit $\varphi:V\times V\to \mathbb{R}$ une forme bilin\'{e}aire sym\'{e}trique  avec $\dim(V)=n+1$.

Si $\varphi=0$, toute base est $\varphi$-orthogonale, et on a fini. 
On suppose donc que $\varphi\neq 0$. Soit $q$ la forme quadratique associ\'ee.
Par le formule de polarisation, si $q=0$ alors $\varphi=0$, ce qui
n'est pas le cas. 
Il existe donc un $e_0$ tel que $q(e_0)\neq 0$, c'est \`a dire,
 $\varphi(e_0,e_0)\neq 0$.

L'application 
$$f:
\left\{
\begin{array}{ccc}
V & \to & \mathbb{R}\\
 y&\mapsto &\varphi(e_0,y)
\end{array}\right.
$$ 
est alors une application lin\'{e}aire non nulle, puisque 
\[f(e_0)=\varphi(e_0,e_0)\neq 0\] et son image est donc $=\mathbb{R}$. 
Par le th\'eor\`eme du rang, \[\dim\mbox{Ker}(f)=n+1-1=n.\] 

Par hypoth\`{e}se de r\'{e}currence, il existe une base $(e_1,\ldots,e_n)$ de $\mbox{Ker}(f)$ qui est orthogonale pour 
la forme 
$$\varphi':
\left\{
\begin{array}{ccc}
\mbox{Ker}(f)\times \mbox{Ker}(f) &\to & \mathbb{R}\\
 (x,y) &\mapsto &\varphi(x,y)
\end{array}\right.
$$


Montrons que ${\bf e}=(e_0,e_1,\ldots,e_n)$ est une base de $V$.
Puisque $\dim(V)=n+1$, il suffit de montrer que la famille $(e_0,\ldots,e_n)$ est libre. Soient 
$\lambda_0,\ldots,\lambda_n\in \mathbb{R}$ tels que $$\lambda_0 e_0+\lambda_1 e_1+\ldots+\lambda_n e_n=0.$$
En appliquant $f$ \`{a} cette \'{e}galit\'{e} et en utilisant la lin\'{e}arit\'{e}, on obtient $$\lambda_0 f(e_0)+\lambda_1 f(e_1)+\ldots+\lambda_n f(e_n)=0.$$

Puisque $e_1,\ldots,e_n\in\mbox{Ker}(f)$, on obtient $\lambda_0 f(e_0)=0$. Comme $f(e_0)\neq 0$, on obtient $\lambda_0=0$. On a donc $$\lambda_1 e_1+\ldots+\lambda_n e_n=0.$$
Comme $(e_1,\ldots,e_n)$ est une base de $\mbox{Ker}(f)$, ils sont lin\'{e}airement ind\'{e}pendants, et on obtient donc  $$\lambda_1=\cdots=\lambda_n=0.$$

Ceci prouve que {\bf e} est une base de $V$. Il reste \`{a} v\'{e}rifier que cette base est $\varphi$-orthogonale.

Par choix des $e_i$, on a $$\varphi(e_i,e_j)=\varphi'(e_i,e_j)=0\ 
\mbox{pour tout}\ i\neq j,1\leq i,j\leq n$$
et aussi $$\varphi(e_0,e_j)=f(e_j)=0\ \mbox{pour tout}\ j>0$$
parce que $e_j\in \mbox{Ker}(f)$.  
On a donc que $$\varphi(e_i,e_j)=0\ \mbox{pour tout}\ 0\leq i\neq j\leq n.$$
Ainsi, $(e_0,e_1,\ldots,e_n)$ est une base $\varphi$-orthogonale.
Ceci ach\`{e}ve la r\'{e}currence.
\end{preuve}

{\bf Remarque}\\
Le r\'{e}sultat pr\'{e}c\'{e}dent peut \^{e}tre faux si $\varphi$ n'est pas bilin\'{e}aire sym\'{e}trique.
Par exemple, si $\varphi: V\times V\to \mathbb{R}$ est
antisym\'{e}trique, 
c'est-\`{a}-dire si on a $$\varphi(y,x)=-\varphi(x,y)\ \mbox{pour
  tout}\ x,y\in V,$$
et si $\varphi$ est {\bf non nulle}, alors il n'existe pas de base
$\varphi$-orthogonale de $V$.

En effet, si $\varphi$ est une telle forme, alors on
a $$\varphi(x,x)=-\varphi(x,x)\ \mbox{pour tout}\ x\in V.$$
On a donc $$\varphi(x,x)=0\ \mbox{pour tout}\ x\in V.$$
Supposons maintenant que ${\bf e}=(e_1,\ldots,e_n)$ est une base
$\varphi$-orthogonale. 
On a donc $$\varphi(e_i,e_i)=0\ \mbox{pour tout}\ i=1,\ldots,n.$$
Comme $\varphi(e_i,e_j)=0$ pour tout $i\neq j$ puisque {\bf e} est
$\varphi$-orthogonale, 
on en d\'{e}duit que si $M$ est la matrice de $\varphi$ dans ${\bf e}$
alors $M=0.$

Le Lemme \ref{lembilrep} entra\^{\i}ne alors que l'on
a $$\varphi(x,y)=0\ \mbox{pour tout}\ x,y\in V,$$
ce qui contredit le fait que $\varphi$ est non nulle.

Un exemple d'une telle forme bilin\'{e}aire $\varphi$ est donn\'{e}
par 
le d\'eterminant de deux vecteurs de $\mathbb{R}^2$, 
$$\mbox{det}\left(
\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}y_1\\ y_2\end{array}\right)
\right) = x_1y_2-x_2y_1.$$

\begin{prop}
Soit $E$ un sous-ensemble d'un espace vectoriel $V$, et $\varphi$ une
forme bilin\'eaire sym\'etrique sur $V$. L'ensemble $W$ des vecteurs
$\varphi$-orthogonaux \`a tous les \'el'ements de $E$ est un
sous-espace vectoriel de $V$, on le note $E^\perp$.
On a $E^\perp=$Vect$(E)^\perp$ et si $F$ est une famille
g\'en\'eratrice de Vect$(E)$ alors $E^\perp=F^\perp$.
\end{prop}
Preuve~: utiliser la lin\'earit\'e de $\varphi$ par rapport \`a un de
ses arguments.

Pour chercher l'orthogonal d'un ensemble $E$ (en dimension finie), il
suffit donc de trouver une base $\{ e_1,...,e_n\}\}$ de Vect$(E)$ et de r\'esoudre le
syst\`eme lin\'eaire $\varphi(v,e_j)=0, j=1..n$ 

\begin{defn}
Soit $V$ un espace vectoriel et $\varphi$ une
forme bilin\'eaire sym\'etrique sur $V$.
On appelle noyau de $\varphi$ l'orthogonal de l'espace $V$ tout
entier.
$$ \mbox{Ker}(\varphi)=V^\perp$$
En dimension finie, si on a une base $B$ de $V$, et si $M$ est la
matrice de $\varphi$, le noyau de $\varphi$ est le noyau de
l'endomorphisme de matrice $M$
$$ \mbox{Ker}(\varphi)=\mbox{Ker}(M)$$
\end{defn}
En effet, si $v$ et $w$ ont pour coordonn\'ees les vecteurs colonnes
$X$ et $Y$, on a $\varphi(v,w)=\, ^tXMY$, donc si $w$ est dans le
noyau de l'endomorphisme de matrice $M$, alors $MY=0$ et
$\varphi(v,w)=0$. R\'eciproquement, on prend $X=MY$.

Exercice~: calculer les noyaux des formes des exemples ci-dessus.

Si $B$ est une base $\varphi$-orthogonale, on voit que 
le noyau de $\varphi$ a pour base
l'ensemble des vecteurs $e_j$ de $B$ tels que $\varphi(e_j,e_j)=0$,
la dimension du noyau de $\varphi$ est le nombre de coefficients nuls sur la diagonale
de $M$ (qui est diagonale). Ce nombre ne change donc pas si on prend
une autre base $\varphi$-orthogonale.

\begin{defn}
Soit $V$ un espace vectoriel de dimension finie et $\varphi$ une
forme bilin\'eaire sym\'etrique sur $V$. On d\'efinit le rang de
$\varphi$ par
$$ \mbox{rang}(\varphi)=\mbox{dim}(V)-\mbox{dim(Ker}(\varphi))$$
SI $B$ est une base de $V$, c'est aussi le rang de la matrice $M$ de $\varphi$
dans la base $B$.
\end{defn}
Le calcul du rang se fait donc comme si $M$ \'etait une matrice
d'application lin\'eaire.
Si $B$ est une base $\varphi$-orthogonale, le rang de $M$ est le
nombre de coefficients non nuls sur la diagonale de $M$. Ce nombre ne change donc pas si on prend
une autre base $\varphi$-orthogonale.

En fait on a un r\'esultat un peu plus g\'en\'eral, qui dit que le
nombre de coefficients strictement positifs et le nombre de
coefficients strictements n\'egatifs
ne d\'epend pas de la base $\varphi$-orthogonale, c'est le
th\'eor\`eme de Sylvester (et la d\'efinition de la signature) que
nous verrons plus bas.

\section{Calcul effectif d'une base $\varphi$-orthogonale.}
\subsection{Lien avec la forme quadratique correspondante.}
Nous allons calculer une base $\varphi$-orthogonale en exploitant la forme
quadratique $q$ qui lui est associ\'ee. Rappelons que la forme 
bilin\'eaire sym\'etrique $\varphi$ peut \^etre reconstruite de la forme 
quadratique $q$ via la formule de polarisation
\[ \varphi(x,y)= \frac{1}{2} (q(x+y)-q(x)-q(y)).\]
Nous disons alors que $\varphi$ est la forme polaire de $q$, que
nous noterons parfois $\varphi_q$. 

{\bf Exemples}
\begin{enumerate}
\item La norme euclidienne de $\mathbb{R}^n$ d\'efinie par
$$q(x=\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix})
= x_1^2+\ldots+x_n^2$$ est une forme quadratique, de forme polaire le
produit scalaire usuel
$$\varphi_q \left( \begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}y_1\\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}\right)
= x_1y_1+\ldots+x_ny_n.$$

En effet, l'application $\varphi$ est bilin\'{e}aire sym\'{e}trique et on a clairement $\varphi(x,x)=q(x)$.\\
V\'erifions la formule de polarisation. On a que
$$q(x+y)=\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)^2=\sum_{i=1}^n x_i^2+2x_iy_i+y_i^2=q(x)+q(y)+2
\varphi(x,y).$$
\item
L'application qui a une fonction continue sur $[0,1]$ \`a valeurs
r\'eelles
associe $$q( f)=\int_0^1 f(t)^2\mbox{d}t$$ 
est une forme quadratique, de forme polaire 
$$\varphi_q (f,g)= \int_0^1 f(t)g(t)\mbox{d}t.$$ 
V\'erifions la formule de polarisation. 
\begin{eqnarray*}
q(f+g)&=&\int_0^1 (f(t)+g(t))^2\,\mbox{d}t \\
&=&\int_0^1f(t)^2+2f(t)g(t)+g(t)^2\,\mbox{d}t\\
&=&q(f)+q(g)+2\int_0^1 f(t)g(t)\mbox{d}t.
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}

\begin{defn}
Soit $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie $n$, et soit $q:V\to \mathbb{R}$
une forme quadratique.
Soit {\bf e} une base de $V$. La matrice $M$ de $q$ dans la base {\bf e} est la matrice de la forme polaire $\varphi_q$ dans la base ${\bf e}$. 
C'est une matrice sym\'{e}trique par le Corollaire \ref{corosym}.

Le {\bf rang} de $q$, not\'{e} $\mbox{rg}(q)$, est le rang de sa forme polaire.   

On dit que {\bf e} est $q$-orthogonale (resp. $q$-orthonorm\'{e}e) si elle est $\varphi_q$-orthogonale (resp. $\varphi_q$-orthonorm\'{e}e).
\end{defn}


L'\'{e}galit\'{e} $q(x)=\varphi_q(x,x)$ 
et le Lemme \ref{lembilrep} donnent imm\'{e}diatement:

\begin{lem}
Soit $V$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ et ${\bf e}$ une base 
pour $V$. Soit $x\in V$, et soit $\underline{X}$ le vecteur 
coordonn\'{e}es de $x$  dans la base {\bf e}.


Soit $q:V\to \mathbb{R}$ une forme quadratique, et soit $M$ sa matrice dans la base
${\bf e}$. Alors on a $$q(x)={}^t\underline{X} M \underline{X}.$$
En particulier, si {\bf e} est $q$-orthogonale, c'est \`a dire si $M$ est 
diagonale, alors on a $$q(x)=\sum_{i=1}^n q(e_i)x_i^2.$$
\end{lem}

Le lemme suivant nous permet de passer directement de la forme quadratique 
$q$ a sa matrice $M$ sans calculer le forme polaire $\varphi$.

\begin{lem}\label{lemast}
Soit $V$ un espace vectoriel de dimension finie $n$. Soient $x,y\in V$, et soit ${\bf e}=(e_1,\ldots,e_n)$ une base de $V$. Alors pour tout $a_{ij}\in \mathbb{R},
1\leq i\leq j\leq n$, l'application d\'efinie sur $V$ par
$$q(\sum_{i=1}^n x_ie_i) = \sum_{i=1}^n a_{ii}x_i^2+2\sum_{1\leq i<j\leq n}a_{ij}x_ix_j$$
est une forme quadratique, et sa matrice $A$ dans la base
${\bf e}$ est donn\'ee par $$A=(a_{ij}).$$
\end{lem}

La d\'{e}monstration est laiss\'{e}e en exercice au lecteur. {\bf Attention au facteur} 2 !

{\bf Exemple~}:\\
L'application d\'efinie sur $\mathbb{R}^2$ 
par $$q(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix})= 3x_1^2+
4x_1x_2+5x_2^2$$ 
est une forme quadratique, et sa matrice repr\'{e}sentative dans la base canonique de $\mathbb{R}^2$ est donn\'{e}e par 
$$\begin{pmatrix}3 & 2 \\ 2 & 5\end{pmatrix}.$$

Soient maintenant $\varphi$ une forme bilin\'eaire sur un espace $V$,
$q$ sa forme polaire, ${\bf e}$ une base pour $V$. 
Soit $x\in V$ un \'el\'ement arbitraire et $\underline{X}=\begin{pmatrix}x_1\\ 
\vdots \\ x_n\end{pmatrix}$ son vecteur de coordonn\'ees dans la 
base ${\bf e}$. Alors
\[ {\bf e}\ \mbox{est}\ \varphi\mbox{-orthogonale}\]
\[ \Updownarrow\]
\[ \mbox{la matrice de}\ \varphi\ \mbox{dans la base}\ {\bf e}\ \mbox{est diagonale}\]
\[ \Updownarrow\]
\[ \mbox{la matrice de}\ q\ \mbox{dans la base}\ {\bf e}\ \mbox{est diagonale}\]
\[ \Updownarrow\]
\[ \exists a_i\in\mathbb{R} \ \mbox{tels que}\ q(x)=\sum_{i=1}^n a_i
x_i^2.\]


\subsection{Algorithme de Gauss, signature}
Nous allons maintenant d\'{e}crire un algorithme, dit algorithme de
Gauss,  qui permet de trouver une base $q$-orthogonale. 

Soit $B'$ une base $\varphi$-orthogonale et $B$ une base quelconque,
$P$ la matrice de passage de $B'$ \`a $B$. Si un vecteur $v$ a pour
coordonn\'ees $^tX=(x_1,..,x_n)$ dans la base $B$ et $^tX'=(x_1',...,x_n')$
dans la base $B'$, on a $PX=X'$ donc~:
$$ q(v) = \sum_{i=1}^n a_i x_i'^2$$
\begin{equation} 
q(v)=\sum_{i=1}^n a_i \left(\sum_{j=1}^n P_{ij} x_j\right)^2 \label{eq:gaussquad}
\end{equation}
Pour trouver une base $q$-orthogonale, nous allons effectuer le
processus inverse, partir de l'expression de $q(v)$ en fonction des
$x_j$ et essayer de l'\'ecrire sous la forme (\(\ref{eq:gaussquad}\))
de somme/diff\'erences de
carr\'es de combinaisons lin\'eaires {\em ind\'ependantes} des coordonn\'ees
de $v$. La matrice de passage de $B$ \`a $B'$ s'obtient alors en
inversant $P$, la $i$-i\`eme colonne de cette matrice $P^{-1}$,
qui est le vecteur colonne des coordonn\'ees du $i$-i\`eme vecteur de la base 
$q$-orthogonale, s'obtient en r\'esolvant  le syst\`eme
$$ \left\{ \begin{array}{c} 
x_1'=0 = \sum_{j=1}^n P_{1j} x_j\\
...\\
x_i'=1=\sum_{j=1}^n P_{ij} x_j\\
...\\
x_n'=0=\sum_{j=1}^n P_{nj} x_j
\end{array} \right.$$



{\bf Algorithme de Gauss}

Soit $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie $n$, et soit {\bf e} une base de $V$. 
Soit $q:V\to \mathbb{R}$ une forme quadratique, et soit $M=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ sa matrice repr\'{e}sentative dans la base {\bf e}.
Si $x=\sum_{i=1}^n x_i e_i$, on a donc 
$$q(x)=\sum_{i=1}^n a_{ii} x_i^2+2\sum_{1\leq i<j\leq n}a_{ij}x_ix_j=P(x_1,\ldots,x_n).$$

On proc\`ede par r\'ecurrence sur le nombre de variables. A chaque \'etape, il
y a deux cas.
\begin{enumerate}
\item
 S'il existe un indice $k$ tel que $a_{kk}\neq 0$, on regroupe tous les termes faisant intervenir la variable $x_k$, et on compl\`{e}te le carr\'{e}. On \'{e}crit
$$P(x_1,\ldots,x_n)=a_{kk}x_k^2+2f_k x_k+P_0,$$
o\`{u} $f_k$ est une forme lin\'{e}aire en les variables $x_i,i\neq k$, et $P_0$ est une  forme quadratique en les variables $x_i,i\neq k$.\\
On a alors 
$$\begin{array}{lll}P(x_1,\ldots,x_n)&=&a_{kk}(x_k^2+\frac{2}{a_{kk}}f_k x_k)+P_0\\ &=&a_{kk}((x_k+\frac{f_k}{a_{kk}})^2-\frac{f_k^2}{a_{kk}^2})+P_0\end{array}.$$
On peut donc \'{e}crire $$P(x_1,\ldots,x_n)=a_{kk}(x_k+\frac{f_k}{a_{kk}})^2+P_1,$$
o\`{u} $P_1$ est une  forme quadratique en les variables $x_i,i\neq k$.
\item
 Si $a_{kk}=0$ pour tout $k$, mais qu'il existe $k$ et $\ell$ tels
que $k<\ell$ et $a_{k\ell}\neq 0$. C'est le cas d\'elicat.\\
%On peut toujours supposer pour l'explication, quitte \`{a} renum\'{e}roter, que $(k,\ell)=(n-1,n)$.
On \'{e}crit 
$$P(x_1,\ldots,x_n)=2a_{k\ell}x_k x_\ell+2f_{k}x_{k}+2f_\ell x_\ell+P_0,$$
o\`{u} $f_k$ et $f_\ell$ sont des formes lin\'{e}aires en les
variables $x_i, (i\neq k,\ell)$, et $P_0$ est une forme quadratique en
les variables $x_i, (i\neq k,\ell)$.\\
%On \'{e}crit $$P(x_1,\ldots,x_n)=2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n+2(\sum_{i\leq n-2}a_{i,n-1}x_i)x_{n-1}+2(\sum_{i\leq n-2}a_{in}x_i)x_n+P_0(x_1,\ldots,x_{n-2}).$$
On a ainsi 
$$P(x_1,\ldots,x_n)=2a_{k\ell }(x_{k}+\frac{1}{a_{k\ell}}f_\ell)(x_{\ell}+\frac{1}{a_{k\ell}}f_k)
-\frac{2}{a_{k\ell}}f_kf_\ell+P_0.$$

On a donc $$P(x_1,\ldots,x_n)=2a_{k\ell}AB+P_1,$$
avec $A=x_{k}+\frac{1}{a_{k\ell}}f_\ell, B= x_{\ell}+\frac{1}{a_{k\ell}}f_k$, et $P_1$ est une forme quadratique en
les variables $x_i,i\neq k,\ell$. 
%Pour continuer la r\'ecurrence : si $P_1=0$ on arr\^ete, sinon on recommence le proc\'ed\'e avec $P_1$. 

On a alors $$P(x_1,\ldots,x_n)=\frac{a_{k\ell}}{2}((A+B)^2-(A-B)^2)+P_1.$$  
\end{enumerate}
Si $P_1=0$, on arr\^{e}te. Sinon, on recommence le proc\'{e}d\'{e} avec $P_1$.

On peut montrer que l'on obtient alors une \'{e}criture de la forme 
$$q(x)=\alpha_1(L_1(x))^2+\ldots+\alpha_r (L_r(x))^2,$$
o\`{u}:
 \begin{enumerate}
\item chaque $\alpha_i\in \mathbb{R}^*$
\item chaque $L_i$ est une forme lin\'eaire sur $V$
\item la famille de formes $(L_1,\ldots, L_r)$ est ind\'ependante.
\end{enumerate}
Si $q$ n'est pas de rang $n$ ($r \neq n$), on compl\`ete par des formes lin\'eaires $L_{r+1},
L_{r+2},\ldots, L_n$ (on les choisit par exemple parmi les formes
coordonn\'ees $x_1,...,x_n$) 
pour que la famille $(L_1, \ldots, L_n)$ soit 
libre et on \'ecrit
$$q(x)=\alpha_1(L_1(x))^2+\ldots+\alpha_r (L_r(x))^2+ 0 (L_{r+1})^2+
\ldots + 0(L_n(x)))^2$$

{\bf Calcul de la base $q$-orthogonale}\\
On cherche ${\bf e}'=(e'_1,e'_2,\ldots, e'_n)$
telle que pour tout $v$ on ait $v=\sum_i L_i(v)e'_i$. Cela revient \`a
\begin{center}
$L_j(e'_i)=0$ si $i\neq j$ et 1 si $i=j$. 
\end{center}
Les coordonn\'ees de $e'_i$ v\'erifient donc un syst\`eme dont la matrice
$M$ est obtenue en \'ecrivant en ligne les coefficients des $L_j$, et
de second membre la $i$-\`eme colonne de la matrice identit\'e. Il s'agit donc
du $i$-i\`eme vecteur colonne de $M^{-1}$.


{\bf Exemple 1~:}\\
On consid\`ere la forme quadratique $q$ d\'efinie sur $\mathbb{R}^2$
par
$$ q(x,y)=x^2+4xy$$
On \'elimine la variable $x$ en formant un carr\'e contenant tous les
termes d\'ependant de $x$ (forme canonique d'un polyn\^ome du second
degr\'e en $x$ d\'ependant de $y$ vu comme param\`etre)
$$ q(x,y)=(x+2y)^2-4y^2=x'^2-4y'^2, \quad x'=x+2y, y'=y$$
Pour trouver la base $q$-orthogonale, il suffit de chercher son
premier vecteur de base $x'=1, y'=0$ donc $y=0$ puis $x=1$,
puis son deuxi\`eme vecteur de base $x'=0,y'=1$ donc $y=1$ puis
$x=-2y=-2$. La matrice de passage de la base canonique \`a la base
$q$-orthogonale est donc $$ P=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 &
  1\end{pmatrix}$$
on peut v\'erifier
\giacinputmath{M:=[[1,2],[2,0]]; P:=[[1,-2],[0,1]]; tran(P)*M*P}

{\bf Exemple 2~}\\
On consid\`ere la forme quadratique $q$ d\'efinie sur $\mathbb{R}^3$
par
$$ q(x,y,z)=x^2+2xy+4xz+2yz$$
On \'elimine la variable $x$
$$ q(x,y,z)= (x+y+2z)^2-(y+2z)^2+2yz=(x+y+2z)^2-y^2-4z^2-2yz$$
Puis on \'elimine $y$ dans ce qui reste
$$ q(x,y,z)=(x+y+2z)^2-(y+z)^2-3z^2=x'^2-y'^2-3z'^2$$
Pour trouver la base $q$-orthogonale correspondante, on r\'esoud le
syst\`eme
$$ \left\{ \begin{array}{rcl}
x+y+2z&=&x'\\
y+z&=&y'\\
z&=&z'
\end{array}\right.$$
pour $(x',y',z')=(1,0,0)$ (premier vecteur de la base $q$-orthogonale)
puis $(x',y',z')=(0,1,0)$ (deuxi\`eme vecteur de la base
$q$-orthogonale)
et $(x',y',z')=(0,0,1)$ (troisi\`eme vecteur de la base
$q$-orthogonale).

{\bf Exemple 3~:}\\
Soit $q:\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}$ l'application qui a 
${\bf u}=\begin{pmatrix} x\\ y \\ z\\ t\end{pmatrix}$ associe 
$$q({\bf u})=x^2+2xy+2xz+2xt+y^2+6yz-2yt+z^2+10zt+t^2.$$
L'application $q$ est bien une forme quadratique car c'est un polyn\^ome de degr\'e
$2$ homog\`ene.

Appliquons l'algorithme de Gauss \`{a} $q$ pour trouver une base $q$-orthogonale.
On a 
$$\begin{array}{lll}q({\bf u})&=&x^2+2(y+z+t)x+y^2+6yz-2yt+z^2+10zt+t^2
\\ &=& (x+y+z+t)^2-(y+z+t)^2+y^2+6yz-2yt+z^2+10zt+t^2\\
&=& (x+y+z+t)^2+4yz-4yt+8zt
.\end{array}$$

On a maintenant $$\begin{array}{lll}
4yz-4yt+8zt&=& 4(yz +(-t)y +(2t)z)\\
&=&4((y+2t)(z-t)+2t^2)\\

&=& 4(y+2t)(z-t)+8t^2\\
&=& (y+z+t)^2-(y-z+3t)^2+8t^2\end{array}.$$
Finalement, on obtient 
$$q({\bf u})=(x+y+z+t)^2 +(y+z+t)^2-(y-z+3t)^2+8t^2.$$
V\'erification
\giacinputmath{
q:=x^2+2x*y+2x*z+2x*t+
y^2+6y*z-2y*t+z^2+10z*t+t^2;
gauss(q,[x,y,z,t]);}

On a donc $\mbox{rg}(q)=4$. On a 
\[ 
\left\{ \begin{array}{ccc}
L_1(u) & = & x+y+z+t\\
 L_2(u) & = & y+z+t \\
 L_3(u) & =&  y-z+3t \\
 L_4(u) & =&  t
\end{array} \right.
\]
Calcul de $e'_1$ : on a $L_1(e'_1)=1,
L_2(e'_1)=L_3(e'_1)=L_4(e'_1)=0$.
Si $(x,y,z,t)$ sont les coordonn\'ees de $e'_1$
$$ \left\{ \begin{array}{cccccc}
x&+y&+z&+t & = & 1\\
&y&+z&+t &=& 0\\
 &y&-z&+3t &=& 0\\
 &&&t &=& 0
\end{array} \right. $$
donc $x=1$, $y=z=t=0$.
La matrice du syst\`eme est donn\'ee par
$$ M=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 &3 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) $$
La matrice du syst\`eme est presque triangulaire sup\'erieure, il y a
donc assez peu de manipulation \`a faire pour r\'esoudre le syst\`eme.
Avec un logiciel ou \`a la main, on calcule $M^{-1}$
\giacinputmath{M:=[[1,1,1,1],[0,1,1,1],[0,1,-1,3],[0,0,0,1]]; M^-1}
et on lit $e'_1$ dans la 1\`ere colonne de $M$, $e'_2$ dans
la deuxi\`eme colonne, etc.
\[e_1'=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix},\; 
e_2'=\begin{pmatrix}-1\\1/2\\1/2\\0\end{pmatrix},\;
e_3'= \begin{pmatrix}0\\1/2\\-1/2\\0\end{pmatrix},\;
e_4'=\begin{pmatrix}0\\-2\\1\\1\end{pmatrix}\]
Ces vecteurs $(e_1', e_2',e_3', e_4')$ forment donc une base
$q$-orthogonale.
On v\'erifie en appliquant la formule de changement de base de la
base $(e_1', e_2',e_3', e_4')$ o\`u $q$ est diagonale (de coefficients 1, 1, -1 et 8) vers la
base canonique.
\giacinputmath{tran(M)*diag(1,1,-1,8)*M;
 q2a(q,[x,y,z,t])}

Il r\'esulte du lemme \ref{lemast} que la matrice de $q$ dans la base ${\bf e}'$ est
la matrice
$$M=\mbox{diag}(\alpha_1,\alpha_2, \ldots, \alpha_r,0,\ldots, 0)$$
\begin{rem}
Si $\phi:V\times V\to \mathbb{R}$ est bilin\'{e}aire sym\'{e}trique, 
alors en appliquant l'algorithme de Gauss \`{a} la forme quadratique $$q_b:V\to \mathbb{R}, x\mapsto 
\varphi(x,x),$$
on trouve une base {\bf v} qui est $q_\varphi$-orthogonale. Mais par 
d\'{e}finition, {\bf v} est donc orthogonale pour la forme polaire de 
$q_\varphi$, qui est $\varphi$.

En particulier, le nombre $r$ de carr\'es qui apparaissent dans 
l'\'ecriture $q(x)=\sum_{i=1}^r a_i L_i(x)^2$
est le rang de la forme bilin\'eaire.

Cet algorithme permet donc de trouver une base $\varphi$-orthogonale 
pour n'importe quelle forme bilin\'{e}aire sym\'{e}trique $\varphi$,
ainsi que son rang. On peut programmer l'algorithme de Gauss sur machine, mais \`a
condition que les coefficients de la forme quadratique soient
repr\'esentables exactement sur machine, sinon le r\'esultat obtenu
peut \^etre invalide en raison des erreurs d'arrondis (toutefois Gauss
fonctionne avec des coefficients approch\'es si $r_+=n$
ou si $r_-=n$, cela correspond \`a la factorisation de Cholesky d'une matrice).
\end{rem}

Le th\'eor\`eme qui suit
affirme que  $r_+$ le nombre de coefficients strictement positifs et $r_-$
le nombre de coefficients strictement n\'egatifs des carr\'es
$L_i(x)^2$ ne d\'epend pas des choix faits au cours de l'algorithme de
r\'eduction de Gauss de la forme quadratique.
\begin{thm}[Th\'eor\`eme d'inertie de Sylvester]
Soit $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie $n$, et
soit $q:V\to \mathbb{R}$ une forme quadratique. Soit ${\bf e}$ une
base $q$-orthogonale 
Soit $$r_+=\mbox{card}\{ i \vert q(e_i)>0\}, \quad r_-=\mbox{card}\{ i \vert q(e_i)<0\}.$$ 

Alors le couple $(r_+,r_-)$ ne d\'{e}pend pas de la base $q$-orthogonale choisie. De plus, $r_++r_-=\mbox{rg}(q)$.
\end{thm}
Ce th\'eor\`eme n'est valable que pour des formes r\'eelles.

\begin{preuve}
Soit ${\bf e}=(e_1,\ldots,e_n)$ une base $q$-orthogonale. Posons $\alpha_i=q(e_i)=\varphi_q(e_i,e_i)$ et $r=r_++r_-$.
Changer l'ordre des vecteurs de ${\bf e}$ ne change pas $r_+$ et $r_-$, ni le fait que la base soit $q$-orthogonale. 
On peut donc supposer sans perte de g\'{e}n\'{e}ralit\'{e} que l'on a 
$$q(e_i)>0, i=1,\ldots, r_+, \quad q(e_i)<0, i=r_++1,\ldots, r,\quad q(e_i)=0, i=r+1,\ldots,n.$$

Puisque ${\bf e}$ est $q$-orthogonale (c'est-\`{a}-dire 
$\varphi_q$-orthogonale), on obtient que $M$, la matrice de $q$ dans la base 
${\bf e}$, s'\'ecrit
$$M=\begin{pmatrix}q(e_1) & ...& 0\\ & \ddots & \\ 0 & ... & q(e_n) \end{pmatrix}.$$
Or, seuls les r\'{e}els $q(e_1),\ldots,q(e_r)$ sont non nuls. Le rang d'une matrice diagonale \'{e}tant le nombre de termes diagonaux non nuls, on a bien $rg(q)=r=r_++r_-$. 

Soit maintenant ${\bf e'}$ une autre base $q$-orthogonale.
Soient $(r'_+,r'_-)$ le couple d'entiers correspondant. Remarquons que l'on a $r'_++r'_-=rg(q)=r$ par le point pr\'{e}c\'{e}dent. Comme pr\'{e}c\'{e}demment, quitte \`{a} changer l'ordre des vecteurs, on peut  supposer que  
$$q(e'_i)>0, i=1,\ldots, r'_+, \quad q(e_i)<0, i=r'_++1,\ldots,
r,\quad q(e'_i)=0,i=r+1,\ldots,n.$$
Montrons que $e_1,\ldots,e_{r_+},e'_{r'_+ +1},\ldots,e'_n$ sont lin\'{e}airement ind\'{e}pendants.
Supposons que l'on ait une relation $$\lambda_1e_1+\ldots+\lambda_{r_+}e_{r_+}+\lambda_{r'_++1}e'_{r'_+ +1}+\ldots+\lambda_ne'_n=0.$$
On a donc $$\lambda_1e_1+\ldots+\lambda_{r_+}e_{r_+}=-(\lambda_{r'_++1}e'_{r'_+ +1}+\ldots\lambda_n e'_n).$$
En appliquant $q$ des deux c\^ot\'{e}s, et en utilisant le fait que les bases {\bf e} et ${\bf e'}$ sont $q$-orthogonales, on obtient 
$$\sum_{i=1}^{r_+}q(e_i)\lambda_i^2=\sum_{i=r'_++1}^{n}q(e'_i)\lambda_i^2.$$
Par choix de ${\bf e}$ et de ${\bf e'}$, le membre de gauche est $\geq 0$ et le membre de droite est $\leq 0$.

On en d\'{e}duit que l'on a $$\sum_{i=1}^{r_+}q(e_i)\lambda_i^2=0,$$
et puisque $q(e_i)>0$ pour $i=1,\ldots,r_+$, on en d\'{e}duit $$\lambda_1=\ldots=\lambda_{r_+}=0.$$
Mais alors, on a $$\lambda_{r'_++1}e'_{r'_+ +1}+\ldots\lambda_n e'_n=0,$$
et comme ${\bf e'}$ est une base, on en d\'{e}duit $$\lambda_{r'_++1}=\ldots=\lambda_n=0.$$

Ainsi, $e_1,\ldots,e_{r_+},e'_{r'_+ +1},\ldots,e'_n$ sont $r_++(n-r'_+)$ vecteurs lin\'{e}airement ind\'{e}pendants dans un espace vectoriel de dimension $n$. On a donc $$r_++(n-r'_+)\leq n,$$
et donc $r_+\leq r'_+$. En \'{e}changeant les r\^{o}les de ${\bf e}$ et ${\bf e'}$, on a de m\^{e}me $r'_+\leq r_+$.

On a donc $r_+=r'_+$, et comme on a $\mbox{rg}(q)=r_++r_-=r'_++r'_-$, on en d\'{e}duit $r_-=r'_-$. Ceci ach\`{e}ve la
d\'{e}monstration.
\end{preuve}

Cela conduit \`{a} la d\'{e}finition suivante.

\begin{defn}
Soit $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie $n$, et soit $q:V\to \mathbb{R}$ une forme quadratique.
Le couple $(r_+,r_-)$ est appel\'{e} la {\bf signature}\index{signature} de $q$.
\end{defn}

\begin{rem}
Pour calculer la signature d'une forme quadratique $q$, il suffit d'utiliser l'algorithme de Gauss pour \'{e}crire $q(x)$ sous la forme 
$$\alpha_1(u_{11}x_1+\ldots+u_{1n}x_n)^2+\ldots+\alpha_r (u_{r1}x_1+\ldots+u_{rn}x_n)^2,$$
et de compter le nombre de coefficients $\alpha_i$ qui sont strictement plus grand que $0$ et strictement plus petit que $0$.

En effet, on a vu que si ${\bf v}=(v_1,\ldots,v_n)$ est la base $q$-orthogonale obtenue \`{a} la fin de l'algorithme de Gauss, et $M$ est la matrice de 
$q$ dans cette base, alors 
$$M=diag(\alpha_1,\ldots,\alpha_r,0,\ldots,0).$$
Mais les coefficients diagonaux de $M$ 
sont exactement les r\'{e}els $q(v_i)$, et on conclut en utilisant la d\'{e}finition de $r_+$ et $r_-$.
\end{rem}

{\bf Exemple}\\
La signature de la forme quadratique $q$ de l'exemple pr\'{e}c\'{e}dent est $(3,1)$.

%\newpage
\chapter{Produits scalaires.}\index{scalaire, produit}\index{produit scalaire}

\section{Rappels dans le plan et l'espace}
\subsection{Dans le plan}
Soient $u_1(x_1,y_1)$ et $u_2(x_2,y_2)$ deux vecteurs du plan. On
d\'efinit le produit scalaire de $u_1$ et $u_2$ par
$$ \langle u_1|u_2 \rangle =x_1x_2+y_1y_2$$
{\bf Propri\'et\'es}
\begin{itemize}
\item Le produit scalaire se comporte comme un produit, il
est lin\'eaire par rapport \`a chacun de ses arguments (les vecteurs
$u_1$ et $u_2$)
\item Le produit scalaire de $u(x,y)$ avec lui-m\^eme est
  $\langle u|u \rangle =x^2+y^2$, il est donc toujours
positif. Il n'est nul que si $u$ est nul.
\item On d\'efinit la norme de $u$ par $\|u\|=\sqrt{\langle u|u \rangle }$.
La distance entre deux points ou vecteurs est la norme de leur
diff\'erence.
\end{itemize}
Si $z_1$ est l'affixe de $u_1$ (le complexe correspondant \`a $u_1$)
et $z_2$  celui de $u_2$, alors en notant $\Re$ la partie r\'eelle~:
$$ \langle u_1|u_2 \rangle = x_1x_2+y_1y_2=\Re((x_1-iy_1)(x_2+iy_2))=\Re(\overline{z_1} z_2)$$
Donc {\bf le produit scalaire est invariant par rotation}\footnote{Le
  produit scalaire  est aussi invariant par sym\'etrie}, puisque
$$ \Re(\overline{e^{i\theta}z_1}
e^{i\theta}z_2)=\Re(e^{-i\theta}\overline{z_1} e^{i\theta}z_2)
=\Re(\overline{z_1} z_2) $$
On peut aussi le v\'erifier avec la matrice $P$ de la rotation d'angle
$\theta$~:
$$ P=\left(\begin{array}{cc} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\
\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{array} \right)$$
qui v\'erifie $P^t P=I_2$.
 
Soit $\varphi$ l'angle entre les vecteurs $u_1$ et $u_2$.
Effectuons la rotation qui met $u_1$ selon l'axe des $x$ dans le bon sens, on a alors
$x_1=\|u_1\|, y_1=0$ donc $\langle u_1|u_2 \rangle =x_1x_2=\|u_1\| \|u_2\| \cos(\varphi)$
En particulier, on a {\bf l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz}~:
$$ |\langle u_1|u_2 \rangle | \leq \|u_1\| \|u_2\|$$

Si $\langle u|v \rangle =0$, on dit que les vecteurs $u$ et $v$ sont orthogonaux, on
a alors le {\bf th\'eor\`eme de Pythagore}
$$ \|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2 $$
Lorsqu'une base est compos\'ee de vecteurs de norme 1 orthogonaux
entre eux, on parle de base orthonorm\'ee. Si $\{u_1,u_2\}$ est une
telle base, alors on a
$$ u=\langle u_1|u \rangle u_1+\langle u_2|u \rangle u_2 $$

Si on se donne un vecteur $u$, on peut construire une base
orthonorm\'ee  dont le premier vecteur est $u_1=\frac{u}{\|u\|}$. On d\'efinit la
projection orthogonale sur la droite vectorielle $D$ engendr\'ee par $u$
par 
$$ p(v)=\langle u_1|v \rangle u_1$$
on v\'erifie que $v-p(v)$ est orthogonal \`a $u_1$~:
$$ \langle u_1|v-p(v) \rangle =\langle u_1|v \rangle -\langle u_1|p(v) \rangle =\langle u_1|v \rangle -\langle u_1| \langle u_1|v \rangle u_1 \rangle 
=\langle u_1|v \rangle -\langle u_1|v \rangle  \langle u_1|u_1 \rangle =0$$
Le vecteur de $D$  le plus proche de $v$ est $w=p(v)$. En effet si $d$
est un vecteur de $D$, on applique le
th\'eor\`eme de Pythagore dans le triangle 
de sommets les extr\'emit\'es de $d$, $w=p(v)$ et $v$
qui est rectangle (en $w=p(v)$).
\begin{giaconload}
gl_ortho=true;
u:=vecteur(1,1/4); D:=droite(0,u,legend=""); 
v:=vecteur(2,2); w:=projection(D,v); d:=6*u;
triangle(v[1,1],w[1,1],d[1,1],color=red)
\end{giaconload}

\subsection{Dans l'espace}
Si $u_1(x_1,y_1,z_1)$ et $u_2(x_2,y_2,z_2)$ sont deux vecteurs de
$\mathbb{R}^3$,
on d\'efinit leur produit scalaire par~:
$$\langle u_1|u_2 \rangle =x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2 $$ 
On v\'erifie les m\^emes propri\'et\'es que dans le plan~: le produit
scalaire se comporte comme un produit (lin\'earit\'e par rapport \`a
chaque argument), $\langle u|u \rangle $ est positif et ne s'annule que si $u=0$.
Comme c'est le produit scalaire du plan si on se restreint aux plans
de coordonn\'ees $Oxy, Oxz, Oyz$, il est invariant par rotation
d'axe les vecteurs de base. On a donc toujours 
$$ \langle u_1|u_2 \rangle =\|u_1\| \|u_2\| \cos(u_1,u_2)$$
(en utilisant les angles d'Euler~: faire une rotation d'axe $Oz$ pour que le plan
$u_1,u_2$ contienne $Ox$, puis une rotation selon
$Ox$ pour que le plan $u_1,u_2$ soit le plan de coordonn\'ees $Oxy$).
Donc l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz est toujours valide. De m\^eme
que le th\'eor\`eme de Pythagore.

On parle toujours de base orthonorm\'ee pour une base de 3 vecteurs de
norme 1 orthogonaux entre eux 2 \`a 2. Les coordonn\'ees d'un vecteur
$u$ dans une base orthonorm\'ee $\{u_1,u_2,u_3\}$ se calculent par la formule~:
$$ u=\langle u_1|u \rangle u_1+\langle u_2|u \rangle  u_2+\langle u_3|u \rangle  u_3$$

Si on se donne une droite vectorielle $D$ de vecteur directeur $u$, on peut cr\'eer une base
orthonormale de premier vecteur $u_1=\frac{u}{\|u\|}$. La projection
orthogonale d'un vecteur
$v$ sur la droite $D$ est toujours obtenue par
$$ p(v)=\langle u_1|v \rangle u_1$$
et c'est le vecteur de $D$ le plus proche de $v$.

Si on se donne un plan
vectoriel $P$ engendr\'e par deux vecteurs $u$ et $v$ on peut cr\'eer une
base orthonormale de premier vecteur $u_1=\frac{u}{\|u\|}$ et de deuxi\`eme vecteur
dans le plan $u,v$. Pour cela, on modifie $v$ en un vecteur
$\tilde{v}$ orthogonal \`a $u$ en retirant \`a $v$ la
projection orthogonale de $v$ sur $u$~:
$$ \tilde{v}=v-\langle u_1|v \rangle u_1$$
puis on normalise ce qui donne un vecteur $u_2$
de norme 1 orthogonal \`a $u_1$
$$ u_2=\frac{\tilde{v} }{\| \tilde{v}\|}$$
\`A ce stade,
on peut d\'efinir la projection orthogonale sur $P$ par
$$ p(w)=\langle u_1|w \rangle u_1+\langle u_2|w \rangle u_2$$
On peut compl\'eter la famille orthonorm\'ee $\{ u_1,u_2\}$ avec le
produit vectoriel des deux vecteurs $u_1$ et $u_2$, mais cette construction est
sp\'ecifique \`a la dimension 3. Pour pouvoir g\'en\'eraliser en
dimension plus grande, on peut aussi prendre un troisi\`eme vecteur $w$ qui
n'appartient pas au plan $P$, on le modifie en un vecteur orthogonal
\`a $P$ en lui retirant sa 
projection orthogonale sur $P$ et on le normalise en un vecteur $u_3$.
Le vecteur de $P$  le plus proche de $w$ est $p(w)$, toujours \`a cause du
th\'eor\`eme de Pythagore.

{\bf Exemple}~: soit $P$ le plan engendr\'e par les vecteurs $u=(1,1,0)$ et
$v=(1,0,-1)$. On a $u_1=u/\sqrt{2}$. Donc
$$ p_u(v)=v-\langle u_1|v \rangle u_1 = \begin{pmatrix}1\\ 0 \\ -1\end{pmatrix}
- \langle \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1\\ 0 \\ -1\end{pmatrix}|
\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}  \rangle 
\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\ 1 \\ 0\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}1\\ 0 \\ -1\end{pmatrix} -
\frac{1}{2} \begin{pmatrix}1\\  1 \\ 0\end{pmatrix}
= \frac{1}{2} \begin{pmatrix}1\\-1 \\ -2\end{pmatrix}$$
puis
$$ u_2=\frac{p_u(v)}{\| p_u(v) \|}
=\frac{\begin{pmatrix}1\\-1 \\ -2\end{pmatrix}}{
\left\| \begin{pmatrix}1\\-1 \\
    -2\end{pmatrix}\right\|}
= \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix}1\\-1 \\ -2\end{pmatrix}$$
Pour compl\'eter la base avec un vecteur $u_3$, en dimension 3 on peut
utiliser le produit vectoriel de $u_1$ et $u_2$
$$ u_3= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1\\1\\0\end{pmatrix} 
\wedge \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix}1\\-1 \\ -2\end{pmatrix}
= \frac{1}{2\sqrt{3}} \begin{pmatrix} -2\\ 2\\ -2\end{pmatrix}
= \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} -1\\ 1\\ -1\end{pmatrix}
$$
ou prendre un vecteur $w$, par exemple
$w=(1,0,0)$ et retrancher la projection orthogonale de $w$ sur $P$ 
$$ \tilde{u_3}=w-\langle u_1|w \rangle  u_1 -\langle u_2|w \rangle  u_2
= \begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix}
-  \langle  \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1\\ 1 \\ 0\end{pmatrix}|
 \begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix}  \rangle  
\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1\\ 1 \\ 0\end{pmatrix}
- \langle  \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix}1\\-1 \\ -2\end{pmatrix}| 
\begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix} \rangle  
\frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix}1\\-1 \\ -2\end{pmatrix}$$
donc
$$  \tilde{u_3}
= \begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix} 
- \frac{1}{2} \begin{pmatrix}1\\ 1 \\ 0\end{pmatrix}
- \frac{1}{6} \begin{pmatrix}1\\-1 \\ -2\end{pmatrix}
= \frac{1}{6}  \begin{pmatrix} 6-3-1\\ 0-3+1\\ 2\end{pmatrix} 
= \frac{1}{3}  \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1\end{pmatrix} $$
on retrouve bien un multiple du $u_3$ pr\'ec\'edent.

\section{D\'efinitions et exemples.}
Nous voulons maintenant g\'{e}n\'{e}raliser la notion de produit
scalaire - 
et donc de longueur, de distance et d'angle - \`{a} un espace vectoriel r\'eel arbitraire.
Soient 
$$ 
x=\left(\begin{array}{c}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right),
y=\left(\begin{array}{c}y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{array}\right)
$$
deux vecteurs de $\mathbb{R}^n$,
le produit scalaire canonique est d\'efini par~:
$$ x\cdot y=^tx y=\sum_{i=1}^n x_iy_i$$ 
L'application $(x,y) \mapsto x \cdot y$ est une forme bilin\'{e}aire sym\'{e}trique.
La longueur d'un vecteur $x\in\mathbb{R}^n$ pour $n=2$ et $n=3$ peut \^etre calcul\'ee par
la formule
$$\| x\|=\sqrt{x\cdot x}$$ 
De m\^eme, nous souhaiterions associer une
notion de longueur (on parle plutot de norme pour un vecteur)
\`a une forme bilin\'eaire $\varphi$ en posant $\|x\| =\sqrt{\varphi(x,x)}$.
Malheureusement, il n'est pas s\^ur que cette quantit\'e soit d\'efinie~: en
effet si $\varphi(x,x)<0$, la racine carr\'ee n'est pas d\'efinie. 
De plus, on souhaite que la norme d'un vecteur 
soit strictement positive pour un $x$ non-nul (or nous ne voulons pas
une distance $0$ entre deux vecteurs distincts). 


Ces consid\'erations am\`enent les d\'{e}finitions suivantes:
\begin{defn}\label{defprodscal}
Soit $V$ un espace vectoriel r\'eel.
On dit qu'une forme bilin\'{e}aire sym\'{e}trique $\varphi:V\times
V\to \mathbb{R}$ est 
{\bf positive}\index{positive} si $\varphi(x,x)\geq 0$ pour tout $x\in
V$, et 
{\bf d\'{e}finie positive}\index{d\'efinie positive}\index{[positive,
  d\'efinie} 
si $\varphi(x,x)>0$ pour tout $x\in V,x\neq 0$.

Remarquons que $\varphi$ est d\'{e}finie positive si et seulement si 
\begin{itemize}
\item $\varphi$ est positive et
\item $\varphi(x,x)=0\Rightarrow x=0_V.$
\end{itemize}
C'est en g\'{e}n\'{e}ral cette reformulation de la d\'{e}finition que l'on utilise en pratique pour v\'{e}rifier si oui ou non une forme bilin\'{e}aire donn\'{e}e est d\'{e}finie positive. 
\end{defn}


\begin{defn}
Soit $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel (non n\'{e}cessairement de dimension finie).
Un {\bf produit scalaire} sur $V$ est une forme bilin\'{e}aire 
sym\'{e}trique et d\'{e}finie positive sur $V$~:
$$\langle\, | \, \rangle:
\left\{
\begin{array}{ccc}
V\times V & \to & \mathbb{R}\\
(x,y) & \mapsto & \langle
x|y\rangle
\end{array}
\right.
$$ 
On dit que $V$ muni du produit scalaire $\langle\, |
\, \rangle$ est un espace
{\bf pr\'ehilbertien}\index{pr\'ehilbertien, espace} r\'eel.
\end{defn}

\begin{rem}
On expliquera bri\`evement plus loin l'utilisation du pr\'efixe
``pr\'e''-hilbertien, voir la remarque \ref{rem:hilbert}.
On utilise aussi le terme d'espace {\bf euclidien}\index{euclidien, espace}
si $V$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie muni
d'un produit scalaire. 
Le terme pr\'ehilbertien s'emploie
aussi dans le cas de produits scalaires hermitiens d\'efinis sur un
$\mathbb{C}$-espace vectoriel, cf. l'appendice \ref{chap:hermitien}.
Dans la suite de ce chapitre, on donne des r\'esultats pour des
espaces pr\'ehilbertiens dans le cas r\'eel, la plupart des r\'esultats se
g\'en\'eralisent aux pr\'ehilbertiens complexes.
\end{rem}

{\bf Exemples}
\begin{enumerate}
\item
 Le produit scalaire usuel sur $\mathbb{R}^n$ $x \cdot y =\sum_{i=1}^n x_iy_i$
\item
 La forme bilin\'eaire qui a deux fonctions $f$ et $g$ continues de
 $[a,b]$ \`a valeur dans $\mathbb{R}$ associe l'int\'egrale entre $a$
 et $b$ de leur produit~:
$$\langle \, | \rangle:
\left\{
\begin{array}{ccc}
 C^0([a,b], \mathbb{R})\times C^0([a,b] , \mathbb{R}) &\to &
                                                             \mathbb{R}\\
 (f,g) & \mapsto & \langle f|g\rangle=\int_a^b f(t)g(t)\mbox{d}t
\end{array}
\right.
$$
Montrons que c'est un produit scalaire.
\begin{enumerate}
\item
 Montrons que $\langle \, | \rangle$ est sym\'{e}trique. En effet, pour tout $f,g\in C^0([a,b], \mathbb{R})$, on a
$$\langle g|f\rangle=\int_a^b g(t)f(t)\mbox{d}t=\int_a^b f(t)g(t)\mbox{d}t=\langle f|g\rangle.$$

\item
 Montrons que $\langle \, | \rangle$ est bilin\'{e}aire. 
Pour tout $f_1,f_2,f,g\in C^0([a,b], \mathbb{R}),\lambda\in\mathbb{R}$, on a 
$$\begin{array}{lll}\langle f_1+f_2|g\rangle &=&\int_a^b (f_1+f_2)(t)g(t)\mbox{d}t \\ 
&=& \int_a^b (f_1(t)+f_2(t))g(t)\mbox{d}t \\ 
&=& \int_a^b f_1(t)g(t)\mbox{d}t + \int_a^b f_2(t)g(t)\mbox{d}t \\ 
&=& \langle f_1|g\rangle +\langle f_2|g\rangle 
\end{array}$$
et~:
$$\begin{array}{lll}\langle \lambda f|g\rangle &=& \int_a^b (\lambda f)(t)g(t)\mbox{d}t \\
&=& \int_a^b \lambda f(t)g(t)\mbox{d}t\\
&=& \lambda\int_a^b f(t)g(t)\mbox{d}t\\
&=& \lambda \langle f|g\rangle\end{array}.$$
Par sym\'etrie, il d\'ecoule que 
$$\langle f|g_1+g_2\rangle=\langle f|g_1\rangle+\langle f|
g_2\rangle \mbox{ et }\langle f|\lambda g\rangle=\lambda \langle f|g\rangle$$
pour tout $f,g,g_1,g_2\in \mathbb{R}[X],\lambda\in\mathbb{R}$ 
\\
Ainsi, $\langle \, |\rangle$ est bilin\'{e}aire.

\item Montrons enfin que $\langle | \rangle$ est d\'{e}finie positive. 
On va utiliser pour cela la reformulation de la d\'{e}finition
\ref{defprodscal}.

Pour tout $f\in C^0([a,b], \mathbb{R})$, on a $$\langle f|f\rangle=\int_a^b f(t)^2\mbox{d}t.$$
Or, l'int\'{e}grale d'une fonction positive est positive. 
Comme la fonction $f^2(t)$ est positive, on en d\'{e}duit que 
$$\langle f|f\rangle\geq 0\ \mbox{pour tout }f\in C^0([a,b], \mathbb{R}).$$
Supposons maintenant que l'on a $\langle f|f\rangle=0,$ c'est \`a dire que 
$$\int_a^b f(t)^2\mbox{d}t=0.$$
Or l'int\'{e}grale d'une fonction {\bf positive} et {\bf continue}
$f:[a,b]\to\mathbb{R}$ est nulle 
si et seulement si $f$ est identiquement nulle.
Comme la fonction $$[a,b]\to \mathbb{R}, t\mapsto f(t)^2$$ est
positive et continue, on en d\'{e}duit 
$$f(t)^2=0\ \mbox{pour tout}\ t\in [a,b],$$
c'est-\`{a}-dire $f=0$ : CQFD.
\end{enumerate}
\item
 Pour toute fonction $p$ continue et strictement positive sur $[a,b]$,
 la forme bilin\'eaire~:  
$$\langle \, | \rangle: 
\left\{
\begin{array}{ccc}
C^0([a,b], \mathbb{R})\times C^0([a,b], \mathbb{R}) & \to
  &\mathbb{R}\\
 (f,g)&\mapsto&\langle f|g\rangle=\int_a^b p(t) f(t)g(t)\mbox{d}t
\end{array}
\right.
$$
est un produit scalaire (exercice)
\item
 L'application d\'efinie sur les matrices carr\'ees r\'eelles $M_n(\mathbb{R})$ 
par $$(M,N)\mapsto \mbox{Tr}({}^tMN)$$ 
est un produit scalaire. 
\item
La forme blin\'eaire d\'efinie sur $\mathbb{R}^2$ par~:
$$\left(\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}y_1\\ y_2\end{array}\right)\right)\mapsto x_1y_1-x_2y_2$$
n'est pas un produit scalaire. C'est bien une forme bilin\'{e}aire sym\'{e}trique, 
mais elle n'est pas positive.

\item
 L'application qui associe \`a deux polyn\^omes le produit de leur
 valeur en 0~:
$$\varphi:
\left\{
\begin{array}{ccc}
\mathbb{R}[X] \times \mathbb{R}[X] & \to & \mathbb{R}\\
 (P,Q) & \mapsto & P(0)Q(0)
\end{array}
\right.$$ n'est pas un produit scalaire.
Elle est bien bilin\'{e}aire, sym\'{e}trique, positive, mais pas
d\'{e}finie positive. 
Par exemple, on a $\varphi(X,X)=0$, mais $X$ n'est pas le polyn\^ome nul.
\end{enumerate}

\section{G\'eom\'etrie.}
Les propri\'{e}t\'{e}s du produit scalaire permettent alors, comme
dans le cas classique, 
de d\'{e}finir la ``longueur'', ou {\it norme} d'un vecteur de $V$.

\begin{defn}
Soit $(V,\langle\, | \, \rangle)$ un espace prehilbertien
Pour tout $x\in V$, on d\'{e}finit la {\bf norme} de $x$, not\'{e}e 
$\| x\|$, par $$\| x\|=\sqrt{\langle x|x\rangle}.$$
\end{defn}
Notons que par d\'efinition d'un produit scalaire, $\|x\|\geq 0$, et $\|x\|=0$ si et seulement si $x=0$.
\begin{defn}
Soit $(V,\langle\, | \, \rangle)$ un espace prehilbertien. Soient $v,w\in V$. On d\'efinit la distance entre $v$ et $w$ par 
\[ d(v,w)= \| v-w\|.\]
\end{defn}
Encore une fois, la distance entre $v$ et $w$ est positive et n'est $0$ que si $v=w$.
\ifhevea
\begin{giaconload}
gl_ortho=true;
v:=vecteur(3,1); w:=vecteur(2,3);
v-w; legend(v-w,"v-w"); angle(v,w,"θ");
\end{giaconload}
\else
v:=vecteur(3,1); w:=vecteur(2,3);
v-w; legend(v-w,"v-w"); angle(v,w,"theta");
\fi
 Nous aurions envie de poser la d\'efinition suivante :
\begin{defn}
Soit $(V,\langle\, | \, \rangle)$ un espace prehilbertien. Soient $v,w\in V$ avec $v,w\neq 0$. On d\'efinit l'angle entre $v$ et $w$ par 
\[ \theta= \arccos\left(\frac{\langle v|w\rangle}{\|v\|\times \|w\|}\right).\]
\end{defn}
\begin{rem}
Avec cette d\'efinition de $\theta$, l'angle entre $v$ et $w$, nous avons automatiquement $\theta\in [0, \pi]$. Par ailleurs, il s'agit d'une angle non-orient\'e : $\theta$
ne d\'epend pas de l'ordre de $v$ et $w$.
\end{rem}
Malheureusement, ce n'est pas \'evident que cette d\'efinition soit bien pos\'ee.
En effet, la fonction arccos n'est d\'efinie que pour des nombres r\'eels $x$ satisfaisant 
la condition $-1\leq x\leq 1$ ou autrement dit $|x|\leq 1$. Nous devons donc v\'erifier la proposition suivante :

\begin{prop}[In\'{e}galit\'{e} de Cauchy-Schwarz]
Soit $(V,\langle\, | \, \rangle)$ un espace prehilbertien. Alors
pour tout $x,y\in V$, on a $$|\langle x | y\rangle|\leq \| x\|\times \| y\|,$$
et on a \'{e}galit\'{e} dans cette expression 
si et seulement si la famille $x,y$ est li\'{e}e sur $\mathbb{R}$, c'est-\`{a}-dire s'il existe $\lambda,\mu\in\mathbb{R}, (\lambda,\mu)\neq (0,0)$ tels que $\lambda x+\mu y=0$.
\end{prop}

{\bf Exemples}
\begin{itemize}
\item Avec le produit scalaire usuel sur $\mathbb{R}^2$ et les vecteurs
  $x=(1,1)$ et $y=(a,b)$, on obtient l'in\'egalit\'e~:
$$ |\langle x|y \rangle | =|a+b| \leq \| x\| \|y \|=\sqrt{2} \sqrt{a^2+b^2}$$
avec \'egalit\'e si et seulement si $x$ et $y$ sont colin\'eaires,
donc si $a=b$.
\item Avec le produit scalaire usuel sur $\mathbb{R}^3$ et les vecteurs
  $x=(1,1,1)$ et $y=(a,b,c)$, on obtient l'in\'egalit\'e~:
$$ |\langle x|y \rangle | =|a+b+c| \leq \| x\| \|y \|=\sqrt{3} \sqrt{a^2+b^2+c^2}$$
avec \'egalite si et seulement si $x$ et $y$ sont colin\'eaires,
donc si $a=b=c$.
\item Avec le produit scalaire
$$ \langle f|g \rangle =\int_a^b f(t) g(t) \  dt, \quad \| f\| =\sqrt{\int_a^b f(t)^2 \  dt}$$
sur les fonctions continues sur $[a,b]$, 
\begin{itemize}
\item pour $f(t)=1$ on obtient l'in\'egalit\'e
$$ \left| \int_a^b g(t) \ dt \right| 
\leq \sqrt{\int_a^b  dt} \sqrt{\int_a^b g(t)^2\ dt} 
= \sqrt{b-a} \sqrt{\int_a^b g(t)^2\ dt}$$
\item pour $f(t)=t$ on obtient l'in\'egalit\'e
$$ \left| \int_a^b t g(t) \ dt \right| 
\leq \sqrt{\int_a^b t^2 \ dt} \sqrt{\int_a^b g(t)^2\ dt} 
= \sqrt{\frac{b^3-a^3}{3}} \sqrt{\int_a^b g(t)^2\ dt}$$
\end{itemize}
\end{itemize}

\begin{preuve}
Le r\'esultat \'etant imm\'ediat si $x$ ou $y$ est \'egal \`a $0$, on peut supposer $x,y\neq 0$ : si $x,y\neq 0$ nous avons qu'il  existe $\lambda,\mu\in\mathbb{R}, (\lambda,\mu)\neq (0,0)$ 
tels que $\lambda x+\mu y=0$ si et seulement si il existe $t\in \mathbb{R}$ tel que $x+ty=0$.
Consid\'erons la fonction de $t$ \[f(t)=\langle x+ ty | x+ty\rangle= t^2 \|y\|^2+2t\langle x|y\rangle + \|x\|^2.\]
Ceci est une fonction quadratique de $t$ qui ne prend pas de valeurs n\'egatives : elle a donc un discriminant $\Delta\leq 0$, c'est \`a dire
\[ \Delta= 4(\langle x|y\rangle)^2 - 4\|x\|^2\|y\|^2\leq 0.\]
On a donc que 
\[ (\langle x|y\rangle)^2 \leq  \|x\|^2\|y\|^2\]
et
\[ |\langle x|y\rangle| \leq  \|x\|\|y\|.\]
De plus, on a \'galit\'e dans cette expression si et seulement si $\Delta =0$, c'est-\`a-dire si et seulement si il existe $t$ tel que $f(t)=0$. 
Par d\'efinition de $f(t)$, nous avons \'egalit\'e dans cette expression si et seulement si il existe $t$ tel que $x+ty=0$. 
CQFD.\end{preuve}
L'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz est donc valable et notre d\'efinition de $\theta$ est bien pos\'ee.\\ \\
Un certain nombre de formules de la g\'eom\'etrie dans l'espace sont toujours valables dans ce contexte :

\begin{lem}[Th\'eor\`eme de Pythagore]
Soit $(V,\langle\, | \, \rangle)$ un espace prehilbertien et soient
$v,w\in V$avec $v,w \neq 0_V$. 
Soit $\theta$ l'angle entre $v$ et $w$. Alors on a 
\[ \|v-w\|^2= \|v\|^2+\|w\|^2\Leftrightarrow \theta= \pi/2.\]
\end{lem}
\begin{giaconload}
gl_ortho=true;
v:=vecteur(3,1); w:=vecteur(-1,3);
v-w; legend(v-w,"v-w"); angle(v,w,"");
\end{giaconload}
\begin{preuve}
On note tout d'abord que par d\'efinition $\theta=\pi/2$ si et seulement si $\langle v|w \rangle =0$. 
Par d\'efinition, \[\|v-w\|^2= \langle v-w| v-w\rangle\]\[ = 
\langle v|v\rangle + \langle w|w\rangle -2\langle v|w\rangle\]
\[= \|v\|^2+ \|w\|^2- 2 \langle v|w\rangle\]
et donc 
\[ \|v-w\|^2= \|v\|^2+\|w\|^2\Leftrightarrow \langle v|w \rangle =0 \Leftrightarrow \theta= \pi/2.\]
\end{preuve}

\begin{lem}[Identit\'e du parall\'elogramme]
Soit $(V,\langle\, | \, \rangle)$ un espace prehilbertien et soient $v,w\in V$. On a alors
\[ \|v+w\|^2+\|v-w\|^2=2(\|v\|^2+ \|w\|^2).\]
\end{lem}
\begin{preuve}
Exercice pour le lecteur.
\end{preuve}


\begin{lem}[In\'egalit\'e triangulaire]
Soit $(V,\langle\, | \, \rangle)$ un espace prehilbertien et soient $v,w\in V$. On a alors
\[ \|v+w\|\leq \|v\|+\|w\|.\]
\end{lem}
\begin{giaconload}
gl_ortho=true;
A:=point(0,0):; B:=point(1,-1):; C:=point(2,1):;
v:=vecteur(A,B); w:=vecteur(B,C);
v+w; legend(v+w,"v+w"); 
\end{giaconload}
\begin{preuve}
On a que 
\[ \| v+w\|^2= \|v\|^2+ \|w\|^2+2\langle v|w \rangle.\]
Par l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz on a que 
\[ \|v+w\|^2\leq \|v\|^2+\|w\|^2+2\|v\|\times \|w\|= (\|v\|+\|w\|)^2.\]
Puisque $\|v+w\|$ et $\|v\|+\|w\|$ sont positifs, on peut prend la racine carr\'ee des deux membres pour d\'eduire que
\[\| v+w\|\leq \|v\|+\|w\|.\]
\end{preuve}
Les deux lemmes suivants sont souvent tr\`{e}s utiles.

\begin{lem}
Soit $(V,\langle\, | \, \rangle)$ un espace prehilbertien, et 
soient $x_1,\ldots,x_k\in V$ une famille de vecteurs deux \`{a} deux orthogonaux.
Alors on a $$\| x_1+\ldots+x_k\|^2=\| x_1\|^2+\ldots+\| x_k\|^2.$$
\end{lem}

\begin{preuve}
Supposons $x_1,\ldots,x_k\in V$ deux \`{a} deux orthogonaux. 
On a donc $$\langle x_i|x_j\rangle=0\ \mbox{pour tout}\ i\neq j.$$
Par ailleurs, on a  que
$$\| x_1+\ldots+x_k\|^2=\langle x_1+\ldots+x_k|x_1+\ldots+x_k\rangle=\sum_{i,j=1}^k\langle x_i|x_j\rangle.$$
Mais puisque $\langle x_i|x_j\rangle=0$ pour tout $i\neq j$, on obtient 
$$\| x_1+\ldots+x_k\|^2=\sum_{i=1}^k \langle x_i|x_i\rangle=\sum_{i=1}^k \| x_i\|^2,$$
ce que l'on voulait d\'{e}montrer.\\
On peut aussi faire une r\'ecurrence.
\end{preuve}

\begin{lem}\label{lem-liborth}
Soit $(V,\langle\, | \, \rangle)$ un espace prehilbertien, et soient
$x_1,\ldots,x_k\in V$ 
des vecteurs {\bf non nuls} deux \`{a} deux orthogonaux. Alors $(x_1,\ldots,x_k)$ est une famille 
libre.
\end{lem}

\begin{preuve}
Soient $\lambda_1,\ldots,\lambda_k\in \mathbb{R}$ tels que $$\lambda_1x_1+\ldots+\lambda_k x_k=0_V.$$ 
Soit $j\in \{1,\ldots, k\}$.
On a $$\langle x_j |  \lambda_1x_1+\ldots+\lambda_k x_k\rangle=\langle
x_j | 0_V\rangle=0,$$
et donc $$\sum_{i=1}^k\lambda_i \langle x_j | x_i\rangle=0.$$
Puisque les $x_i$ sont deux \`{a} deux orthogonaux, cela
s'\'{e}crit $$\lambda_j \langle x_j |x_j\rangle=0.$$
Puisque par hypoth\`{e}se $x_j\neq 0$, on a $\langle x_j |x_j\rangle >0$, et donc $\lambda_j=0$.
Ceci ach\`{e}ve la d\'{e}monstration.
\end{preuve}


Revenons maintenant \`{a} l'existence de bases orthonorm\'{e}es.
\begin{prop}
Soit $(V,\langle \, |\, \rangle)$ un espace prehilbertien {\bf de dimension finie}. Alors $V$ poss\`{e}de une base $(v_1,\ldots,v_n)$ orthonorm\'{e}e pour le produit scalaire. 

De plus, si $(v_1,\ldots,v_n)$ est une base orthonorm\'{e}e, alors pour tout $x\in V$, on a 
$$x=\langle v_1|x\rangle v_1+\ldots+\langle v_n|x\rangle v_n.$$
\end{prop}
\begin{rem} \label{rem:hilbert}
En dimension infinie, on parle d'espace de Hilbert
lorsque les propri\'et\'es des bases orthonorm\'ees vues ici en dimension
finie se g\'en\'eralisent (existence, d\'ecomposition de tout vecteur comme une
somme infinie, i.e. une s\'erie par rapport aux bases
orthonorm\'ees...). L'\'etude g\'en\'erale des espaces de Hilbert en dimension infinie
d\'epasse le cadre de ce cours. La s\'erie de Fourier d'une fonction
p\'eriodique de p\'eriode $T$ peut \^etre vue comme l'\'ecriture selon une base
orthonorm\'ee infinie compos\'ee par les harmoniques des sinus et cosinus
de p\'eriode $T$.
\end{rem}

\begin{preuve}
Pour montrer l'existence d'une base orthonorm\'ee, on peut au choix
\begin{itemize}
\item appliquer l'algorithme de Gram-Schmidt pr\'esent\'e
  alg\'ebriquement
\`a la  section \ref{sec:gramschmidt} \`a une base $(e_1,...,e_n)$ de $V$.
D'un point de vue plus g\'eom\'etrique,
si $n=1$, on normalise le vecteur $e_1$. Sinon, on construit
une base orthonorm\'ee de $V'$=Vect$(e_1,...,e_{n-1})$, on retranche
de $e_n$ son projet\'e orthogonal sur $V'$ et on normalise pour
compl\'eter la base orthonorm\'ee de $V'$.
Par exemple, si on a une base $(e_1,e_2,e_3)$ de $\mathbb{R}^3$, 
\begin{itemize}
\item on normalise $e_1$ en $v_1$
\item on se place dans le plan $(e_1,e_2)$, on retranche \`a $e_2$ son projet\'e sur
la droite vectorielle engendr\'ee par $e_1$, on normalise, c'est
$v_2$,
\item on projette $e_3$ sur le plan $(e_1,e_2)$, on le retranche \`a
  $e_3$ et on normalise, c'est $v_3$.
\end{itemize}
\item utiliser le
th\'{e}or\`{e}me \ref{existorthogo} sur les formes bilin\'eaires, 
il existe une base ${\bf e}=(e_1,\ldots,e_n)$ de $V$ qui est orthogonale pour le produit scalaire.
Comme ${\bf e}$ est une base, $e_i\neq 0$ pour tout $i$, et on a donc $\| e_i\|\neq 0$.
Pour tout $i=1,\ldots,n$, on pose $$v_i=\frac{1}{\| e_i\|}e_i.$$
Il est clair que $(v_1,\ldots,v_n)$ est une base de $V$.
\\
De plus, on a~:
$$\langle v_i|v_j\rangle=\langle \frac{1}{\| e_i\|}e_i |\frac{1}{\| e_j\|}e_j\rangle=\frac{1}{\| e_i\|\times
\| e_j\|}\langle e_i|e_j\rangle\ \mbox{pour tout}\ i, j.$$
Comme {\bf e} est une base orthogonale, on obtient 
$$\langle v_i|v_j\rangle=0\ \mbox{pour tout}\ i\neq j.$$
De plus, pour tout $i$, on a 
$$\langle v_i|v_i\rangle=\frac{1}{\| e_i\|^2}\langle e_i|e_i\rangle=\frac{\langle e_i|e_i\rangle}{\langle e_i|e_i\rangle}=1.$$
Ainsi, $(v_1,\ldots,v_n)$ est une base orthonorm\'{e}e.
\end{itemize}
Soit maintenant $(v_1,\ldots,v_n)$ une base orthonorm\'{e}e, et soit
$x\in V$. 
Comme $v_1,\ldots,v_n$ est une base, on peut \'{e}crire $$x=\lambda_1 v_1+\ldots+\lambda_n v_n.$$
Pour tout $j$, on a alors 
$$\langle v_j|x\rangle=\sum_{i=1}^n \lambda _i \langle v_j|v_i\rangle=\lambda_j,$$
la derni\`{e}re \'{e}galit\'{e} provenant du fait que $v_1,\ldots,v_n$ est une base orthonorm\'{e}e.
On a donc bien l'\'{e}galit\'{e} annonc\'{e}e. 
\end{preuve}

Nous avons donc maintenant une notion satisfaisante de la distance 
entre deux \'el\'ements d'un espace vectoriel muni d'un produit scalaire. 
Rappelons que la question qui a motiv\'e ce travail est la suivante : 
je veux construire dans un espace vectoriel $V$ un ``bon approximant'' $w$ pour un
\'el\'ement $v$ sous la contrainte que $w$ doit \^etre contenu dans un
sous-espace $W$, on veut construire la projection orthogonale $w$ de $v$ sur $W$.
\begin{giaconload}
gl_ortho=true;
W:=droite(0,[1,2]); v:=vecteur(2,1); w:=projection(W,v); 
affichage(v-w,red);
\end{giaconload}
Nous savons maintenant ce qu'on veut dire exactement par un ``bon approximant'' : on veut que
la distance $d(v,w)$ entre $v$ et $w$ soit la plus petite possible. 
Le lemme suivant nous donne un crit\`ere num\'erique pour que $w\in W$ 
soit le ``meilleur approximant'' pour $v$.
\begin{lem}
Soit $V$ un espace prehilbertien, $W$ un sous espace de $V$ et $v$ un
\'el\'ement de $V$. 
Si $w\in W$ a la propri\'et\'e que $\langle v-w|w'\rangle =0$ pour tout $w'\in W$
alors pour tout $w'\in W$ on a que $d(v,w)\leq d(v,w')$, avec \'egalit\'e si et seulement si $w'=w$.
\end{lem}
Autrement dit, si la droite qui relie $v$ \`a $w\in W$ est
perpendiculaire \`a $W$ alors  
$w$ est le point de $W$ le plus proche de $v$. Ce r\'esultat vous est familier 
lorsque $v\in \mathbb{R}^2$ et $W$ est une droite dans
$\mathbb{R}^2$, 
ou lorsque $v\in \mathbb{R}^3$ et $W$ est un plan dans
$\mathbb{R}^3$.

\begin{preuve}
On a que
\[ d(v,w')= \| v-w'\| =\| (v- w) + (w-w')\|.\]
Maintenant, $w-w'\in W$ donc par hypoth\`ese $(v-w) \perp (w-w')$ et par le th\'eor\`eme de Pythagore
\[ d(v,w')^2= \|(v-w)\|^2+ \|(w-w')\|^2 \geq d(v,w)^2\]
avec \'egalit\'e si et seulement si $\|w-w'\|=0$, c'est-\`a-dire $w=w'$.
\end{preuve} 

Notre crit\`ere est que $(v-w)$ doit \^etre orthogonal \` a tous les \'el\'ements de $W$. Etudions donc l'ensemble constitu\'e de tels 
\'el\'ements. 

\begin{defn}
Soit $(V,\langle \, | \,\rangle)$ un espace prehilbertien et soit $S$ un sous-ensemble de $V$. L'orthogonal de $S$, not\'{e} $S^\perp$, est le sous-ensemble de $V$ d\'{e}fini par 
$$S^\perp=\{ x\in V \mid \langle s|x\rangle=0 \ \mbox{pour tout}\ s\in S \}.$$
\end{defn}
{\bf Exercice.} D\'emontrer que $S^\perp$ est toujours un sous-espace vectoriel de $W$. 
 
\begin{thm}\label{thmprojorth}
Soit $(V,\langle \, | \,\rangle)$ un espace prehilbertien et soit $W$ un sous-espace vectoriel de $V$. Alors:

\begin{enumerate}
\item Pour tout $w\in W$ et tout $w'\in W^\perp$, on a $w\perp w'$. De plus, $W\cap W^\perp=\{0_V\}$.
\item Si $W$ est de dimension finie, on a $V=W{\oplus} W^\perp$. Autrement dit, tout $x\in V$ s'\'{e}crit de mani\`{e}re unique sous la forme $$x=w+w', w\in W,w'\in W^\perp.$$
De plus, si $(v_1,\ldots, v_k)$ est une base orthonorm\'ee pour $W$
alors on a 
$w= \sum_{i=1}^k \langle  v_i|x\rangle v_i$.
\end{enumerate}
\end{thm}

\begin{preuve}
\begin{enumerate}
\item
Si $w\in W$ et $w'\in W^\perp$, alors on a $\langle w|w'\rangle=0$ 
par d\'{e}finition de $W^\perp$. On a donc $w\perp w'$.
Soit maintenant $w\in W\cap W^\perp$. Puisque $w\in W^\perp$ et $w\in W$  on a que $\langle w|w\rangle=0$
et donc $w=0$ d'apr\`{e}s les propri\'{e}t\'{e}s du produit scalaire.
\\
Ainsi, on a $W\cap W^\perp=\{ 0 \}$, ce qu'il fallait v\'{e}rifier. 
\item
D'apr\`{e}s $(1)$, il reste \`{a} d\'{e}montrer que $V=W+W^\perp$, 
c'est-\`{a}-dire que tout vecteur $v\in V$ peut s'\'{e}crire $v=w+w'$ avec $w\in W$ et $w'\in W^\perp$.
\\
Si $W=\{0\}$, on a $W^\perp=V$, et il n'y a rien \`{a} faire. On peut donc supposer que $W$ n'est pas l'espace trivial $\{ 0_V \}$.
La restriction \`{a} $W$ du produit scalaire sur $V$ est encore un produit scalaire.
Puisque $W$ est de dimension finie, $W$ poss\`{e}de une base orthonorm\'{e}e $(v_1,\ldots,v_k)$ d'apr\`{e}s la proposition pr\'{e}c\'{e}dente.
\\
Soit $v\in V$. On pose $$w=\sum_{i=1}^k \langle v_i| v\rangle v_i.$$
Alors $w\in W$. D'autre part, on a 
$$\begin{array}{lll}\langle v_j|v-w\rangle &=& \langle v_j|v\rangle-\langle v_j|w\rangle\\ 
&=& \langle v_j|v\rangle- \langle v_j|\displaystyle\sum_{i=1}^n \langle v_i,v\rangle v_i\rangle \\
&=& \langle v_j|v\rangle-\displaystyle\sum_{i=1}^k \langle v_i|v\rangle \langle v_j|v_i\rangle.\end{array}$$
Puisque $v_1,\ldots,v_k$ est orthonorm\'{e}e, on en d\'{e}duit:
$$\langle v_j|v-w\rangle=\langle v_j|v\rangle-\langle v_j|v\rangle=0,$$
et ceci pour tout $j=1,\ldots,k$.
\\
Soit $s\in W$. Alors on peut \'{e}crire $s=s_1v_1+\ldots+s_k v_k$, et donc $$\langle s| v-w\rangle=\sum_{i=j}^k {s}_j\langle v_j|v-w\rangle=0.$$
Ainsi, $v-w\in W^\perp$, et donc on a la d\'{e}composition voulue en posant $w'=v-w$. Si maintenant on a deux d\'{e}compositions $$v=w_1+w'_1=w_2+w'_2,w_i\in W,w'_i\in W^\perp,$$ on a $$w_1-w_2=w'_2-w'_1\in W\cap W^\perp,$$
car $W$ et $W^\perp$ sont des sous-espaces vectoriels de $V$. Par le
premier point, on en d\'{e}duit $w_1-w_2=w'_2-w'_1=0_V$, et donc
$w_1=w_2, w'_1=w'_2$, CQFD.
\end{enumerate}
\end{preuve}

\begin{rem}
Le point $(2)$ est faux sans hypoth\`{e}se de finitude de la dimension de $W$.
\end{rem}

D'apr\`{e}s le deuxi\`{e}me point du th\'{e}or\`{e}me, lorsque $W$ est de dimension finie, tout $x\in V$ se d\'{e}compose de mani\`{e}re unique sous la forme $$x=w+w',w\in W,w'\in W^\perp.$$
Cela conduit \`{a} la d\'{e}finition suivante:
\begin{defn}
Soit $(V,\langle \, | \,\rangle)$ un espace prehilbertien, et soit $W$ un sous-espace de $V$ de dimension finie.
Pour tout $x=w+w'\in V$ avec $w\in W$ et $w' \in W^\perp$ on pose $$p_W(x)=w.$$
Le vecteur $p_W(x)\in W$ est appel\'{e} la {\bf projection
  orthogonale}\index{projection orthogonale}\index{orthogonale, projection}
 de $x$ sur $W$. Si $(v_1,\ldots v_k)$ est une base orthonorm\'ee de $W$ alors on a
\[ p_W(x)=\sum_i \langle v_i|x\rangle v_i,\] 
Le lecteur pourra v\'{e}rifier \`{a} titre d'exercice les propri\'{e}t\'{e}s suivantes:
\begin{enumerate}
\item L'application $p_W:V\to V$ est lin\'{e}aire. 
\item Pour tout $x\in V$, on a et $p_W(x)\in W,$ $(x-p_W(x))\in W^\perp$. 
%\item Pour tout $x\in V$, on a $p_W(x)=x\iff x\in W$.
%\item Pour tout $x\in V$, on a $p_W(x)=0_V\iff x\in W^\perp$.
%\item Pour tout $x\in V$, on a $p_W(p_W(x))=p_W(x)$. 
\end{enumerate}
\end{defn}
La projection orthogonale a la propri\'et\'e essentielle suivante :
\begin{center}
$p_W(x)$  est le point de $W$ le plus proche de $x$
\end{center}
Si on dispose d'une base orthonorm\'ee $(v_1\ldots v_n)$ pour $W$, 
on a une formule explicite pour calculer une projection orthogonale~:
\begin{equation} \label{eq:projection}
p_W(x)= \sum_{i=1}^k \langle v_i|x\rangle v_i
\end{equation}
{\bf Exemple}~: on reprend pour $W$ l'exemple du plan $P$ engendr\'e par les vecteurs $u=(1,1,0)$ et
$v=(1,0,-1)$. On a vu qu'une base orthonorm\'ee de $W$ est donn\'ee par
$$ 
u_1=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1\\1 \\ 0\end{pmatrix},
u_2= \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix}1\\-1 \\ -2\end{pmatrix}$$
La projection orthogonale du vecteur $v$ de composantes $(x,y,z)$ est
donc
\begin{eqnarray*}
 p_W(\begin{pmatrix}x\\y \\ z\end{pmatrix})
&=&\langle u_1|v \rangle u_1+\langle u_2|v \rangle  u_2 \\
&=& \frac{1}{2} 
\langle \begin{pmatrix}1\\1 \\  0\end{pmatrix}|\begin{pmatrix}x\\y \\  z\end{pmatrix} \rangle 
\begin{pmatrix}1\\1 \\  0\end{pmatrix}
+\frac{1}{6}
\langle  \begin{pmatrix}1\\-1 \\ -2\end{pmatrix}|\begin{pmatrix}x\\y \\  z\end{pmatrix} \rangle 
 \begin{pmatrix}1\\-1 \\ -2\end{pmatrix}
\\
&=&  \frac{x+y}{2} \begin{pmatrix}1\\1 \\  0\end{pmatrix}
+\frac{x-y-2z}{6} \begin{pmatrix}1\\-1 \\ -2\end{pmatrix}
\\
& = & \frac{1}{3} \begin{pmatrix}2x+y-z\\x+2y+z \\  -x+y+2z\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}


Reste \`a construire des bases orthonorm\'ees adapt\'ees
dans le cas g\'en\'eral, c'est l'objet du prochain paragraphe.

\section{Proc\'{e}d\'{e} d'orthonormalisation de Gram-Schmidt.}
\index{Gram-Schmidt}\index{orthonormalisation} \label{sec:gramschmidt}
Soit $(V,\langle| \rangle)$ un espace prehilbertien de dimension
finie. 
On suppose donn\'ee une base pour $V$, ${\bf e}= (e_1,\ldots, e_n)$.
On pr\'esente un algorithme de construction d'une famille orthonorm\'ee $(v_1,\ldots v_k)$
\`a partir de ${\bf e}$ pour $k=1$, puis $k=2$, ... puis $k=n$. Cette
famille engendrera le m\^eme sous-espace vectoriel que la famille
$(e_1,\ldots e_k)$.
\begin{enumerate}
\item Initialisation~:pour $k=1$, on pose $v_1= \frac{e_1}{\|e_1\|}$. $v_1$ est alors
  de norme 1 par construction et l'espace engendr\'e par $(v_1)$
est \'egal \`a l'espace engendr\'e par $(e_1)$.
\item D\'ebut du corps de la boucle\\
Pour $k>1$, on suppose $(v_1,\ldots, v_{k-1})$ d\'ej\`a construits. 
On va construire $v_{k}$, il doit \^etre orthogonal \`a l'espace $W$
engendr\'e par $(v_1,...,v_{k-1})$.
\item \'Etape d'orthogonalisation\\
On a vu que pour tout vecteur $z$, en lui soustrayant $p_W(z)$ son projet\'e
orthogonal sur un sous-espace vectoriel $W$, on obtient un vecteur 
$z-p_W(z)$ qui est orthogonal \`a $W$.\\
On d\'efinit donc un vecteur auxiliaire $f_{k}$ en soustrayant
de $e_{k}$ son projet\'e
orthogonal sur $W$, donc en appliquant (\(\ref{eq:projection}\))~:
\[ f_{k}= e_{k} -\sum_{j=1}^{k-1} \langle v_j| e_{k}\rangle  v_j.\]
Par construction $f_{k}$ est orthogonal aux vecteurs $v_1,\ldots,
v_{k-1}$. 
Par contre, il n'est pas forc\'ement de longueur $1$.
\item \'Etape de normalisation\\
On observe que $e_k$ n'est pas combinaison lin\'eaire des $v_j$ 
pour $j \leq k-1$ (en effet la famille $(v_1,...,v_{k-1})$ engendre le m\^eme
sous-espace que la famille $(e_1,...,e_{k-1})$, or la famille
$(e_1,...,e_k)$ est libre). On a donc $f_k \neq 0$, on pose~:
\[ v_{k}=\frac{f_{k}}{\| f_{k}\|}.\]
\item Nous avons maintenant construit $(v_1,\ldots, v_{k})$.
On voit que la famille $(v_1,...,v_k)$ engendre bien
 le m\^eme sous-espace vectoriel que $(e_1,...,e_k)$
Si $k<n$, on revient au d\'ebut de la boucle (\'etape 2) en incr\'ementant $k$ de 1.
\end{enumerate}
\begin{giaconload}
gl_ortho=true;
W:=droite(y=2x); legende(W,"W=Vect(e1,...,ek-1)",quadrant2);
ek:=vecteur(2,1,color=magenta); projection(W,ek);
affichage(ek-projection(W,ek),red); legende(ek-projection(W,ek),"fk=ek-p(ek)",red)
\end{giaconload}
On a donc~:
\begin{prop}
Les vecteurs de la famille ${\bf v}$ construite par le proc\'ed\'e de
Gram-Schmidt ci-dessus forment une
base orthonorm\'ee pour $V$ et le sous-espace vectoriel engendr\'e par $(v_1,\ldots, v_k)$
est le m\^eme que celui engendr\'e par $(e_1,\ldots, e_k)$
\end{prop}


{\bf Exemple 1}\\
On consid\`{e}re la base de $\mathbb{R}^3$ 
$$e_1=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix},e_2=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix},e_3=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 1\end{pmatrix}.$$
Appliquons le proc\'{e}d\'{e} de Gram-Schmidt \`{a} cette base afin d'obtenir une base orthonorm\'{e}e pour le produit scalaire. \\
On pose 
$$v_1=\frac{e_1}{\| e_1\|}= \begin{pmatrix}1/\sqrt{2}\\  1/\sqrt{2}\\ 0\end{pmatrix}$$ 
On a 
$$f_2=e_2-\langle v_1|e_{2}\rangle v_1=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ 1 \end{pmatrix}.$$ 
On pose 
$$v_2= \frac{f_2}{\| f_2\|}= \begin{pmatrix}\frac{1} {\sqrt{6}}\\ -\frac{1} {\sqrt{6}}\\ \frac{2} {\sqrt{6}} \end{pmatrix}.$$
Enfin
$$f_3=e_3-\langle v_1|e_3\rangle v_1-\langle v_2|e_{3}\rangle 
v_2= \begin{pmatrix}-2/3\\ 2/3\\ 2/3 \end{pmatrix},$$
et donc \[ v_3= \frac{f_3}{\|f_3\|}= \frac{\sqrt{3}}{2} \begin{pmatrix}-2/3\\ 2/3\\ 2/3 \end{pmatrix}.\]
On a donc $$v_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix},v_2=\sqrt{\frac{2}{3}}\begin{pmatrix}1/2\\ 1/2\\ 1\end{pmatrix},v_3= \frac{\sqrt{3}}{2}
\begin{pmatrix}-2/3\\ 2/3\\ 2/3 \end{pmatrix}.$$
V\'erification avec Xcas~: on utilise la commande \verb|gramschmidt|
avec en argument des vecteurs lignes, le r\'esultat renvoy\'e
est une liste de {\bf vecteurs lignes}~:\\
\giacinputmath{normal(gramschmidt([1,1,0],[1,0,1],[0,1,1]))}
ou on appelle la commande \verb|qr| avec la matrice des vecteurs en
colonnes et  l'argument optionnel -3, la matrice du milieu (\verb|q|) est la
matrice de passage de la base canonique \`a la base orthonormale:\\
\giacinputmath{m:=[[1,1,0],[1,0,1],[0,1,1]]; q,r:=normal(qr(m,-3))}

{\bf Exemple 2}\\
Construisons une base orthonorm\'ee pour le plan d'\'equation $x+y+z=0$ dans $\mathbb{R}^3$. Il a une base non orthonorm\'ee $(e_1, e_2)$ donn\'ee par 
\[e_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix} , e_2= \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}.\]
On pose $v_1= \displaystyle{\frac{e_1}{\| e_1\|}}= \begin{pmatrix}1/\sqrt{2}\\-1/\sqrt{2}\\0\end{pmatrix}$. On introduit alors 
\[f_2= e_2-\langle v_1| e_2\rangle v_1= e_2-\frac{1}{\sqrt2} v_1= \begin{pmatrix}1/2\\ 1/2 \\ -1\end{pmatrix}\] 
et on pose \[v_2= \frac{f_2}{ \| f_2\|}= \begin{pmatrix}1/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{6} \\ -2/\sqrt{6}\end{pmatrix}.\] Ceci nous donne la base $(v_1, v_2)$ avec
\[ v_1= \begin{pmatrix}1/\sqrt{2}\\-1/\sqrt{2}\\0\end{pmatrix},
v_2= \begin{pmatrix}1/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{6} \\
  -2/\sqrt{6}\end{pmatrix}.\]

{\bf Exemple 3}\\
Sur les polyn\^omes de degr\'e au plus 2, on d\'efinit le produit
scalaire 
$$ \phi(P,Q)=P(-1)Q(-1)+P(0)Q(0)+P(1)Q(1)$$
C'est bien un produit scalaire, car $\phi(P,P)=0$ entraine
$P(-1)=P(0)=P(1)=0$ donc $P=0$ (3 racines pour degr\'e au plus 2).
On peut orthonormaliser la base canonique $\{1,X,X^2\}$. On normalise
le premier vecteur de la base en $v_1=1/\sqrt{3}$ car $\phi(1,1)=3$. Le
2i\`eme vecteur de la base est orthogonal au premier car
$$ \phi(1,X)=-1+0+1=0 $$
il suffit de le normaliser en $v_2=X/\sqrt{2}$
($\phi(X,X)=(-1)^2+0^2+1^2=2$).
On projette $X^2$ sur le plan $\{v_1,v_2\}$
$$ p(X^2)=\phi(v_1,X^2) v_1+\phi(v_2,X^2)v_2
=\frac{1}{3} \phi(1,X^2) + \frac{1}{2} \phi(X,X^2) X
= \frac{2}{3} $$
Donc $v_3$ est $X^2-2/3$ normalis\'e, soit 
$v_3=(X^2-2/3)/\sqrt{2/3}$ car 
$$ \phi(X^2-2/3,X^2-2/3)=(1/3)^2+(-2/3)^2+(1/3)^2 = 2/3$$
Finalement, la base orthonorm\'ee obtenue est 
$$ \{ \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{X}{\sqrt{2}},
\frac{X^2-\frac{2}{3}}{\sqrt{\frac{2}{3}}}\}$$
V\'erification
\giacinputmath{
purge(X):;
phi(P,Q):=
P(X=-1)*Q(X=-1)+P(X=0)*Q(X=0)+P(X=1)*Q(X=1):;
gramschmidt([1,X,X^2],phi)
}

\begin{rem}
En calcul exact ou \`a la main, il peut \^etre plus simple de ne pas
normaliser les vecteurs $f_{k}$ \`a chaque \'etape, donc
de construire une base orthogonale~: 
\[ f_{k}= e_{k} -\sum_{j=1}^{k-1} \frac{\langle f_j|
  e_{k}\rangle}{\|f_j\|^2}  f_j\]
et de normaliser la base seulement \`a la fin.
\\ $\spadesuit$
En calcul approch\'e, cette m\'ethode de calcul n'est pas adapt\'ee 
en raison des erreurs d'arrondis. On utilise plutot la factorisation $QR$ d'une
matrice, qui est la version matricielle de l'orthonomalisation. L'orthonormalisation
se fait en utilisant des matrices de sym\'etries (r\'eflexions
de Householder)  ou de rotations (m\'ethode de Givens).
\end{rem}

\begin{rem}
Le proc\'{e}d\'{e} de Gram-Schmidt permet de calculer la projection
orthogonale 
de tout vecteur $x\in V$ sur un sous-espace $W$ de dimension finie, en calculant une base orthonorm\'{e}e 
$(v_1,\ldots,v_k)$ de $W$ \`{a} partir d'une base quelconque
$e_1,\ldots,e_k$ de $W$ 
(pour le produit scalaire sur $W$ obtenu par restriction du produit scalaire sur $W$).
On aura alors $$p_W(x)=\sum_{j=1}^k \langle v_j|x\rangle v_j.$$
Rappelons que $p_W(x)$ est le meilleur approximant de $x$ dans $W$. 
\end{rem}

\section{Exemples de probl\`emes de minimisation.}
\subsection{Projection sur un plan de l'espace.}
Utilisons cette m\'ethode pour construire pour tout $v\in
\mathbb{R}^3$ le point le plus proche de 
$v$ dans $W$, le plan d'\'equation  $x+y+z=0$.
\\
Nous avons vu qu'une base orthonorm\'ee
pour ce plan est donn\'ee par $v_1= \begin{pmatrix}1/\sqrt{2}\\-1/\sqrt{2}\\0\end{pmatrix}, v_2= \begin{pmatrix}1/\sqrt{6}\\ 1\sqrt{6} \\ -2/\sqrt{6}\end{pmatrix}$.\\
Soit $v=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ : on a donc
\[ p_W(v) =\langle v|v_1\rangle v_1+ \langle v| v_2\rangle\]
\[ = \frac{(x-y)}{\sqrt{2}}v_1+ \frac{(x+y-2z)}{\sqrt{6}}v_2\]
\[= \begin{pmatrix}(x-y)/2\\ (-x+y)/2\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} (x+y-2z)/6\\ (x+y-2z)/6\\ -2x-2y+4z/6\end{pmatrix}\]
\[= \begin{pmatrix} (2x-y-z)/3\\ (-x+2y-z)/3\\
  (-x-y+2z)/3\end{pmatrix}.\]
{\bf Autre m\'ethode~}: le vecteur $n(1,1,1)$ est un vecteur normal au
plan $W$,
on retire de $v$ sa projection sur l'orthogonal de $W$ donc
$$ p_W(v)=v-\frac{\langle n,v \rangle }{\|n\|^2}n 
= \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}
- \frac{x+y+z}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1\end{pmatrix} 
= \begin{pmatrix} \frac{2x-y-z}{3}\\ \frac{-x+2y-z}{3}\\
  \frac{-x-y+2z}{3}\end{pmatrix} $$

\subsection{R\'egression lin\'eaire}
Consid\'{e}rons le probl\`{e}me suivant. On veut mesurer une donn\'{e}e $y$ (pH d'une solution, temp\'{e}rature) en fonction d'un param\`{e}tre $x$ (concentration d'un ion, temps).
Consid\'{e}rons les $n$ points (avec $n\geq 2$) 
$P_1:=(x_1,y_1),\ldots,P_n:=(x_n,y_n)$ de $\mathbb{R}^2$ repr\'{e}sentant par exemple le r\'{e}sultat de $n$ exp\'{e}rimentations. On suppose que les $x_i$s sont deux \`a deux distincts. 
Supposons que la th\'{e}orie nous dise que $y$ varie  de fa\c con affine  en fonction de $x$.
A cause des erreurs de manipulation, de mesure, les $n$ points $P_1,\ldots,P_n$ ne sont pas
align\'{e}s.

Comment trouver la droite de meilleure approximation, c'est-\`{a}-dire la droite d'\'{e}quation $y=ax+b$ telle que les points th\'{e}oriques $Q_1:=(x_1,ax_1+b),\ldots,Q_n:=(x_n,ax_n+b)$ soient le plus proche possible des points exp\'{e}rimentaux $P_1,\ldots,P_n$ ?

Plus pr\'{e}cis\'ement, comment choisir la droite $y=ax+b$ telle que l'erreur quadratique $$e:=P_1Q_1^2+\ldots+P_nQ_n^2$$ soit minimale?

On veut donc trouver $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ tels que $$e:=(y_1-(ax_1+b))^2+\ldots+(y_n-(ax_n+b))^2$$ soit minimale.
Posons $$\underline{X}=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\ x_n\end{pmatrix},\underline{Y}=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\ y_n\end{pmatrix}\mbox{ et }
\underline{1}=\begin{pmatrix}1\\\vdots\\ 1\end{pmatrix}.$$
On a facilement que  $$\underline{Y}-(a\underline{X}+b\underline{1})=
\begin{pmatrix}y_1-(ax_1+b)\\\vdots\\ y_n-(ax_n+b)\end{pmatrix},$$ et donc 
$$d=\| \underline{Y}-(a\underline{X}+b\underline{1})\|^2,$$
o\`u nous utilisons la norme associ\'ee au produit scalaire canonique sur $\mathbb{R}^n$.
Soit $W$ le sous-espace vectoriel dans $\mathbb{R}^n$ form\'e de tous les vecteurs
de la forme $a\underline{X}+ b\underline{1}$ lorsque $(a,b)$ d\'ecrit $\mathbb{R}^2$. On veut donc minimiser 
$\| \underline{Y}-w\|$, lorsque $w$ d\'{e}crit $W$.
D'apr\`{e}s les propri\'{e}t\'{e}s de la projection orthogonale, le minimum est obtenu pour $w=p_W(\underline{Y})$.

On doit donc calculer $p_W(\underline{Y})$. Les coefficients $a$ et $b$ seront alors donn\'{e}s par la relation $$p_W(\underline{Y})=a\underline{X}+b
\underline{1}$$ car $(\underline{X},\underline{1})$ est une base de $W$. 
Posons $$\overline{x}=\frac{x_1+\ldots+x_n}{n}, \overline{y}=\frac{y_1+\ldots+y_n}{n}.$$

Appliquons l'algorithme de Gram-Schmidt \`{a} la base $e_1=\underline{1},
e_2=\underline{X}$ de $W$. On a $v_1=\underline{1}/\|\underline{1}\|= \frac{1}{\sqrt{n}}\underline{1}$. On a aussi $$f_2=e_2-\langle v_1|e_2\rangle v_1=
\underline{X}-\overline{x}\underline{1}$$ et $v_2= f_2/ \| f_2\|$. 
On a alors
$$\begin{array}{lll} p_W(\underline{Y})&=&\langle v_1|\underline{Y}
  \rangle v_1+\langle v_2|\underline{Y}\rangle v_2\\
  &=& \langle v_1|\underline{Y}
  \rangle v_1+\langle v_2|\underline{Y}-\overline{y} \underline{1}\rangle v_2
  \quad \mbox{car } \langle v_2 | \underline{1}\rangle =0
  \\
  &=& \overline{y}\underline{1}+ \frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}_i)} {\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}(\underline{X}-\overline{x}\underline{1})
  \\
  &=& a \underline{X} + (\overline{y}-a\overline{x})\underline{1}
\end{array}
$$
où
$$ a=\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}_i)} {\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2} $$
La droite a donc pour coefficient directeur le rapport entre la covariance
des $(x_i,y_i)$ et la variance des $x_i$ et passe par le point de
coordonnées moyenne
des $x$, moyenne des $y$.


\subsection{R\'esolution au sens des moindres carr\'es. $\spadesuit$}
On g\'en\'eralise l'exemple pr\'ec\'edent, il s'agit de ``r\'esoudre''
des syst\`emes lin\'eaires $n \times m$
qui ont plus d'\'equations ($n$)
que d'inconnues ($m$). Matriciellement, on consid\`ere l'\'equation
d'inconnue $v$~:
$$Av=b, \quad v \in \mathbb{R}^m, b \in \mathbb{R}^n, n>m$$
$A$ est une matrice ``mince'', avec moins de colonnes que de lignes.

Par exemple pour la r\'egression lin\'eaire, $v$ a deux
composantes : le coefficient directeur $\alpha$ de
la droite cherch\'ee et son ordonn\'ee \`a l'origine $\beta$.
On a donc $m=2$, on essaie de faire
passer une droite par $n$ points $(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)$, 
Le syst\`eme s'\'ecrit
$$
\begin{pmatrix}
 x_1 & 1\\
\vdots & \vdots \\
x_n & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_1\\
\vdots \\
y_n
\end{pmatrix}
$$
et n'a en g\'en\'eral pas de solutions.

On peut alors chercher $v$ qui
minimise $\|Av-b\|^2$.
Soit Im$(A)$, le sous-espace vectoriel parcouru
par $Av$ pour $v \in \mathbb{R}^n$ 
Le probl\`eme revient \`a chercher la projection
orthogonale de $b$ sur Im$(A)$. 
Pour cela, on pourrait chercher une
base orthonormale de Im$(A)$ comme pr\'ec\'edamment. 
On peut aussi utiliser la propri\'et\'e
du projet\'e orthogonal $Av$ de $b$ sur Im$(A)$,
$$ \forall w, \quad \langle Av-b|Aw \rangle =0$$
\begin{giaconload}
gl_ortho=1;
d:=droite(y=2x,affichage=hidden_name); legende(1+2*i,"Im(A)");
b:=vecteur(2,1);
Av:=projection(d,b,affichage=hidden_name); 
legende(3/4+3/2*i,"Av",quadrant2);
couleur(Av-b,red); legende(Av-b,"Av-b",red);
vecteur(1/2,1,legende="Aw",color=magenta);
\end{giaconload}
Notons ${ }^*$ la transpos\'ee d'une matrice (ou sa transconjugu\'ee
dans le cas complexe), on a~:
$$ \langle Av-b|Aw \rangle  =  \langle A^*(Av-b)|w \rangle$$
donc, 
$$ \forall w, \quad \langle A^*(Av-b)|w \rangle  =0 $$
donc $v$ est solution de
$$ A^* (A v-b)= 0 \Leftrightarrow (A^*A) v= A^* b$$
qui est un syst\`eme de $m$ \'equations \`a $m$ inconnues.
Par exemple pour la r\'egression lin\'eaire, on a un syst\`eme 2,2.
$$ \begin{pmatrix}
x_1 & ... & x_n \\
 1 & ... & 1 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 & 1\\
 \vdots & \vdots \\
x_n & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_1 & ... & x_n \\
 1 & ... & 1 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y_1\\
...\\
y_n
\end{pmatrix}
$$
Sur machine, on saisit la matrice $A$ \`a partir des donn\'ees (par
exemple issues d'un tableur) en
ajoutant une colonne de 1, puis on fait le produit matriciel $A^* A$,
on inverse et on applique \`a $A^*b$\footnote{Pour avoir un r\'esultat
plus pr\'ecis pour la r\'esolution de $Av=b$ au sens des moindres
carr\'es, il vaut mieux calculer la factorisation ``thin''-$QR$ 
de la matrice $A$ ce qui permet de se ramener \`a un syst\`eme 
triangulaire ``mieux conditionn\'e'' apr\`es simplification par une matrice $R^*$}

{\bf Exemple} temp\'erature moyenne de la Terre de 1981 \`a 2022 
(d'apr\`es\\ \verb|https://data.giss.nasa.gov/gistemp/tabledata_v4/GLB.Ts+dSST.txt|)\\
\begin{giaconload}
X:=range(81,123);
Y:=14.0 .+[32,14,31,16,12,18,32,39,27,45,40,22,23,31,45,33,46,61,38,39,54,63,62,53,67,63,66,54,65,72,61,65,67,74,90,101,92,84,98,102,85,89]/100;
gl_x=80..125; gl_y=13.9..15.1; 
scatterplot(X,Y);
linear_regression_plot(X[:30],Y[:30]);
linear_regression_plot(X[12:],Y[12:],color=red);
\end{giaconload}
\giacinputmath{
At:=[X,seq(1,size(X))]; A:=At^*; 
}
\giacinputmath{
B:=At*A;
B^(-1)*(At*Y);
}
Le coefficient directeur de la droite est donc de environ 0.019 degré
par an pour la période complète (0.017 degr\'e par
an pour la période 1981-2010 et 0.022 pour 1993-2022).

On peut aussi faire le calcul du produit de matrice formellement~:
$$ 
\begin{pmatrix}
\sum_{i=1}^n x_i^2 & \sum_{i=1}^n x_i \\
\sum_{i=1}^n x_i & \sum_{i=1}^n 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\sum_{i=1}^n x_iy_i \\
\sum_{i=1}^n y_i 
\end{pmatrix}
$$ 
et v\'erifier qu'on retrouve la solution de la section
pr\'ec\'edente. En effet, la 2\`eme \'equation nous dit que la droite
de r\'egression passe par le point de coordonn\'ees les moyennes 
$(\overline{x}=\frac{1}{n} \sum_i x_i,\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_i
y_i)$, 
et l'op\'eration $\frac{1}{n}L_1 - \frac{\overline{x}}{n} L_2$
\'elimine $\beta$ et permet de trouver le coefficient directeur~:
$$  (\frac{1}{n}\sum_i x_i^2 - \overline{x}^2) \alpha = \frac{1}{n}
\sum_i x_i y_i - \overline{x}\overline{y} $$

{\bf Exercice}\\
Faire de m\^ene pour une r\'egression avec 3 s\'eries statistiques
(donc une s\'erie d\'ependant des deux autres)
$z_n=\alpha x_n + \beta y_n+ \gamma$.
Indication de solution~: la matrice $A$ s'obtient en mettant dans la
1\`ere colonne les $x_i$, dans la 2i\`eme colonne les $y_i$ et dans la
3i\`eme colonne des 1.

\subsection{Approcher une fonction continue par une fonction affine}
On peut aussi vouloir approximer une fonction continue $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ par une fonction affine 
$y=\alpha x+\beta$. Dans ce cas, la m\'{e}thode pr\'{e}c\'{e}dente ne marche plus, puisque l'on doit consid\'{e}rer une infinit\'{e} de points.


L'id\'{e}e est de consid\'{e}rer un grand nombre de points sur le graphe de $f$, dont les abcisses sont r\'{e}guli\`{e}rement espac\'{e}s, $P_1=(x_1,f(x_1)),\ldots,P_n=(x_n,f(x_n))$, avec 
$x_i= a+\frac{(b-a)i}{n}$, et de consid\'{e}rer la droite de meilleure approximation pour ces points. Bien s\^{u}r, plus $n$ est grand, meilleure est l'approximation. L'entier $n$ \'{e}tant fix\'{e}, on doit donc minimiser $$d:=(f(x_1)-(\alpha x_1+\beta))^2+\ldots+(f(x_n)-(\alpha x_n+\beta))^2.$$
Ceci revient aussi \`{a} minimiser $$S_n:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (f(x_i)-(\alpha x_i+\beta))^2, \mbox{ avec }x_i=a+\frac{(b-a)i}{n}.$$
On voit graphiquement (et on peut d\'{e}montrer rigoureusement) que $S_n$ converge vers $\int_a^b(f(t)-(\alpha t+\beta))^2\mbox{d}t$. En particulier, $S_n$ est tr\`{e}s proche de cette int\'{e}grale lorsque $n$ est suffisamment grand.

Il est alors naturel de d\'{e}finir la droite de meilleure approximation $y=\alpha x+\beta$ comme celle qui minimise l'int\'{e}grale 
$$\int_a^b(f(t)-(\alpha t+\beta))^2\mbox{d}t$$

Ce genre d'int\'{e}grale s'interpr\`{e}te souvent comme l'\'{e}nergie
d'un syst\`{e}me. 
Ainsi, le probl\`{e}me de minimisation pr\'{e}c\'{e}dent revient \`{a} demander 
de minimiser cette \'{e}nergie.

{\bf Exemple}\\
Consid\'{e}rons le probl\`{e}me de minimisation suivant: trouver
$a,b\in\mathbb{R}$ 
qui minimise 
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos(x)-a-bx)^2\mbox{d}x$$ 

Soit $V$ l'espace des fonctions continues sur $[0,\frac{\pi}{2}]$ avec son produit scalaire
$$ \langle f|g \rangle  = \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)g(x)\mbox{d}x.$$
On v\'{e}rifie que $\langle | \, \rangle$ est un produit scalaire sur
$V$. 
Consid\'{e}rons maintenant le sous-espace $W$ de $V$ d\'{e}fini par 
$$W=\mbox{Vect}(1,x)=\{f| f:x\mapsto  a+bx, a,b\in\mathbb{R} \}.$$
Le probl\`{e}me de minimisation se reformule alors ainsi:
\begin{center}
Trouver $g\in W$ tel que $\langle \cos(x)-g(x)|\cos(x)-g(x)\rangle
$\footnote{En toute rigueur on devrait \'ecrire $\langle \cos-g,\cos-g \rangle $ pour
  ne pas confondre fonction et valeur de la fonction en $x$. Mais
cela peut devenir rapidement lourd pour les fonctions constantes ou
plus difficile \`a suivre pour les fonctions usuelles (cos/sin...)}
soit minimal. 
\end{center}
Autrement dit, on cherche $g\in W$ tel que $\|\cos(x)-g(x)\| $ soit minimal.
On connait la solution, c'est $g=p_W(\cos(x))$. 
On cherche donc \`{a} calculer la projection orthogonale de $\cos(x)$ sur $W=\mbox{Vect}(1,x)$.

Appliquons le proc\'{e}d\'{e} de Gram-Schmidt \`{a} la base $e_1=1,e_2=x$ de $W$.
$$v_1=\frac{e_1}{\| e_1\|}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}$$ 
$$f_2=e_2-\langle v_1|e_2\rangle v_1=(x-\frac{\pi}{4})$$ 
$$v_2= \frac{x-\frac{\pi}{4}}{\| x-\frac{\pi}{4}\|}$$
\giacinputmath{
restart:;
ps(f,g):=integrate(f*g,x,0,pi/2);
[v1,v2]:=simplify(gramschmidt([1,x],ps));
}
On a alors 
$$g=p_W(\cos(x))=\frac{\langle 1|\cos(x)\rangle}{\langle 1|1\rangle}1+\frac{\langle x-\frac{\pi}{4}|\cos(x)\rangle}{\langle x-\frac{\pi}{4}|x-\frac{\pi}{4}\rangle}(x-\frac{\pi}{4})=
ax+b$$ 
le calcul donne $a= (\frac{24}{\pi^2}-\frac{96}{\pi^3})$ et $b=
(\frac{-4}{\pi}+\frac{24}{\pi^2})$~:
\giacinputmath{
G:=simplify(ps(v1,cos(x))*v1+ps(v2,cos(x))*v2);
a,b:=coeffs(G,x):;
expand(a); expand(b);
}

\subsection{Projection sur les polyn\^omes trigonom\'etriques}
On peut aussi vouloir approximer une fonction $f:[a,b]\to\mathbb{R}$
par une fonction autre qu'une droite. Par exemple, on peut vouloir
approximer $f$ par une fonction $g$ appartenant \`{a} un sous-espace
vectoriel $W$ des
fonctions continues sur $[a,b]$, 
de fa\c{c}on \`{a} ce que l'int\'{e}grale $$\int_a^b(f(t)-g(t))^2\mbox{d}t$$ soit minimale, lorsque $g$ d\'{e}crit $W$.

Consid\'{e}rons le probl\`{e}me pos\'{e} dans l'introduction, celui 
d'approcher une fonction par des sommes trigonom\'etriques. 
Soit $f:[-L,L]\rightarrow \mathbb{R}$ une fonction que l'on supposera continue : 
on veut approximer $f$ par une 
somme finie de fonctions trigonom\'etriques 
$$S_n(f):=a_0+\sum_{k=1}^n a_k\cos(\frac{2 k\pi x}{L})+
b_k\sin(\frac{2 k\pi x}{L}).$$
On veut trouver les coefficients $a_k$ et $b_k$ tels que l'int\'{e}grale 
$$\int_{-L}^L(f(t)-S_n(f)(t))^2\mbox{d}t$$ soit minimale.

Soit $V$ l'espace vectoriel des fonctions continues sur $[-L,L]$ 
\`a valeurs r\'elles $C^0([-L,L], \mathbb{R})$ et
$W$ le sous-espace vectoriel de $V$ engendr\'{e} par $$
1, \ 
\cos(\frac{2 k\pi x}{L}),\sin(\frac{2 k\pi x}{L}),k=1,\ldots,n.$$
Autrement dit, $W$ est l'ensemble de fonctions de la forme
\[ g(x)=a_0+\sum_{k=1}^n a_k\cos(\frac{k\pi x}{L})+
b_k\sin(\frac{k\pi x}{L}).\]
Consid\'{e}rons le produit scalaire sur $V$
$$ \langle f|g\rangle=\int_{-L}^Lf(t)g(t)\mbox{d}t.$$
Le raisonnement pr\'{e}c\'{e}dent montre que la meilleure approximation
$S_n(f)$ est donn\'{e}e par $p_W(f)$.
Or, on peut v\'{e}rifier que  $$\frac{1}{\sqrt{2L}},
\sqrt{\frac{1}{L}}\cos\left(\frac{2 k\pi x}{L}\right),\sqrt{\frac{1}{L}}\sin\left(\frac{2 k\pi x}{T}\right),k=1,\ldots,n$$
fournit une base orthonorm\'{e}e de $W$ -- nous reviendrons en d\'etail sur ce calcul dans le dernier chapitre.

La formule pour la projection orthogonale $p_W(f)$ nous donne alors
$$p_W(f)=\langle 1|f\rangle\frac{1}{2L}+\sum_{k=1}^n \frac{1}{L}\langle \cos(\frac{k\pi x}{L})|f\rangle \cos(\frac{k\pi x}{L})+
\frac{1}{L}\langle \sin(\frac{ k\pi x}{L})|f\rangle \sin(\frac{ k\pi x}{L})$$

$$= \frac{1}{2L}\int_{-L}^L f(t)dt+ \frac{1}{L}\int_{-L}^L f(t)\cos(\frac{k\pi t}{L})\mbox{d}t  \cos(\frac{k\pi x}{L})+ 
\frac{1}{L}\int_{-L}^L f(t)\sin(\frac{ k\pi t}{L})\mbox{d}t \sin(\frac{ k\pi x}{L}).$$
Les choix de coefficients $a_0, a_k, b_k$ qui minimisent cette int\'egrale sont donc donn\'es par 
$$a_0= \frac{1}{2L}\int_{-L}^L f(t)dt$$
$$a_k=\frac{1}{L}\int_{-L}^L f(t)\cos(\frac{ k\pi t}{L})\mbox{d}t,$$
$$b_k=\frac{1}{L}\int_{-L}^L f(t)\sin(\frac{ k\pi t}{L})\mbox{d}t.$$



\section{Diagonalisation orthogonale des matrices sym\'etriques.}
Nous pr\'esentons ici un th\'{e}or\`{e}me sur la
 diagonalisation des matrices sym\'{e}triques.
On commence par un lemme.
\begin{lem}
Soit $(V,\langle|\rangle)$ un espace prehilbertien de dimension $n$, et soit ${\bf e}=(e_1,\ldots,e_n)$ une base 
orthonorm\'{e}e. Soit ${\bf v}=(v_1,\ldots,v_n)$ une autre base de $V$, et soit $P$ la matrice de passage 
correspondante (c'est-\`{a}-dire la matrice dont les colonnes sont les vecteurs coordonn\'{e}es de $(v_1,\ldots,v_n)$ 
dans la base $(e_1,\ldots,e_n)$). La base $(v_1,\ldots,v_n)$ est orthornorm\'{e}e si et seulement si ${}^tP P=I_n$, c'est-\`a-dire si
$P^{-1}= {}^tP$. 

\end{lem}

\begin{preuve}

Soient $M$ et $N$ les matrices de la forme $\langle| \rangle$ dans les 
bases ${\bf e}$ et ${ \bf v}$. On sait que 
$N= {}^tP M P$ : puisque ${\bf e}$ est suppos\'ee orthonorm\'ee nous avons $M=I_n$ et $N= {}^tPP$. 
La base ${\bf v}$ est orthonorm\'ee si et seulement si $N=I_n$ c'est \`a dire ssi  
\[ I_n= {}^tP P.\]
CQFD.
\end{preuve}


\begin{thm} \label{thm:ortho}
Soit $B\in \M_n(\mathbb{R})$ une matrice sym\'{e}trique, c'est-\`{a}-dire v\'{e}rifiant ${}^tB=B$.
Alors il existe une base de $\mathbb{R}^n$ form\'{e}e de vecteurs 
propres de $B$ qui est orthonorm\'{e}e pour le produit scalaire usuel sur $\mathbb{R}^n$.
\end{thm}
La d\'emonstration repose sur le crit\`ere suivant.
\begin{lem}
Soient $B$ une matrice carr\'ee $n\times n$. Alors si $B$ est sym\'etrique on a pour tout $\underline{X},\underline{Y}\in \mathbb{R}^n$
\[ \langle \underline{X} | B\underline{Y}\rangle = \langle B\underline{X}|\underline{Y} \rangle.\]
ou $\langle | \rangle$ est le produit scalaire canonique.
\end{lem}
\begin{preuve}
On a que
\[\langle \underline{X}| B\underline{Y}\rangle=  {}^t\underline{ X} B\underline{Y}= {}^t(^tB \underline{X}) \underline{Y}= {}^t(B\underline{X})\underline{ Y}= \langle B\underline{X}| \underline{Y}\rangle\]
 CQFD.
\end{preuve}
\begin{rem}\label{orthvp}
Soit $\underline{X}$ un vecteur propre de $B$
associ\'e \`a $\lambda$
($B\underline{X}= \lambda \underline{X}$) et 
$\underline{Y}$ est un vecteur propre de $B$
associ\'e \`a $\mu$
($B\underline{Y}=\mu \underline{Y}$). Alors 
\[ \lambda \langle \underline{X}| \underline{Y}\rangle= 
\mu \langle \underline{X}|\underline{Y}\rangle\]
Donc si $\lambda\neq \mu$ alors $\underline{X}$ et $\underline{Y}$ doivent 
\^etre orthgonaux.
\end{rem}
{\bf Preuve du Th\'eor\`eme \ref{thm:ortho}}\\
Si $\lambda$ est valeur propre d'une matrice sym\'etrique r\'eelle,
alors $\lambda$ est r\'eel. En effet si $x \neq 0$ est vecteur propre
associ\'ee \`a $\lambda$,
alors $\overline{x}$ est vecteur propre associ\'e \`a
$\overline{\lambda}$ et
$$
\lambda\langle \overline{x}|x \rangle =\langle \overline{x}|Mx \rangle =\langle M\overline{x}|x \rangle =\overline{\lambda}\langle \overline{x}|x \rangle $$
donc $\lambda=\overline{\lambda}$ car $\langle \overline{x}|x \rangle \neq 0$ puisque
c'est la somme des modules des coordonn\'ees de $x \neq 0$. 

Soient $\lambda_1,\ldots, \lambda_k$ ses valeurs propres distincts avec $E_{\lambda_i}$ le sous-espace propre associ\'e \`a $\lambda_i$. Nous avons alors
\[ \mathbb{R}^n = E_{\lambda_1} \underset{\perp}{\oplus} \ldots 
\underset{\perp}{\oplus} E_{\lambda_k},\]
En effet par la remarque \ref{orthvp}, $E_{\lambda_i}$ est orthogonal
\`a $E_{\lambda_j}$ si $i\neq j$ on a donc une somme directe
orthogonale.
Soit $E=E_{\lambda_1} \underset{\perp}{\oplus} \ldots 
\underset{\perp}{\oplus} E_{\lambda_k}$ et $F$ son orthogonal. 
Si $E$ n'est pas $\mathbb{R}^n$ tout entier, alors $F$ est de
dimension au moins 1, et est stable par $M$ 
(en effet si $x \in F$, alors $\langle Mx|y\rangle=
= \langle x|^t\!\!My\rangle =\langle x|My\rangle=0$
puisque $My \in E$ et $x\in F=E^\perp$), donc $M$ est associ\'ee
\`a une application lin\'eaire de $F$, admet (au moins) une valeur propre et
un vecteur propre associ\'e, mais c'est contradictoire avec le fait
que $F$ est l'orthogonal de la somme des sous-espaces propres de $M$.
Donc $E=\mathbb{R}^n$.

Pour tout $i$ soit
${\bf e_i}$ une base orthonorm\'ee pour $E_{\lambda_i}$ et soit ${\bf e}$ la concat\'enation $({\bf e}_1, \ldots, {\bf e}_k)$. Par le Lemme \ref{orthbase}, ${\bf e}$ 
est une base orthonorm\'ee pour $\mathbb{R}^n$ compos\'ee de vecteurs propres de $B$.


%\begin{preuve}
%On le d\'{e}montre uniquement pour les formes semi-lin\'{e}aires hermitiennes, la d\'{e}monstration pour les formes bilin\'{e}aires sym\'{e}triques \'{e}tant similaire.

%$(a)$ Montrons que toutes les valeurs propres de $H$ sont r\'{e}elles. Soit $\lambda\in\mathbb{C}$ une valeur propre de $H$, et soit $V$ un vecteur propre associ\'{e}.
%On a $HV=\lambda V$, et donc $$\ov{H}\,\ov{V}=\ov{HV}=\ov{\lambda V}=\ov{\lambda}\, \ov{V}.$$
%On a alors $$\ov{HV}^tV=\ov{\lambda V}^tV=\ov{\lambda}\,\ov{V}^tV.$$
%Mais on a aussi  $$\ov{HV}^tV=\ov{V}^t \ov{H}^t V=\ov{V}^t HV=\ov{V}^t \lambda V=\lambda \ov{V}^t V.$$
%On a donc $$\ov{\lambda}\,\ov{V}^tV=\lambda\ov{V}^tV.$$

%Or, si $V=\begin{pmatrix}v_1\\ \vdots\\ v_n\end{pmatrix}$, on a 
%$$\ov{V}^t V=\sum_{i=1}^n \ov{v}_i v_i=\sum_{i=1}^n \vert v_i\vert^2>0,$$
%puisque $V$ a au moins une coordonn\'{e}e non nulle par d\'{e}finition.

%On en d\'{e}duit $\ov{\lambda}=\lambda$, c'est-\`{a}-dire $\lambda\in\mathbb{R}$.

%Avant de d\'{e}montrer le reste du th\'{e}or\`{e}me, nous allons \'{e}tablir quelques r\'{e}sultats auxiliaires.

%$(b)$ Pour tout $X,Y\in\mathbb{C}^n$, on a $$\langle HX| Y\rangle=\langle X|HY\rangle.$$

%En effet, on a $$\langle HX| Y\rangle=\ov{HX}^t Y=\ov{X}^t\ov{H}^t Y=\ov{X}^t HY=\langle X|HY\rangle.$$

%$(c)$ Soit $\lambda\in\mathbb{R}$ une valeur propre de $H$. Soit $$E_\lambda=\{ V\in \mathbb{C}^{n} \mid HV=\lambda V \}.$$
%Si $V\in E_\lambda^\perp$, alors $HV\in E_\lambda^\perp$.

%En effet, si $V\in E_\lambda^\perp$, alors pour tout $X\in E_\lambda$, on a 
%$$\langle X|HV\rangle=\langle HX| V\rangle=\langle \lambda X| V\rangle= \ov{\lambda}\langle X|V\rangle=0.$$

%On a donc $HV\in E_\lambda^\perp$.

%$(d)$ On d\'{e}montre maintenant la propri\'{e}t\'{e} d\'{e}sir\'{e}e par r\'{e}currence sur $n$.

%Soit $(P_n)$ la propri\'{e}t\'{e}

%$(P_n)$ Pour tout $1\leq k\leq n$, et toute matrice hermitienne de taille $k\times k$, il existe une 
%base de $\mathbb{C}^n$ form\'{e}e de vecteurs propres de $H$ qui est orthonorm\'{e}e pour le produit scalaire usuel sur $\mathbb{C}^n$.

%Supposons que $n=1$. Alors tout vecteur de norme $1$ convient. 

%Supposons que la propri\'{e}t\'{e} soit vraie pour toute matrice hermitienne de taille $k\times k, k\leq n$, et d\'{e}montrons-le pour les matrices hermitiennes de taille $(n+1)\times (n+1)$.

%Soit $H\in \mbox{M}_{n+1}(\mathbb{C})$ une matrice hermitienne. Soit $\lambda\in\mathbb{R}$ une valeur propre de $H$.
%Si $H=\lambda I_n$, la base canonique convient. Supposons maintenant que $H\neq \lambda I_n$.

%D'apr\`{e}s le Th\'{e}or\`{e}me \ref{thmprojorth}, on a 
%$$\mathbb{C}^{n+1}=E_\lambda\overset{\perp}{\oplus}E_\lambda^\perp.$$

%On sait que $E_\lambda$ poss\`{e}de une base orthonorm\'{e}e. Par d\'{e}finition de $E_\lambda$, cette base est constitu\'{e}e de vecteurs propres de $H$ (associ\'{e}s \`{a} la valeur propre $\lambda$).

%Pour conclure, il reste \`{a} d\'{e}montrer que $E_\lambda^\perp$ poss\`{e}de une base orthonorm\'{e}e form\'{e}e de vecteurs propres de $H$, puisqu'il suffira alors de recoller les deux bases pour obtenir la base de $\mathbb{C}^{n+1}$ d\'{e}sir\'{e}e.

%Soit $e_1,\ldots,e_k$ une base orthonorm\'{e}e de $E_\lambda$, et soit $e_{k+1},\ldots,e_{n+1}$ une base orthonorm\'{e}e de $E_\lambda^\perp$. Alors ${\bf e}=(e_1,\ldots,e_n)$ est une base orthonorm\'{e}e de $\mathbb{C}^{n+1}$. Attention! Les vecteurs $e_{k+1},\ldots,e_{n+1}$ ne sont pas a priori des vecteurs propres de $H$.

%Soit $P$ la matrice de passage de {\bf e} \`{a} la base canonique, et soit $f:\mathbb{C}^{n+1}\to \mathbb{C}^{n+1}$ l'application lin\'{e}aire d\'{e}finie par $$f(X)=HX\mbox{ pour tout }X\in\mathbb{C}^{n+1}.$$

%La matrice repr\'{e}sentative de $f$ dans la base canonique est $H$, et donc $$H':=\mbox{Mat}(f, {\bf e})=P^{-1}HP.$$
%D'apr\`{e}s le lemme pr\'{e}c\'{e}dent, puisque ${\bf e}$ est orthonorm\'{e}e, on a $P^{-1}=\ov{P}^t$.

%Ainsi, on a $H'=\ov{P}^t H P$. On a donc $$\ov{H'}^t= \ov{\ov{P}^t H P}=\ov{P}^t \ov{H}^t P=\ov{P}^t H P=H'.$$
%Ainsi, $H'$ est hermitienne. Mais par construction de {\bf e}, on a aussi 

%$$H'=\begin{pmatrix}\lambda I_k & 0\\ 0 & M\end{pmatrix},$$
%puisque $E_\lambda^\perp$ est stable par $f$. Remarquons que $M$ est la matrice repr\'{e}sentative de l'application lin\'{e}aire 

%$$g:E_\lambda^\perp\to E_\lambda^\perp, V\mapsto HV$$
%dans la base $e_{k+1},\ldots,e_{n+1}$.

%En utilisant le fait que $H'$ est hermitienne, on voit facilement que $M$ est \'{e}galement hermitienne, de taille $(n+1-k)\times (n+1-k)$. 
%Puisque $H\neq \lambda I_n$, on a $E_\lambda\neq \mathbb{C}^{n+1}$, et donc on a $$\dim_{\mathbb{C}}(E_\lambda^\perp)=n+1-
%\dim_{\mathbb{C}}(E_\lambda)=n+1-k< n+1.$$ Par hypoth\`{e}se de r\'{e}currence, il existe une base de $\mathbb{C}^{n+1-k}$ form\'{e}e de vecteurs propres de $M$ qui soit orthonorm\'{e}e pour le produit scalaire usuel.
%Cela signifie exactement qu'il existe une base de $E_\lambda^\perp$ form\'{e}e de vecteurs propres de $g$ qui soit orthonorm\'{e}e pour le produit scalaire. Or un vecteur propre de $g$ est aussi un vecteur propre de $H$. Ceci ach\`{e}ve la d\'{e}monstration.
%\end{preuve}

Ceci se traduit en termes de formes bilin\'{e}aires de la fa\c{c}on suivante:
\begin{thm}
Soit $(V,\langle| \rangle)$ un espace prehilbertien de dimension finie, et soit 
$\varphi :V\times V\to \mathbb{R}$ une forme bilin\'{e}aire sym\'{e}trique.
Alors il existe une base orthonorm\'{e}e pour $\langle| \rangle$ qui est
 aussi $\varphi$-orthogonale.
\end{thm}

\begin{preuve}

Soit ${\bf e}=(e_1,\ldots,e_n)$ orthonorm\'{e}e pour $\langle|
\,\rangle$, et soit $B$ sa matrice dans cette base. 
Alors $B$ est une matrice sym\'etrique d'apr\`{e}s le Lemme \ref{corosym}.
D'apr\`{e}s le th\'{e}or\`{e}me pr\'{e}c\'{e}dent, il existe une base 
$(\underline{V}_1,\ldots,\underline{V}_n)$ de $\mathbb{R}^n$ form\'{e}e de 
vecteurs propres de $B$ qui est orthonorm\'{e}e pour le produit scalaire usuel de $\mathbb{R}^n$.

Si $\underline{V}_j=\begin{pmatrix} v_{1j}\\\vdots\\ v_{nj}\end{pmatrix}$, posons $v_j=\sum_{i=1}^n v_{ij}e_i,$ de telle
fa\c con que $\underline{V}_j$ est le vecteur de coordonn\'ees de $v_j$ dans la base ${\bf e}$.
Nous allons montrer que ${\bf v}=(v_1,\ldots,v_n)$ est une base de $V$ qui poss\`{e}de les propri\'{e}t\'{e}s voulues.

Comme {\bf e} est orthonorm\'{e}e, on a $$\langle v_i| v_j\rangle={}^t
\underline{V}_i \underline{V}_j$$ d'apr\`{e}s
le Lemme \ref{calculorth}.
Comme $(\underline{V}_1,\ldots, \underline{V}_n)$ est orthonorm\'ee, 
on en d\'{e}duit que $$\langle v_i|v_j\rangle=
\left\{
\begin{array}{c}
0\ \mbox{si}\ i\neq j \\
1\ \mbox{si}\ i=j
\end{array} \right.$$

Il reste \`{a} voir que {\bf v} est $\varphi$-orthogonale. Soit $P$ la matrice de passage de {\bf v} \`{a} {\bf e}.
La matrice $N$ qui repr\'esente $\varphi$ dans la base ${\bf v}$ est donc  ${}^tP B P.$
Or {\bf v} \'{e}tant orthonorm\'{e}e, on a ${}^tP P=I_n$. On a ainsi $N=P^{-1} B P.$\\ \\
Mais {\bf v} \'{e}tant form\'{e}e de vecteurs propres de $B$, nous avons que $P^{-1}BP$ est diagonale. $N$ est donc 
est diagonale, ce qui revient \`{a} dire que {\bf v} est $\varphi$-orthogonale.
\end{preuve}
Cette d\'emonstration nous donne en plus que nous pouvons construire une telle base orthonorm\'ee et 
$\varphi$-orthogonale en prenant des vecteurs propres de $B$.
vecteur propres de $B$.


{\bf M\'{e}thode pratique pour trouver une base de vecteurs orthonorm\'ee 
et $\varphi$-orthogonale. }
\begin{enumerate}
\item Soit $M$ une matrice sym\'{e}trique r\'{e}elle.
\begin{itemize}
\item Pour chaque valeur propre $\lambda\in\mathbb{R}$ de $M$, 
on calcule une base de $E_\lambda$. Si $\lambda$ est une valeur propre
simple, on normalise le vecteur propre de la base, si $\lambda$ est une valeur propre
multiple, on applique l'algorithme de Gram-Schmidt pour obtenir une base orthonorm\'{e}e de $E_\lambda$.
\item
On recolle les bases orthonorm\'{e}es  pr\'{e}c\'{e}dentes 
pour obtenir une base $(\underline{V}_1,\ldots,\underline{V}_n)$  de
$\mathbb{R}^n$ 
form\'{e}e de vecteurs propres de $M$, orthonorm\'{e}e {\bf pour le produit scalaire usuel} sur $\mathbb{R}^n$.
\end{itemize}
\item
Soit $\varphi:V\times V\to \mathbb{R}$ une forme bilin\'{e}aire 
sym\'{e}trique. On se fixe une base {\bf e} de $V$ {\bf orthonorm\'{e}e} pour 
$\langle| \, \rangle$. \\
 Soit $M$ la matrice de $\varphi$ dans la base ${\bf e}$. $M$ est une
 matrice sym\'{e}trique. 
On applique la m\'{e}thode pr\'{e}c\'{e}dente pour obtenir une base 
$(\underline{V}_1,\ldots,\underline{V}_n)$ orthonorm\'{e}e de $\mathbb{R}^n$ form\'{e}e de vecteurs propres de $M$.
On prend alors $v_i$ l'unique vecteur dans $V$ qui admet pour vecteur coordonn\'ees dans la base ${\bf e}$ le vecteur 
$\underline{V}_i$. La base $(v_1,\ldots, v_n)$ est alors la base 
recherch\'ee.
\end{enumerate}

{\bf Exemples}
\begin{enumerate}
\item
Soit $B=\begin{pmatrix}3 & 4 \\ 4 & -3\end{pmatrix}$.
\\
On v\'{e}rifie que les valeurs propres sont $5$ et $-5$, et que $$E_5=\mbox{Vect}\{\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}\},
E_{-5}=\mbox{Vect}\{\begin{pmatrix}1\\ -2\end{pmatrix}\}.$$
Une base orthonorm\'{e}e pour $E_5$ est donc $$\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix},$$
et une base orthonorm\'{e}e pour $E_{-5}$ est donc $$\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1\\ -2\end{pmatrix}.$$
La base recherch\'{e}e est donc donn\'{e}e par $$(\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix},\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1\\ -2\end{pmatrix}.)$$

\item
Munissons $\mathbb{R}^3$ de son produit scalaire usuel, et soit 
$$\varphi\left(\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\
    x_3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\
    y_3\end{pmatrix}\right)
= \sum_{i,j\leq 3}x_iy_j = (x_1+x_2+x_3)(y_1+y_2+y_3)$$
Soit {\bf e} la base canonique de $\mathbb{R}^3$. C'est une base orthonorm\'{e}e pour le produit scalaire usuel.
La matrice $M$ de $\varphi$ dans la base canonique est alors
$$M=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}.$$ 
On v\'{e}rifie que les valeurs propres sont $3$ et $0$, que $E_3$ admet comme base la famille $(\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix})$
et que $E_{0}$ admet comme base la famille \[\left(\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\right).\]
Une base orthonorm\'{e}e pour $E_1$ est donc $$\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}.$$

Pour trouver une base orthonorm\'{e}e de $E_0$, on applique
Gram-Schmidt. On pose 
$$v_1=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 0\end{pmatrix}$$
Ensuite on pose $$f_2=\begin{pmatrix}1\\ 0\\
  -1\end{pmatrix}-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\ -1\\
  0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/2\\ 1/2\\ -1\end{pmatrix}.$$ 
Enfin on pose 
$$v_2= \frac{f_2}{\| f_2\|}= \displaystyle{\sqrt{\frac{2}{3}}}\begin{pmatrix}1/2\\ 1/2\\ -1\end{pmatrix}$$
Une base orthonorm\'{e}e pour $E_{0}$ est donc 
$$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 0\end{pmatrix},\sqrt{\frac{2}{3}}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ -1\end{pmatrix}\right).$$
La base recherch\'{e}e est donc donn\'{e}e par 
$$v_1=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix},v_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 0\end{pmatrix},v_3=\sqrt{\frac{2}{3}}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ -1\end{pmatrix}.$$
Si $x=x'_1v_1+x'_2v_2+x'_3v_3$ et $y=xy'_1v_1+y'_2v_2+y'_3v_3$, on a $$b(x,y)=3x'_3y'_3.$$
\end{enumerate}

{\bf V\'erification avec Xcas}\\
Pour v\'erifier une diagonalisation de matrices avec Xcas, vous pouvez
utiliser la commande \verb|P,D:=jordan(A)| qui renvoie une matrice
de passage $P$ et la matrice diagonale $D$ semblable \`a $A$. Dans le
cas g\'en\'erique o\`u les valeurs propres sont de multiplicit\'e 1,
il suffit de normaliser les colonnes de $P$ pour avoir une matrice
orthogonale, sinon il faut appliquer le proc\'ed\'e de gramschmidt. 
Pour g\'en\'erer la matrice d'une forme quadratique,
utilisez la commande \verb|q2a|.

{\bf Exemple}\\
On prend la forme quadratique associ\'ee \`a $\varphi$ de l'exemple 2
ci-dessus, on calcule sa matrice~:\\
\giacinputmath{q:=(x1+x2+x3)^2; A:=q2a(q,[x1,x2,x3]);}
puis on diagonalise $A$\\
\giacinputmath{P,D:=jordan(A); Q,R:=qr(P,-3);}
V\'erification~:\\
\giacinputmath{normal(Q^-1 *A*Q); normal(Q^* *Q);}
Par rapport au calcul fait \`a la main, on retrouve le m\^eme vecteur
propre (\'eventuellement au signe pr\`es) pour les valeurs propres de
multiplicit\'e 1 (ici 3), par contre ce n'est en g\'en\'eral pas le
cas pour les valeurs propres de
multiplicit\'e plus grande (ici 0) car il y a une infinit\'e de bases
orthonormales du sous-espace propre correspondant.

\section{Matrices orthogonales.}
Soit $M$ une matrice, on note $M^*$ sa transpos\'ee si elle est
r\'eelle (ou sa transconjugu\'ee, i.e. transpos\'ee conjugu\'ee si elle est complexe).
Nous avons vu ci-dessus que les matrices r\'eelles $M$ 
telles que $M^* M =I_n$ sont tr\`es importantes puisqu'elle encodent 
des changements de la bases orthonorm\'ees. 
\begin{prop}
Soit $M$ une matrice de taille $n\times n$. Les conditions suivantes sont \'equivalentes :
\begin{enumerate}
\item $M^* M= I_n$ ;
\item pour tous $v,w$ nous avons  
$\langle Mv| Mw\rangle= \langle v|w\rangle$, o\`u $\langle| \rangle$ est
le produit scalaire canonique.
\item pour tout $v$ nous avons $\| Mv\|= \|v\|$, o\`u 
$\|v\|$ est la norme de $v$ pour le produit scalaire canonique.
On parle d'{\bf isom\'etrie}\index{isom\'etrie}.
\end{enumerate}
On dit qu'une matrice r\'eelle qui satisfait \`a ces conditions est {\bf
  orthogonale}\index{orthogonale, matrice} ({\bf
  unitaire}\index{unitaire, matrice} pour une matrice complexe, en utilisant
le produit scalaire hermitien canonique).
\end{prop}
\begin{preuve}
Si $M^* M= I_n$ alors 
\[\langle Mv|Mw \rangle = (Mv)^* Mv = v^* M^* M w= v^* I_n w= v^* w= 
\langle v|w\rangle.\] 
Donc (1) implique (2).
(2) implique (3) en prenant $v=w$ et 
(3) implique (2) par la formule de polarisation. 
Reste \`a montrer que 2) implique 1). Si 
$\langle Mv| Mw\rangle= \langle v|w\rangle$ alors pour tout $v, w$ nous avons
\[ v^* M^* M w= v^* I_n w= v^* w=\langle v|w\rangle\] et donc 
$M^* M= I_n$. 
\end{preuve}

Nous finissons cette section avec une \'etude des matrices
orthogonales de taille $2\times 2$, i.e. des isom\'etries de $\mathbb{R}^2$.
Nous allons d\'emontrer le th\'eor\`eme suivant:
\begin{prop}
Soit $M$ une matrice $2\times 2$ orthogonale. 
Alors l'application $\mathbb{R}^2\mapsto \mathbb{R}^2$ donn\'ee par $v\mapsto Mv$ est 
\begin{enumerate}
\item une rotation autour de l'origine 
\item* ou
\item une sym\'etrie par rapport \`a une droite passant par l'origine.
\end{enumerate}
\end{prop}
%\begin{preuve}
Soit $M=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix} $ une matrice orthogonale. On  a alors
\[ \| M\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\| = \| 
\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}\| =1\]
et, en utilisant des coordonn\'ees polaires, il existe un $\theta$ tel que $\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\cos(\theta)\\ \sin(\theta)\end{pmatrix}$. De m\^eme 
$\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\cos(\phi)\\ \sin(\phi)\end{pmatrix}$ et on peut \'ecrire
\[ M=\begin{pmatrix} \cos{\theta} & \cos{\phi}\\ \sin{\theta} & \sin{\phi}\end{pmatrix}.\]
On a alors
\[ {}^tM M= \begin{pmatrix} \cos^2{\theta}+\sin^2{\theta} & \cos{\theta}\cos{\phi}+ \sin \theta\sin \phi\\ \cos{\theta}\cos{\phi}+ \sin \theta\sin\phi &  \cos^2{\phi}+\sin^2{\phi}\end{pmatrix}\]
\[= \begin{pmatrix} 1& \cos(\theta -\phi)\\ \cos(\theta-\phi)&  1\end{pmatrix}\]
et nous avons donc $M$ orthogonale si et seulement si
$\cos(\theta-\phi)= 0$, c'est-\`a-dire si et seulement si \[\phi=
\theta +\pi/2\ \mbox{ou}\ \phi= \theta -\pi/2.\] 
Dans le premier cas nous avons 
\[ M=\begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin\theta \\ \sin\theta 
& \cos\theta\end{pmatrix}\]
et on reconnait la matrice d'une rotation d'angle $\theta$ autour de l'origine. 
Dans le deuxi\`eme cas on a 
\[ M=\begin{pmatrix} \cos{\theta} & +\sin \theta \\ \sin\theta & -\cos{\theta}\end{pmatrix}.\]
Apr\`es calcul le polyn\^ome caract\'eristique de $M$ est $\lambda^2-1$,
qui a pour solutions $1$ et $-1$. Apr\`es calcul des vecteurs propres, on voit que
\[e_1= \begin{pmatrix}\cos\frac{\theta}{2}\\
  \sin\frac{\theta}{2}\end{pmatrix}, 
e_2= \begin{pmatrix}-\sin\frac{\theta}{2}\\ \cos\frac{\theta}{2}\end{pmatrix}\]
sont des vecteurs propres de $M$ de valeur propre $1$ et $-1$ respectivement.
Autrement dit, on a $M e_1=e_1$ et $Me_2= -e_2$. Puisque
$\langle e_1| e_2\rangle=0$, les vecteurs $e_1$ et $e_2$ sont
perpendiculaires, 
$M$ repr\'esente une sym\'etrie par rapport \`a  la droite engendr\'ee par 
$e_1$. 

\chapter{S\'eries num\'eriques.}
Vous avez d\'ej\`a rencontr\'e au cours de vos  \'etudes l'\'equation suivante
\[ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots =2\]
ou le symbole ``$\ldots$'' se comprend comme ``et ainsi de suite jusqu'\`a l'infini''. 
Quel sens donner \`a cette \'equation, et en particulier, quel sens donner \`a son membre de gauche 
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots$ ? Ca ne peut pas signifer ``le r\'esultat
qu'on obtient en effectuant une infinit\'e d'additions'' puisqu'il est impossible de faire 
une infinit\'e d'additions. \\ \\
La somme infinie \`a gauche doit \^etre comprise comme une limite.  
En \'ecrivant cette \'equation,
nous disons la chose suivante :
\\ \\
{\it En prenant $n$ assez grand, nous pouvons rendre la somme finie \[1+\frac{1}{2}+
\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2^{n}}\] aussi proche qu'on veut de $2$.}

La somme infinie \[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots,\] que l'on \'ecrit
aussi $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}$, doit \^etre compris comme la
 {\bf limite de la suite
des sommes partielles $s_k=\sum_{n=0}^k \frac{1}{2^n}$}. 
\giacinputmath{S(N):=sum(1/2^n,n,0,N); evalf(S(20)); evalf(S(100));
  sum(1/2^n,n,0,inf)}
Repr\'esentation graphique des premi\`eres sommes partielles
\giacinput{S(N):=sum(1/2^n,n,0,N); 
seq(point(N,S(N)),N,0,10); 
 line(y=2,color=red)}

\section{Convergence des s\'eries}
\begin{defn}
Soit $(u_n)$ une suite de nombres r\'eels ou complexes. 
On d\'efinit la suite de sommes partielles\index{somme
  partielle}\index{partielle, somme}
 $(s_k)_k$ (\'egalement not\'ee $(\sum_{n\geq 0} u_n)$)
\[ s_k = u_0+u_1+u_2+\ldots u_k = \sum_{n\geq 0}^k u_n\]
Nous appelons cette suite {\it la {\bf s\'erie}\index{s\'erie} de terme
  g\'en\'eral\index{terme g\'en\'eral}\index{g\'en\'eral, terme}
  $u_n$}. 

On peut adapter la d\'efinition lorsqu'on commence la somme \`a un rang $m
\neq 0$, par exemple $m=1$ si $u_0$ n'est pas d\'efini, 
$(\sum_{n\geq m} u_n)$ est la suite des sommes partielles
$s_k= u_m+u_{m+1}+\ldots u_{k+m}$.
\end{defn}
{\bf Exemples}
\begin{enumerate}
\item Si on pose, comme ci-dessus, $u_n=\frac{1}{2^n}$ et on consid\`ere la s\'erie $(\sum_{n\geq 0} u_n)$ alors la somme
partielle $s_k= \sum_{n=0}^k u_n$ est donn\'ee par 
\[ s_k=1+\frac{1}{2}+\ldots +\frac{1}{2^k}= 2-\frac{1}{2^k}.\]
Si on consid\`ere la s\'erie  $(\sum_{n\geq 3} u_n)$ alors la somme partielle \[s_k= \sum_{n=3}^{k+3} u_n\] est donn\'ee par 
\[ s_k= \frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\ldots +\frac{1}{2^{k+3}}= \frac{1}{4}-\frac{1}{2^{k+3}}.\]
\item Si on pose $u_n=1$ pour tout $n$ et on consid\`ere la s\'erie $(\sum_{n\geq 0} u_n)$
alors les sommes partielles $s_k=\sum_{n=0}^k u_n $  sont donn\'ees pour tout $k$
par
\[s_k=1+1+\ldots +1=k+1.\]
\item Si on pose\footnote{ c'est \`a dire $u_0=1$, $u_1=-1$, $u_2=1$, $u_3=-1$ et ainsi de suite.} $u_n=(-1)^n$ 
et on consid\`ere la s\'erie $(\sum_{n\geq 0} u_n)$ alors les sommes partielles 
$s_k=\sum_{n=0}^k u_n$ sont donn\'ees par
\[ s_0=1\]\[s_1=1-1=0\] \[s_2= 1-1+1=1\]
et ainsi de suite, c'est \`a dire que pour tout $k$ paire nous avons que  
$s_{k}=1$ et pour tout $k$ impaire nous avons que $s_{k}=0$.
\item Si on pose $u_n=\frac{1}{n^2}$ et on consid\`ere la s\'erie
$(\sum_{n\geq 1} u_n)$ alors la somme partielle $s_k$ est le nombre r\'eel
\[ s_k=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\ldots +\frac{1}{k^2}.\]
Contrairement aux autres cas, 
nous ne disposons d'aucune formule g\'en\'erale pour cette somme partielle. 
\end{enumerate}

Lorsque cette suite de sommes partielles $(s_k)_{k\geq 0}$ est convergente, on dit
que sa limite est la valeur de la ``somme infinie'' 
\[\sum_{n=0}^{\infty} u_n=u_0+u_1+u_2+\ldots\]
\begin{defn}
Soit $(u_n)_{n\geq m}$ une suite infinie et consid\'erons la s\'erie 
$(\sum_{n\geq m} u_n)$. 
Nous disons que la s\'erie $(\sum_{n\geq m} u_n)$ admet comme limite le nombre fini 
$l$ si la suite $(s_k)_{k\geq 0}$ de sommes partielles converge vers $l$,
\[ \lim_{k\rightarrow \infty} s_k=l.\]
Dans ce contexte, nous disons que $l$ est la somme de la s\'erie $(\sum_{n\geq m} u_n)$
et nous \'ecrivons
\[ \sum_{n\geq m}^\infty u_n=l.\]
 \end{defn}
{\bf Attention !} Les deux notations 
\[ \left(\sum_{n\geq m} u_n \right)\]
et 
\[ \sum_{n=m}^\infty u_n,\]
qui sont tr\`es proches, d\'esignent quand m\^eme des choses diff\'erentes. 
Lorsque nous \'ecrivons $(\sum_{n\geq m} u_n )$ nous parlons de la {\bf suite} de sommes partielles $(s_k)_{k\geq 0}$
alors que $\sum_{n=m}^\infty u_n$ d\'esigne la {\bf limite} de cette suite (en supposant, 
bien sur, qu'elle existe). 
\begin{prop}\label{sequence}
Le terme g\'en\'eral d'une s\'erie convergente tend vers 0.
\end{prop} 
En effet, soit $(\sum_{n\geq m} u_n)$ une s\'erie et soit $(s_k)_{k\geq 0}$ 
ses sommes partielles. Si $(\sum_{n\geq m} u_n)$
converge vers $l$ alors on a que
\[ s_k\rightarrow_{k\rightarrow \infty} l\]
\[ s_{k-1}\rightarrow_{k\rightarrow\infty} l\]
donc
\[ s_{k}-s_{k-1}\rightarrow_{k\rightarrow \infty } 0\]
Or $s_k-s_{k-1}=u_{k+m}$ donc $u_k\rightarrow_{k\rightarrow \infty}
0$.
\begin{rem}
\begin{itemize}
\item Par contre-apposition, si le terme g\'en\'eral d'une suite ne tend pas
vers 0 alors la s\'erie diverge. Par exemple $\sum_{n\geq 0} (-1)^n $ diverge
parce que son terme g\'en\'eral $(-1)^n$ ne tend pas vers 0. De m\^eme
une suite g\'eom\'etrique de raison $\lambda$ diverge lorsque $|\lambda|\geq 1$.
\item Attention! La r\'eciproque est fausse. Il existe des s\'eries
divergentes dont le terme g\'en\'eral tend vers 0, par exemple
on montre que $\sum_{n>0} \frac{1}{n}$ diverge alors que son terme
g\'en\'eral $\frac{1}{n}$ tend vers 0 (cf. proposition \ref{Riemann}
plus bas)
\end{itemize}
\end{rem}

{\bf Exemples.}
\begin{enumerate}
\item Pour la s\'erie $(\sum_{n\geq 0} \frac{1}{2^n})$ nous avons que la somme
partielle  
\[s_k=2-\frac{1}{2^n}\rightarrow_{k\rightarrow \infty} 2.\]
On peut donc \'ecrire \[\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}=2.\] 
\item Soit maintenant  $\lambda$ un nombre r\'eel ou complexe tel que 
$|\lambda|<1$, et consid\'erons la s\'erie $(\sum_{n\geq 0} \lambda^n)$. La 
somme partielle \[s_k=1+\lambda +\ldots +\lambda^k\] peut \^etre calcul\'ee par
l'astuce suivante :
\[ (1-\lambda) s_k= s_k -\lambda s_k\]
\[(1-\lambda) s_k= (1+\lambda +\ldots +\lambda^k) -(\lambda+\lambda^2+\ldots
+\lambda^{k+1})\]
\[ (1-\lambda) s_k= 1-\lambda^{k+1}\]
\[s_k=\frac{1-\lambda^{k+1}}{1-\lambda}.\]
Puisque $|\lambda|<1$ nous avons que $\lambda^k\rightarrow_{k\rightarrow \infty} 0$ donc 
\[ s_k\rightarrow_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{1-\lambda}.\]
Autrement dit, la s\'erie g\'eom\'etrique de raison $|\lambda|<1$ 
converge et on a \[ \sum_{n=0}^{\infty}\lambda^{n}=\frac{1}{1-\lambda}.\]
\giacinputmath{sum(lambda^n,n,0,k); 
assume(-1&lt;lambda&lt;1); 
sum(lambda^n,n,0,inf)}
\item La s\'erie $(\sum_{n\geq 0}1)$ a pour sommes partielles $s_k=k+1$. 
Cette suite n'est 
pas convergente : sa limite n'est
pas finie. On dit alors que la s\'erie $(\sum_{n\geq 0} 1)$ est {\bf divergente}\footnote{On aurait pu aussi remarquer que $u_n \not\rightarrow_{n\rightarrow  \infty} 0$ et donc cette s\'erie, par Remarque \ref{sequence}, ne converge pas.}.
\item La s\'erie $(\sum_{n\geq 0}(-1)^n)$ a pour sommes partielles \[s_k=1 
\mbox{ si }\ k\ \mbox{ paire,  }\ s_k=0 \ \mbox{ si }\ k\ \mbox{ impaire}.\] 
Cette suite
de sommes partielles, bien que born\'ee (les sommes partielles n'approchent pas $\infty$) ne converge pas. On
dit encore une fois que la s\'erie $(\sum_{n\geq 0}(-1)^n)$ est 
divergente.\footnote{De m\^eme, cette s\'erie ne peut pas converger par Remarque \ref{sequence}.}
\item M\^eme si nous ne disposons pas de formule pour les sommes partielles 
$s_k=\sum_{n=1}^k \frac{1}{n^2}$
il est possible de montrer que cette suite converge vers une limite finie. Nous verrons \`a la fin du semestre
que \[ \lim_{k\rightarrow \infty} s_k=\frac{\pi^2}{6}\]
que nous pouvons aussi \'ecrire
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}= \frac{\pi^2}{6}.\]
\giacinputmath{s:=sum(1/n^2,n,1,inf);evalf(s); evalf(sum(1/n^2,n,1,100));}
\end{enumerate}
La remarque suivante, qui suit des propri\'et\'es de lin\'earit\'e des suites,
est souvent utile dans l'\'etude des s\'eries.
\begin{prop}[Lin\'earit\'e de la convergence des s\'eries]
Soient $(\sum_{n\geq m} u_n)$ et $(\sum_{n\geq m} v_n)$ deux s\'eries convergentes r\'eelles ou complexes, 
de limites $u$ et $v$ respectivement. Alors
pour tout $\lambda, \mu\in \mathbb{C}$, la s\'erie
\[(\sum_{n\geq m} \lambda u_n+\mu v_n)\]
est convergente, avec limite $\lambda u+ \mu v$.
\end{prop} 
Le cas des s\'eries r\'eelles {\bf \`a termes positifs} 
est assez simple.
\begin{lem}\label{dichotomy}
Soit $(\sum_{n\geq m} u_n)$ une s\'erie r\'eelle dont toutes les
termes $u_n$ sont positifs. 
Pour tout $k\geq m$ soit $s_k$
la somme partielle \[s_k=\sum_m^{k+m} u_n.\] 
Il y a alors deux possibilit\'es
\begin{enumerate}
\item la suite $(s_k)_{k\geq 0}$ converge vers une limite finie $l$. Autrement dit, la s\'erie $(\sum_{n\geq m} u_n)$ est convergente
\item la suite de sommes partielles $(s_k)_{k\geq 0}$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}
\end{lem}
En effet la diff\'erence entre deux sommes partielles cons\'ecutives
est un terme de la suite $u_n$ donc est positif ($s_{k}-s_{k-1}=
u_{k+m}\geq 0$)
donc la suite $s_k$ est croissante. Si elle est major\'ee, elle converge vers une
  limite finie (toute suite croissante major\'ee est
  convergente). Sinon,
elle n'est pas major\'ee et tend donc vers $+\infty$. 

Pour appliquer ce lemme, il sera utile de se ramener \`a des
s\'eries \`a termes positifs. On peut d'abord observer que s'il y a un
nombre fini de termes n\'egatifs, on peut appliquer ce r\'esultat, car
la nature d'une s\'erie ne d\'epend pas de ses premiers termes 
(mais bien sur la somme en d\'epend si la s\'erie est convergente).
S'il y a un nombre infini de termes positifs et n\'egatifs, on peut
d'abord regarder la nature de la s\'erie des valeurs absolues du terme g\'en\'eral.
\begin{defn}
Soit $(\sum_{n\geq m} u_n)$ une s\'erie. 
On dit que $(\sum_{n\geq  m}u_n)$ est absolument 
convergente\index{absolument  convergente}\index{convergente, absolument}
 si la s\'erie
$(\sum_{n\geq m}|u_n|)$ est convergente.
\end{defn}
On a le r\'esultat suivant.
\begin{prop}
Toute s\'erie absolument convergente est convergente.
\end{prop}
Id\'ee de la preuve (hors programme)~: cela r\'esulte de l'in\'egalit\'e triangulaire
sur les sommes partielles 
$$ |\sum_{n =N}^M u_n| \leq \sum_{n = N}^M |u_n| $$
Comme $\sum_n |u_n|$ est convergente,
le terme de droite peut \^etre rendu aussi petit que l'on veut pourvu que l'on
choisisse $N$ assez grand. Cela permet d'\'etablir rigoureusement
la convergence de la suite des sommes partielles de $u_n$ (c'est ce
qu'on appelle une suite de Cauchy).

{\bf Attention~}: la r\'eciproque de cette proposition est fausse : il existe des
s\'eries r\'eelles convergentes 
qui ne sont pas absolument convergentes. 
Leur comportement est parfois surprenant -- par exemple, en permutant les
termes d'une telle s\'erie 
on peut la rendre divergente, 
ou la faire converger vers n'importe quel nombre r\'eel. De plus ces
s\'eries convergent lentement, il faut calculer des sommes partielles
\`a des rangs d'indice \'elev\'e pour avoir une valeur approch\'ee de
la somme. Les s\'eries absolument convergentes sont donc plus int\'eressantes!
Mais on n'a pas toujours le choix (par exemple certaines s\'eries de Fourier).
\begin{rem} 
Le comportement de la s\'erie de terme g\'en\'eral $u_n=(-1)^n$, 
qui diverge sans tendre vers $+\infty$, 
n'est possible que parce que certains termes de cette s\'erie sont negatifs.
\end{rem}

Le crit\`ere de d'Alembert traite le cas des
s\'eries qui se comportent comme des s\'eries g\'eom\'etriques.
\begin{prop}\index{d'Alembert, crit\`ere de}\index{crit\`ere de d'Alembert}
Soit $\sum u_k$ une s\'erie telle que $\frac{|u_{k+1}|}{|u_k|}\rightarrow_{k\rightarrow \infty} \lambda$.
Si $\lambda <1$ alors la s\'erie $\sum u_k$ est absolument
convergente. 
Si $\lambda >1$ alors la s\'erie $\sum u_k$ diverge.
\end{prop}
Preuve~:\\
Si $\lambda>1$, le terme g\'en\'eral de la s\'erie ne tend pas vers 0,
donc elle diverge.
Si $\lambda<1$, on observe que $0\leq \lambda < \frac{\lambda+1}{2} <
1$.
Comme la suite $|u_{n+1}/u_n|$ converge vers $\lambda < \frac{\lambda+1}{2} $, il existe
un rang $l$ tel que 
$$\forall n>l, \quad |u_{n+1}|/|u_n|\leq \frac{\lambda+1}{2}  $$
Donc pour tout  $m\geq n$, on a~:
$$|u_{m}| \leq C\left(\frac{\lambda+1}{2}\right)^{m-n}, \quad C=|u_n|$$. 
Comme $ \frac{\lambda+1}{2}<1$ la s\'erie g\'eom\'etrique
$$\sum_m C \left(\frac{\lambda+1}{2}\right)^{m-n}=C \sum_m \left(\frac{\lambda+1}{2}\right)^{m-n}$$ 
converge. En appliquant le crit\`ere de comparaison,
comme $|u_m|$ est positive, on en d\'eduit que la s\'erie $\sum_{m\geq l}|u_m|$ converge.

Les s\'eries \`a convergence de type g\'eom\'etrique convergent
assez rapidement, ces s\'eries sont tr\`es utiles
pour calculer des valeurs approch\'ees de fonctions
trigonom\'etriques, exponentielles, logarithmes etc. (cf. la section
\ref{sec:calc}). 
Mais toutes les s\'eries ne convergent pas aussi rapidement, par
exemple les s\'eries de Fourier qui seront abord\'ees en fin de
cours. 
Pour d\'eterminer leur nature, on commence par utiliser un crit\`ere 
plus fin, le crit\`ere des \'equivalents.
 
Le lemme \ref{dichotomy} entra\^ine le corollaire suivant.
\begin{coro}\label{equivalence}
Soient $(\sum_{n\geq m}u_n)$, $(\sum_{n\geq m}v_n)$ des s\'eries avec un nombre 
fini de termes n\'egatifs. Alors :
\begin{enumerate}
\item Si $u_n\leq v_n$ pour tout $n$ et $(\sum_{n\geq m} v_n)$ converge alors $(\sum_{n\geq m} u_n)$ converge aussi.
\item Si $u_n\sim_{n\rightarrow \infty} v_n$ alors la s\'erie $(\sum_{n\geq m} u_n)$ converge si et seulement si
la s\'erie $(\sum_{n\geq m} v_n)$ converge aussi.
\end{enumerate}
\end{coro}
\begin{preuve}
Quitte \`a commencer la somme \`a un indice $m>0$, on peut supposer que toutes les 
termes des deux suites sont positifs. 
\begin{enumerate}
\item  Soit $(s_k)_{k\geq 0}$ la suite de sommes partielles de la s\'erie $(\sum_{n\geq m} u_n)$. Soit $(t_k)_{k\geq 0}$ 
la suite de sommes partielles de la s\'erie
$(\sum_{n\geq m} v_n)$. Puisque $(\sum_{n\geq m} v_n)$ converge,
i.e. la suite $(t_k)_{k\geq 0}$ converge, donc est major\'ee. 
Puisque $u_n\leq v_n$ pour tout $n$, $s_k\leq t_k$ pour tout $k$, 
donc la suite $s_k$ est major\'ee. Par Lemme \ref{dichotomy}  il suit que  la s\'erie $(\sum_{n\geq m} u_n)$ converge. 
\item %Nous pr\'esentons cette d\'emonstration dans le cas o\`u $u_n$ et
      %$v_n$ sont {\it strictement} positifs : le cas  o\`u certains termes peuvent \^etre z\'ero est similaire. \\
Puisque $u_n\sim_{n\rightarrow \infty} v_n$ et $u_n, v_n>0$ il existe des nombres r\'eels strictement positifs $\alpha, \beta$
tels que, pour tout $n$, 
\[ \alpha v_n\geq u_n.\]
\[ \beta u_n\geq v_n.\]
Nous avons donc par (1) que 
\[ (\sum_{n\geq m} u_n )\mbox{ converge } \Rightarrow (\sum_{n\geq m} \beta u_n) \mbox{ converge }\Rightarrow (\sum_{n\geq m} v_n) \mbox{ converge }.\]
De m\^eme 
\[ (\sum_{n\geq m} v_n) \mbox{ converge } \Rightarrow (\sum_{n\geq m} \alpha v_n) \mbox{ converge } \Rightarrow (\sum_{n\geq m} u_n) \mbox{ converge }.\]
\end{enumerate}
Ceci termine la d\'emonstration du Corollaire \ref{equivalence}.
\end{preuve}

{\bf Exercice.}
Montrer que le Corollaire \ref{equivalence}  est toujours valable lorsque :
%\begin{enumerate}
%\item 
les deux s\'eries sont \`a termes n\'egatifs,
%\end{enumerate}
\begin{rem}
Si la suite $u_n$ ne comprend qu'un nombre fini de termes negatifs et la suite
$v_n$ satisfait $v_n\sim u_n$ alors la suite $v_n$ ne comprend qu'un
nombre fini de termes negatifs. 
Il suffit donc de v\'erifier cette condition sur une seule des deux suites.
\end{rem}
Vous avez \'etudi\'e en 1\`ere ann\'ee les developpements limit\'es. Utilisant ces d\'eveloppements, il est tr\`es souvent possible
de montrer qu'une suite donn\'ee est \'equivalente \`a une suite de la forme $(\frac{1}{n^s})_{n\geq 1}$. 
\\ \\
{\bf Exemples}
\begin{enumerate}
\item Consid\'erons $u_n=\sin(\frac{1}{n})$. Nous avons que \[\sin\left(\frac{1}{n}\right)=_{n\rightarrow \infty} 
\frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right),\]
c'est \`a dire que $\sin(\frac{1}{n})\sim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}.$
\giacinputmath{taylor(sin(1/n),n=inf,2)}
\item Consid\'erons $u_n=e^{1/n}-1$. Nous avons que \[e^{1/n}=_{n\rightarrow \infty} 1+ \frac{1}{n} +o(\frac{1}{n})\]
et donc $(e^{1/n}-1)=_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n} +o(\frac{1}{n})$, c'est \`a dire 
$e^{1/n} \sim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}$.
\giacinputmath{taylor(exp(1/n)-1,n=inf,2)}
\item Consid\'erons $u_n=\frac{\cos(\frac{1}{n}) -1}{n}$. Nous avons que \[\cos(\frac{1}{n})=_{n\rightarrow \infty}
1-\frac{1}{2n^2}+
o(\frac{1}{n^2})\] et donc $\cos(\frac{1}{n})-1\sim_{n\rightarrow \infty} \frac{-1}{2n^2}$, d'ou il vient que 
\[  \frac{\cos(\frac{1}{n}) -1}{n}\sim_{n\rightarrow \infty} \frac{-1}{2n^3}.\]
\giacinputmath{taylor((cos(1/n)-1)/n,n=inf,3)}
\item Consid\'erons $u_n= \frac{ \cos(\frac{1}{n}) -1}{ \sin(\frac{1}{n})}\sim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{-1}{2n^2}}{\frac{1}{n}}
= \frac{-1}{2n}.$
\giacinputmath{taylor((cos(1/n)-1)/sin(1/n),n=inf,3)}
\end{enumerate}
La corollaire \ref{equivalence} sera donc un outil tr\`es puissant pour \'etablir la convergence des s\'eries,
\`a condition de savoir quand la s\'erie 
\[ \left(\sum_{n>0} \frac{1}{n^s}\right)\]
converge.
\begin{prop}[Crit\`ere de Riemann.]\label{Riemann}
\index{Riemann, crit\`ere de}\index{crit\`ere de Riemann}
Pour tout  nombre r\'eel positif $s>0$ la suite infinie 
\[ \left(\sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^s}\right) \]
 diverge si $s\leq 1$ et converge si $s>1$.
\end{prop}

{\bf Preuve}\\
On doit d\'eterminer quand la suite de sommes partielles 
\[ s_k=\sum_{n=1}^k \frac{1}{n^s}\]
converge. Puisque la suite $(u_n)$ est \`a termes positifs il suffit par le lemme \ref{dichotomy}
de savoir quand la suite
$s_k$ est major\'ee. Nous allons faire cela par une t\'echnique tr\`es
puissante : comparaison 
d'une somme avec 
une int\'egrale. Il y a en effet un lien fort entre l'int\'egrale $\int_1^k f(x) dx$ et la somme
$\sum_{n=1}^k f(n)$.

Illustration graphique de la nature identique de la convergence d'une 
s\'erie ou de l'int\'egrale correspondante pour une
fonction d\'ecroissante telle que $f(x)=1/x$. En noir la somme des
rectangles dont l'aire est une somme partielle de la s\'erie (car
chaque rectangle a pour dimension horizontale 1 et
verticale un des $f(n)$). 
On compare avec l'aire sous la courbe repr\'esentative de $f$ (en
rouge), de deux fa\c{c}ons, en prenant les rectangles \`a gauche
ou \`a droite. 
\begin{giaconload}
f(x):=1/x; gl_y=0..1; gl_x=0..12;
plotarea(f(x),x=1..11,10,rectangle_gauche); 
\end{giaconload}
Si l'aire des rectangles gauches noirs tend vers une limite finie, alors
l'aire sous la courbe aussi (puisqu'elle est major\'ee par l'aire des rectangles).
\begin{giaconload}
f(x):=1/x; gl_y=0..1; gl_x=0..12;
plotarea(f(x),x=1..11,10,rectangle_droit); 
\end{giaconload}
R\'eciproquement,
si l'aire sous la courbe tend vers une limite, l'aire des
rectangles droits aussi. On calcule ensuite
$$ \int_1^k \frac{1}{t^s} \ dt = 1-\frac{1}{(s-1)k^{s-1}}, \quad
s\neq 1$$
et on fait tendre $k$ vers $+\infty$, il y a convergence lorsque $s>1$.
Attention au cas particulier $s=1$, on a alors un logarithme qui ne
tend pas vers une limite finie.

Une autre preuve plus formelle.
Puisque $s>0$ pour tout $x$ tel que  $x\in [n, n+1]$ nous avons que 
\[ \frac{1}{n^s}\geq \frac{1}{x^s}\geq \frac{1}{(n+1)^s}.\]Il en suit que 
\[ \int_{n}^{n+1} \frac{1}{n^s} dx \geq \int_{n}^{n+1} \frac{1}{x^s} dx \geq \int_{n}^{n+1} \frac{1}{(n+1)^s} dx.\]
cest \`a dire que pour tout entier positif $n$ nous avons que 
\[ \frac{1}{n^s} \geq \int_n^{n+1} \frac{1}{x^s} dx \geq \frac{1}{(n+1)^s}.\]
En sommant ces in\'egalit\'es, nous obtenons que 
\[ 1+\frac{1}{2^s}+\ldots+\frac{1}{n^s} \geq \int_1^2 \frac{1}{x^s} dx+\int_2^3 \frac{1}{x^s} dx+\ldots+ \int_n^{n+1} 
\frac{1}{x^s} dx\geq 
\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\ldots \frac{1}{(n+1)^s}.\]
Autrement \'ecrit
\[ \sum_{n=1}^k \frac{1}{n^s} \geq \int_{1}^{k+1} \frac{1}{x^s}dx\geq \sum_{n=2}^{k+1}\frac{1}{n^s},\]
c'est \`a dire
\[ s_k\geq \int_{1}^{k+1} \frac{1}{x^s}dx\geq  s_k-\frac{k}{k+1}.\]
Re-organisant ces \'equations, nous obtenons que 
\[ \int_1^k \frac{1}{x^s} dx \leq s_k\leq \int_1^k \frac{1}{x^s} dx+1.\]
Nous allons maintenant distinguer 3 cas, selon que $s$ est plus grand que, \'egale \`a ou plus petit que $1$.
\begin{enumerate}
\item Cas 1 : $s>1$. Nous avons alors que \[\int_1^k x^{-s} dx= \left[ \frac{x^{1-s}}{1-s}\right]_1^k 
=\frac{1-k^{1-s}}{s-1}\leq 
\frac{1}{s-1}.\]
On a donc que pour tout $k$
\[ s_k\leq \frac{1}{s-1}+1.\]
La suite $s_k$ est donc major\'ee et la s\'erie $(\sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^s})$ converge.
\item Cas 2 : $s=1$. Nous avons alors que \[\int_1^k x^{-1} dx=[ \log (x)]_1^k= \log(k)\rightarrow_{k\rightarrow \infty}
\infty.\]
Nous avons donc que $s_k\geq \log(k)$ pour tout $k$ : la suite $s_k$ ne peut donc pas \^etre major\'ee et par le lemma
\ref{dichotomy} la suite $(\sum_{n\geq m}\frac{1}{n})$ doit diverger.
\item Cas 3 : $s<1$. Pour tout entier positif $n$ nous avons alors que $\frac{1}{n^s}\geq \frac{1}{n}>0$.
Comme $(\sum_{n\geq 1} \frac{1}{n})$ ne converge pas, il r\'esulte du Lemma \ref{dichotomy} que 
$ (\sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^s})$ ne converge pas non plus.
\end{enumerate}
Ceci termine d\'emonstration de la proposition \ref{Riemann} 

{\bf Exemples}:\\
Les exemples qui suivent montrent \`a quel point l'attelage du
Corollaire \ref{equivalence} 
avec la Proposition \ref{Riemann} 
est un outil puissant pour d\'eterminer si des s\'eries positives convergent
ou divergent.
\begin{enumerate}
\item Soit $u_n=\sin(\frac{1}{n})$ pour tout $n\geq 1$. Nous avons vu que 
\[u_n\sim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}.\] Puisque la s\'eries 
$(\sum_{n\geq 1} \frac{1}{n})$ diverge par la proposition \ref{Riemann}, 
il r\'esulte du corollaire 
\ref{equivalence} que $(\sum_{n\geq 1} u_n)$ diverge aussi.
\item Soit $u_n=1-\cos(\frac{1}{n})$ pour tout $n\geq 1$. Nous avons vu que
$u_n\sim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2n^2}$. Puisque la s\'erie
$(\sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^2})$ converge par la Proposition 
\ref{Riemann}, il r\'esulte de la corollaire
\ref{equivalence} que $(\sum_{n\geq 1} u_n)$ converge aussi.
\item Soit $u_n= \frac{1-\cos(\frac{1}{n})}{\sqrt{n}}$. Nous avons que
\[ u_n\sim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2n^2\sqrt{n}}= 2n^{-\frac{5}{2}}.\]
\giacinputmath{taylor((1-cos(1/n))/sqrt(n),n=inf,3)}
Puisque la s\'eries $(\sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^{5/2}})$ converge par la Proposition 
\ref{Riemann}, il r\'esulte de la corollaire
\ref{equivalence} que $(\sum_{n\geq 1} u_n)$ converge aussi.
\item Soit $u_n= \sin\left(\frac{1}{n}\right)\left(e^{\frac{1}{\sqrt{n}}}-1\right)$. Par les developpements limit\'es, on a que
\[\sin(\frac{1}{n})\sim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}\] et \[e^{\frac{1}{\sqrt{n}}}-1\sim_{n\rightarrow\infty} n^{-1/2}.\] Il en suit que
\[u_n\sim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n*n^{1/2}}= n^{-3/2}.\] 
\giacinputmath{taylor(sin(1/n)*(exp(1/sqrt(n))-1),n=inf,3)}
Puisque la s\'erie
$(\sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^{3/2}})$ converge par la Proposition 
\ref{Riemann}, il r\'esulte du corollaire
\ref{equivalence} que $(\sum_{n\geq 1} u_n)$ converge aussi.
\end{enumerate}

Que se passe-t-il pour les s\'eries qui ont un nombre infini de termes
n\'egatifs et positifs~?
Si la s\'erie converge absolument, on a vu que la s\'erie convergeait.
Sinon, il se peut que la s\'erie converge quand m\^eme. On peut
montrer par exemple que $\sum_n \frac{(-1)^n}{n}$ converge
alors que $\sum_n \frac{1}{n}$ tend vers l'infini. 
Intuitivement, cela vient du fait qu'il y a des compensations entre les termes positifs
et n\'egatifs dans le premier cas et pas dans le second.
L'\'etude de la nature des s\'eries ayant une infinit\'e de
termes positifs et n\'egatifs qui ne sont pas absolument convergentes
sort du cadre de ce cours. Le lecteur souhaitant aller plus loin peut
regarder les articles ``S\'eries altern\'ees'' et ``transformation
d'Abel'' de wikipedia. Attention, certaines s\'eries de Fourier qui seront
\'etudi\'ees plus loin ne sont pas absolument convergentes, on
admettra donc qu'elles convergent en appliquant le th\'eor\`eme
donnant la valeur de leur somme.
%Il existe deux types de fonctions qui ne sont pas couvertes par ces th\'eor\`emes : ce sont
%les fonctions logarithmiques et exponentielles. La g\'en\'eralisation suivantes du th\'eor\`eme
%ci-dessus nous permet de traiter les fonctions logarithmiques
%\begin{prop}
%La s\'eries $\sum \frac{1}{n^\alpha \log(n)^\beta}$ convergent si et seulement si 
%\begin{enumerate}
%\item $\alpha>1$ {\bf OU}
%\item $\alpha =1$ et$\beta >1$.
%\end{enumerate}
%\end{prop} 
%Voil\`a quelques exemples de applications de ce th\'eor\`eme.
%\begin{enumerate}
%\item EXEMPLES
%\item EXEMPLES
%\item EXEMPLES
%\end{enumerate}
%\begin{enumerate}
%\item EXEMPLES
%\item EXEMPLES
%\item EXEMPLES.
%\end{enumerate}
\section{Les s\'eries et le calcul sur machine.} \label{sec:calc}
Les s\'eries peuvent \^etre utilis\'ees dans les logiciels de calcul pour 
calculer des fonctions transcendantes (sinus, cosinus, exponentielle,
logarithme...) ou sp\'eciales que vous verrez peut-etre dans
vos \'etudes (error function, fonctions de Bessel, de
Airy, W de Lambert, etc.).

Un processeur est capable de faire des op\'erations arithm\'etiques de
base\footnote{Aujourd'hui, les coprocesseurs arithm\'etiques sont capables de
  calculer les fonctions sinus, cosinus, exponentielles, etc. en
  d\'ecomposant le calcul en op\'erations arithm\'etiques de base}:
\begin{enumerate}
\item addition, soustraction de deux nombres
\item multiplication, division de deux nombres.
\end{enumerate}
A l'aide de ces op\'erations, il s'agit de coder des fonctions plus
avanc\'ees cit\'ees ci-dessus. 
Mais la plupart des fonctions qu'on souhaite calculer - cos, sin, exp, log et
ainsi de suite - ne s'expriment pas exactement \`a l'aide de
op\'erations de base
\verb|+ - * /| d'ailleurs.
Les seules fonctions qui peuvent \`etre calcul\'ees exactement
utilisant seulement ces op\'erations sont
les fractions de polynomes~:
\[ P(x)= a_0+a_1 x+a_2x^2+\ldots +a_n x^n\]
o\`u $x$ est une variable et $a_0,\ldots, a_n$ sont des nombres.

Alors, comment faire pour faire calculer $\sin(x)$ (par exemple) \`a un ordinateur ? Il y a plusieurs
m\'ethodes : l'une d'elle utilise les s\'eries de Taylor\footnote{Une
  autre m\'ethode populaire est l'algorithme CORDIC}.
Voil\`a comment cela
se passe dans le cas de la fonction $\sin(x)$.
\begin{enumerate}
\item On applique la th\'eorie de la s\'erie de Taylor pour \'ecrire $\sin(x)$ comme une somme
infinie de puissances de $x$. En l'occurence, nous savons que
\[ \sin(x)= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots=
\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}.\]
(Le lecteur pourra v\'erifier que la s\'erie converge en appliquant
le crit\`ere de d'Alembert).
\item Les sommes partielles $s_k(x)$ de cette s\'eries de Taylor sont
  des polyn\^omes et peuvent  \^etre calcul\'ees en utilisant
seulement les op\'erations d'addition, multiplication, division. 
Dans le cas de $\sin(x)$ nous avons que 
\[ s_k(x)= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\ldots +\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}.\]
\item Pour $k$ assez grand le polyn\^ome $s_k(x)$ sera une
  approximation acceptable pour $\sin(x)$. 
{\bf Attention } : ici
le $k$ ``assez grand'' d\'ependra de $x$ : plus $x$ sera petit, 
plus on pourra utiliser une valeur basse pour $k$. On le voit sur la
repr\'esentation graphique ci-dessous de la fonction sinus et
des sommes partielles de la s\'erie de Taylor en 0.
\end{enumerate}
\begin{giaconload}
S(n,x):=sum((-1)^k*x^(2*k+1)/(2*k+1)!,k,0,n);
plot([sin(x),S(1,x),S(2,x),S(3,x)],x,-2,2,color=[black,red,green,blue])
\end{giaconload}

La question plus difficile \`a laquelle il faudrait r\'epondre est la suivante : si je cherche (par exemple)
\`a calculer $\sin(2)$ \`a $10^{-3}$ pr\`es, quelle valeur de $k$ 
dois-je utiliser ? Pour minimiser le
temps de calcul de la machine, il est souhaitable de prendre $k$ le plus petit possible.\\ \\
L'erreur $E_k(x)$ que je commets lorsque j'approche $\sin(x)$ par 
\[s_k(x)= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\ldots +\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}\]
est donn\'ee par le formule\footnote{La 
 terme g\'en\'erale de la s\'eries $E_k(x)$ a un coefficient $\frac{1}{(2k+1)!}$ qui devient tr\`es petit
tr\`es vite, ce qui fait qu'il est typiquement possible de calculer $\sin(x)$ avec relativement peu de termes.}
\[ E_k(x)= \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\ldots.\]
On peut d\'emontrer que des lors que $x^2< (2k+2)(2k+3)$ nous avons que
\[ |E_k(x)|\leq \frac{|x^{2k+3}|}{(2k+3)!}\]
Pour garantir que $E_k(x)$ est petit il suffit donc de s'assurer que \[|x|^{2k+3}/|(2k+3)!\] est petit. Ici, comme on voudrait
calculer $\sin(2)$ \`a $10^{-3}$ pr\`es, il suffit de trouver $k$ tel que $2^{2k+3}/(2k+3)!<10^{-3}$. Des calculs nous donnent que
\[ 2^3/3!=4/3\]
\[ 2^5/5!= 4/15\]
\[ 2^7/ 7!= 8/315\]
\[ 2^9/9!= 4/2835\]
\[ 2^{11}/11!=8/ 155925<10^{-3}.\]
\giacinput{seq([k,evalf(2^(2*k+1)/(2*k+1)!,3)],k,1,7)}\\
Nous savons donc que les deux expressions 
\[ \sin(2), \quad
\mbox{et} \quad  2- 2^3/3!+2^5/5!-2^7/7!+2^9/9!\]
diff\`erent par moins de $10^{-3}$.\\
\giacinput{evalf(sin(2))} 
\giacinput{sin2:=S(4,2); evalf(sin2);}\\
Dans la pratique, on peut optimiser en utilisant
les propri\'et\'es de la fonction sinus (p\'eriodicit\'e, r\`egles
telles que $\sin(x)=\cos(\frac{\pi}{2}-x)$)
et se ramener \`a un argument plus proche de 0.
%\newpage
\chapter{S\'{e}ries de Fourier. }\index{Fourier, s\'eries de}\index{s\'eries de Fourier}

Nous allons maintenant revenir sur la question pos\'ee en d\'ebut de
semestre. Rappelons que nous cherchions \`a r\'esoudre l'\'equation de la chaleur :
\[ \frac{\partial T}{\partial t}= D\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}\]
sur le domaine $\{(x,t)|x\in[0,L], t\geq 0 \}$ 
 en respectant les conditions initiales
\[T(x,0)= \phi(x)\]
(ou $\phi$ est une fonction donn\'ee) 
et les conditions aux bords 
\[ \frac{\partial T}{\partial x}(0, t)=\frac{\partial T}{\partial x}(L, t)=0\]
pour tout $t>0$. 
Nous avions remarqu\'e que lorsque la condition initiale $\phi$ \'etait une somme
finie de cosinus
\[ \phi=a_0+\sum_{k=1}^n a_k \cos(\frac{k \pi x}{L})\]
cette \'equation poss\`ede une solution
\[ T(x,t)=  a_0+ \sum_{k=1}^n a_k \cos(\frac{k \pi x}{L}) e^{-Dk^2\pi^2 x/L^2}.\]
Nous allons maintenant chercher \`a r\'esoudre cette \'equation pour une
condition initiale $\phi$ quelconque en approchant $\phi$ par
des sommes finies de la forme
\[ \phi=a_0+\sum_{k=1}^n a_k \cos(\frac{k \pi x}{L}).\]
Pour l'\'equation des ondes, on cherche plutot \`a approcher $\phi$ par une
somme de sinus.
On va pr\'esenter une m\'ethode pour approcher une fonction quelconque $\phi$
par une somme trigonom\'etrique - c'est \`a dire, une fonction $g$ de la forme
\[ g(x)= a_0+\sum_{k=1}^n a_k \cos(\frac{k \pi x}{L})+b_k\sin( \frac{k \pi x}{L})\]
Le cas de l'\'equation de la chaleur correspond au cas o\`u tous les
$b_k$ sont nuls, celui de l'\'equation des ondes au cas o\`u les $a_k$
sont nuls.

\section{Approximants  de Fourier, coefficients de Fourier et
s\'eries de Fourier : d\'efinitions et exemples.}
Dans ce paragraphe, nous allons appliquer la m\'ethode de la projection 
orthogonale pour approcher une fonction par une s\'erie
trigonom\'etrique. 

On se donne une fonction $f$, continue, r\'eelle et d\'efinie sur 
une intervalle $[-L, L]$. 
On cherche \`a approcher $f(x)$ 
par une somme de fonctions trigonom\'etriques fondementales $2L$-p\'eriodiques~:
\[ a_0+\sum_{k=1}^n a_k \cos(k \frac{\pi}{L} x)+ b_k\sin(k
\frac{\pi}{L} x) \]
Si $f$ est une fonction du temps p\'eriodique de p\'eriode $T$
d\'efinie pour $t \in [-T/2,T/2]$, il faut remplacer $x$ par $t$ et $L$
par $T/2$.
Pour \'eviter de trainer des notations trop lourdes, on va poser
$$ \omega=\frac{\pi}{L} =\frac{2\pi}{T}$$
de sorte que pour une fonction $f$ p\'eriodique d\'ependant du temps, $\omega$ est
une pulsation. Pour une fonction p\'eriodique d\'ependant de la
position, la longueur d'onde est $2L$.\\
{\bf Pour se fixer les id\'ees, on pourra dans la suite prendre~}:
$$L=\pi, T=2\pi, \quad \omega=1 $$
Pour chaque $n$, nous allons chercher la fonction $S^{\mathbb{R}}_n(f)$, qui sera le meilleur
approximant de $f$ de la forme 
\[S^{\mathbb{R}}_n(f) =a_0+\sum_{k=1}^n a_k \cos\left(k \omega x\right)+
b_n\sin\left(k \omega x\right)\]
par rapport \`a la distance d\'efinie par le produit scalaire
\[ \langle f|g\rangle = \int_{-L}^L f(x)g(x) dx.\]

Dans ce chapitre nous aurons souvent besoin de travailler avec
des fonctions qui ne sont pas continues sur $[-L,L]$ mais presque,
au sens o\`u elles peuvent avoir 
un nombre fini de ``sauts'', par exemple 
\begin{giaconload}
f(x):=10*(x-floor(x+1/2))^3;
plot(f(x),x,-3,3,xstep=1/256);
\end{giaconload}
Plus formellement~:
\begin{defn}
Soit $i\geq 0$ un entier.\\
Une fonction $f:[a,b]\to\mathbb{C}$ est dite $C^i$ {\bf par morceaux} s'il existe \[a=a_0<a_1<\ldots<a_p=b\] tels que 
\begin{enumerate}
\item la fonction $f$ est de classe $C^i$ sur chaque intervalle 
$]a_{k-1},a_k[$. 
\item Pour tout
$m=0\ldots i$ et tout $j=0\ldots p$ les limites \`a gauche et \`a droite
\[ \lim_{x\rightarrow a_j^{-}} f^{(m)}(x)\]
et \[\lim_{x\rightarrow a_j^{-}} f^{(m)}(x)\]
existent et sont finies.
\end{enumerate}
Une fonction $f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ est dite $C^i$ par morceaux
si elle est $C^i$ par morceaux sur $[-n,n]$
 pour tout $n$ (i.e. les points de discontinuit\'e sont en nombre fini sur
 un intervalle born\'e)\\ 
Une fonction $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}$ 
est $C^\infty$ par morceaux si elle est $C^i$ par morceaux pour tout $i\geq 0$.  On note l'espace vectoriel de toute les fonctions r\'eelles (resp. complexes) $C^i$ par morceaux sur une
intervalle $[a,b]$ par $C^i_{\mbox{mor}}([a,b], \mathbb{R})$
(resp. $C^i_{\mbox{mor}}([a,b], \mathbb{C})$.)
\end{defn}

{\bf Remarque}\\
Si $f:[a,b]\to\mathbb{C}$ est continue par morceaux, alors $\int_a^b
f(x)\mbox{d}x$ est bien d\'efinie. Si $a=a_0,a_1,\ldots,a_p=b$ est la subdivision correspondante alors 
on a $$\int_a^b f(x)\mbox{d}x=\sum_{j=0}^{p-1}\int_{a_j}^{a_{j+1}} f(x)\mbox{d}x.$$
En particulier, on peut donc d\'efinir sur  $C^i_{\mbox{mor}}([a,b], \mathbb{R})$ le produit scalaire
\[\langle f|g\rangle =\int_{-L}^L f(x) g(x) dx\]

Soit maitenant $f: [-L, L]\rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue par
morceaux. 
On consid\'ere $C^0_{\mbox{mor}}([-L, L], \mathbb{R})$ avec son
produit scalaire~:
\[ \langle f|g\rangle =\int_{-L}^L f(x)g(x)dx.\]
(N.B. c'est un produit scalaire {\em d\'efini} si aux points
de discontinuit\'e la valeur de $f$ est comprise entre ses limites \`a gauche
et \`a droite. Malheureusement cette contrainte ne respecte plus la
structure d'espace vectoriel. Pour obtenir une définition de produit
scalaire rigoureuse, on pourra dire que deux fonctions sont équivalentes
si elles sont égales sauf peut-être en un nombre fini de points, puis
faire ``le quotient'' des fonctions continues par morceaux par
cette relation d'équivalence).\\
Pour tout $n$, notons $W_n$ l'ensemble des fonctions $g(x)$ de la forme
\[ g(x)= a_0+\sum_{k=1}^n a_k \cos(k \omega x)+ b_k
\sin(k \omega x).\]
On v\'erifie facilement que $W_n$ est un sous-espace vectoriel de
$C^0_{\mbox{mor}}([-L, L], \mathbb{R})$.

\begin{defn}
Le $n$-i\`eme approximant trigonometrique de Fourier de $f$, not\'e 
$S^{\mathbb{R}}_n(f)$, est alors d\'efini par la projection de $f$ sur $W_n$
\[ S^{\mathbb{R}}_n(f)= p_{W_n}(f).\]
\end{defn} 
Autrement dit,
 $S^{\mathbb{R}}_n(f)$ est la fonction dans $W_n$ qui minimise la distance 
euclidienne \[d(S_n^{\mathbb{R}}(f), f)=\sqrt{\int_{-L}^L (S_n^{\mathbb{R}}(f)(x)-f(x))^2dx}\]
Nous allons maintenant proc\'eder au calcul explicite des approximants
de Fourier.
Il faut pour cela commencer par identifer une base orthonom\'ee de $W_n$.  Par d\'efinition de cet espace, 
\[ B=\left\{1, \cos(\omega x), \sin(\omega x), \cos(2\omega x)\ldots, 
\cos(n \omega x), \sin(n \omega x)
\right\}, \quad \omega=\frac{\pi}{L}\] est une
famille g\'en\'eratrice de $W_n$.

\begin{lem}
La famille $B$ est orthogonale pour $W_n$ par rapport au produit
scalaire $\langle f|g\rangle =\int_{-L}^L f(x)g(x) dx$.
C'est donc une base orthogonale de $W_n$.
\end{lem}
\begin{preuve}
Il nous faut d\'emontrer que
\begin{enumerate}
\item $\int_{-L}^L 1 \, \sin (k \omega x)dx=  \int_{-L}^L 1 \, \cos (k \omega x)dx=0$ pour tout $k\neq 0$
\item  $\int_{-L}^L \cos({j\omega x}) \sin (k \omega x)dx= 0$ pour tout $k,j>0$.
\item $\int_{-L}^L \sin({j\omega x}) \sin (k \omega x)dx=  
\int_{-L}^L \cos({j\omega x}) \cos (k \omega x)dx=0$ pour $k\neq j>0$.
\end{enumerate}
On a $\omega L=\pi$, donc~:
\[\int_{-L}^L \sin (k \omega x)dx=\left[ \frac{-1}{k\omega} \cos(k \omega x)\right]_{-L}^L= 0\]
\[\int_{-L}^L \cos (k \omega x)dx=\left[ \frac{1}{k\omega} \sin(k \omega x)\right]_{-L}^L= 0\]
donc $(1)$ est vrai.
Ensuite, 
\[\int_{-L}^L \cos({j\omega x}) \sin (k \omega x)dx=
 \int_{-L}^L \frac{1}{2} (\sin({(k+j)\omega x})+ \sin({(k-j)\omega x}) dx.\]
Par $(1)$ cet int\'egralle est nulle si $k\neq j$. Lorsque $k=j$ on a que 
\[\int_{-L}^L \cos({k\omega x}) \sin ({k\omega x})dx= \int_{-L}^L \frac{1}{2}\sin(2k \omega x)dx=0.\]
Dans tous les cas, $(2)$ est v\'erifi\'e.
Enfin,  pour $k\neq j$ et $k,j>0$ on a que 
\[\int_{-L}^L \sin({j\omega x}) \sin (k \omega x)dx=
\int_{-L}^L \frac{1}{2} (-\cos({(k+j)\omega x})+ \cos({(k-j)\omega x})dx=0\]
par $(1)$. De m\^eme
\[\int_{-L}^L \cos({j\omega x}) \cos (k \omega x)dx
=\int_{-L}^L \frac{1}{2} (\cos({(k+j)\omega x})+ \cos({(k-j)\omega x})dx=0\]
par $(1)$. La condition $(3)$ est donc v\'erifi\'ee. 
Ceci termine la d\'emonstration de l'orthogonalit\'e de $B$. \\ \\
\end{preuve}

Pour obtenir une base orthonorm\'ee pour $W_n(\mathbb{R})$ il suffira donc de normaliser la base
\[B=( 1, \cos({\omega x}), \sin({\omega x}), \cos({2\omega x})\ldots, \cos({n\omega x}), \sin({n\omega x}))\]
On a~: 
\[ \| 1 \| =\sqrt{ \int_{-L}^L 1^2 dx}= \sqrt{2L} \]
puis pour les cosinus~:
\[ \| \cos(k \omega x)  \| = \sqrt{\int_{-L}^L \cos^2 (k \omega x)dx }
=\sqrt{\int_{-L}^L\frac{1}{2}(1+\cos( 2k \omega x))dx }=\sqrt{L}\]
Par un calcul similaire $\| \sin(k \omega x)\|= \sqrt{L}$. Nous avons donc
une base orthonorm\'ee $\tilde{B}$ de $W_n$ donn\'ee par
\[\tilde{B}=\left(\frac{1}{\sqrt{2L}}, 
\frac{\cos({\omega x})}{\sqrt{L}}, 
\frac{\sin({\omega x})}{\sqrt{L}}, 
\frac{\cos({2\omega x})}{\sqrt{L}}\ldots, \frac{\cos({n\omega x})}{\sqrt{L}}, \frac{\sin({n\omega x})}{\sqrt{L}}\right)\]
Nous pouvons donc calculer l'approximant de Fourier trigonom\'etrique
$S^{\mathbb{R}}_n(f)$ en utilisant le formule de la projection orthogonale. Cette 
formule nous dit que~:
\begin{eqnarray*}
S^{\mathbb{R}}_n(f)&=& \langle \frac{1}{\sqrt{2L}}|f\rangle \frac{1}{\sqrt{2L}}+
\sum_{k=1}^n \left\langle  \frac{\cos(k \omega x)}{\sqrt{L}}| f\right\rangle \frac{\cos(k \omega x)}{\sqrt{L}}+
\left\langle \frac{\sin(k \omega x)}{\sqrt{L}}| f\right\rangle\frac{\sin(k \omega x)}{\sqrt{L}} \\
&=& \frac{1}{2L}\int_{-L}^L f(x) dx+ \sum_{k=1}^n a_k(f) \cos(k \omega x)+ 
b_k(f) \sin(k \omega x)
\end{eqnarray*}
ou les coefficients $a_k(f)$ et $b_k(f)$ sont d\'efinis par 
\[ a_k(f)= \frac{1}{L}\int_{-L}^L \cos(k \omega x) f(x) dx ,
\quad
b_k(f)= \frac{1}{L}\int_{-L}^L \sin(k \omega x) f(x) dx \]
\begin{defn}
Soit $f$ une fonction r\'eelle ou complexe 
continue par morceaux d\'efinie sur une intervalle $[-L, L]$ et
$\omega=\frac{\pi}{L}$. 
Les coefficients de Fourier trigonom\'etriques de $f$
sont les nombres $a_0(f)$, $a_k(f), b_k(f)$ $(k>0)$
d\'efinis par 
\begin{eqnarray*}
a_0(f)&=&\frac{1}{2L}\int_{-L}^L f dx \\
a_k(f)&=& \frac{1}{L}\int_{-L}^L
 \cos(k \omega x) f(x) dx \\
 b_k(f)&=&\frac{1}{L}\int_{-L}^L \sin({k\omega x}) f(x) dx
\end{eqnarray*}
Le $n$-i\`eme approximation de Fourier trigonom\'etrique est alors donn\'ee par
\[ S^{\mathbb{R}}_n(f)= a_0(f)+\sum_k a_k(f) \cos(k \omega x)+ b_k \sin(k \omega x).\]
\end{defn}
\begin{rem}
Il r\'esulte des formules d'Euler :
\[ e^{ik \omega x}= \cos(k \omega x)+i \sin(k \omega x)\]
\[ \cos(k \omega x)= \frac{1}{2} (e^{ik \omega x}+ e^{-ik \omega x})\]
\[ \sin(k \omega x)= \frac{1}{i} (e^{ik \omega x}- e^{-ik \omega x})\]
qu'approcher $f$ par une somme de fonctions trigonom\'etriques
\'equivaut  
\`a l'approcher par une somme d'exponentielles complexes. 
Plus pr\'ecisement, 
consid\'erons la somme trigonom\'etrique
\[ a_0+\sum_{k=1}^n \left(a_k \cos(k \omega x)+ b_k
  \sin(k \omega x) \right).\]
Si on pose $c_0=a_0$ et pour tout $k>0$
\[c_k= \frac{1}{2}(a_k-ib_k), \;c_{-k}=  \frac{1}{2}(a_k+ib_k)\] 
alors on a 
\[  a_0+\sum_{k=1}^n \left( a_k \cos(k \omega x)+ b_k
  \sin(k \omega x) \right)
=\sum_{k=-n}^n c_k e^{i k \omega x}.\]
\end{rem}
Pour des fonctions complexes, cette version des approximants de Fourier est particuli\`erement utile.
\begin{defn}
Soit $f: [-L, L]\rightarrow \mathbb{C}$ une fonction continue par morceaux. 
On d\'efinit le $n$-i\`eme approximant exponentiel de Fourier de $f$, not\'e $S^{\mathbb{C}}_n(f)$, par
\[ S^{\mathbb{C}}_n(f)=\sum_{-n}^n c_k e^{ik \omega x} \]
ou $c_k$ sont les coefficients exponentiels de $f$ d\'efinis par 
\[ c_k= \frac{1}{2}(a_k-ib_k), \;c_{-k}=  \frac{1}{2}(a_k+ib_k)\]
ou $a_k$ et $b_k$ sont les coefficients trigonom\'etriques de Fourier de $f$. 
\end{defn} 
En utilisant le formule pour les $a_k$ et $b_k$s ci-dessus, on obtient la formule suivante. 
\begin{defn}
Soit $f$ une fonction r\'eelle ou complexe  continue par morceaux et
d\'efinie sur $[-L, L]$. Les coefficients de Fourier exponentiels de $f$ sont 
les nombres $c_k(f)$ d\'efinis par
\[c_k(f)= \frac{1}{2L} \int_{-L}^L e^{-(ik \omega x)}f(x) dx\]
\end{defn}
Nous avons donc que l'approximant de Fourier trigonom\'etrique est
\[ S^{\mathbb{R}}_n(f)= a_0(f)+ \sum_{k=1}^n a_k(f) \cos(k \omega x)  + b_k(f) 
\sin(k \omega x).\]
et que l'approximant exponentiel est
\[ S^{\mathbb{C}}_n(f)= \sum_{k=-n}^n c_k(f) e^{ik \omega x}.\]
On a envie de regrouper tous ces termes dans une somme
infinie, i.e. une s\'erie,
m\^eme s'il n'est pas encore tr\`es clair 
qu'on peut donner un sens \`a cette somme formelle.
\begin{defn}
Soit $f$ une fonction continue par morceaux sur une intervalle
$[-L,L]$ et $\omega=\frac{\pi}{L}$.
 La {\bf s\'{e}rie de Fourier trigonom\'etrique} de $f$ est alors la somme
infinie
$$S^{\mathbb{R}}(f)=a_0(f)+\sum_{k=1}^{\infty}a_k(f)\cos({ k\omega x})+b_k(f)\sin({ k\omega x}).$$
La {\bf s\'{e}rie de Fourier exponentielle} de $f$ est la somme infinie
$$S^{\mathbb{C}}(f)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k(f)e^{i k \omega x}.$$
\end{defn}

{\bf Exemples}
\begin{enumerate}
\item
On consid\`ere la fonction $f(x)=x$ sur l'intervalle
 $[-\pi, \pi]$\\
\giacinput{
plot(x,x=-pi..pi,
display=line_width_2);
}
Nous avons alors $L=\pi, \omega=1$ et
\[ a_0(f)= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi x dx=0.\]
Ensuite, pour tout $k>0$, en int\'egrant par parties, on voit que
\begin{eqnarray*}
 a_k(f)&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi x \cos{(kx)} dx\\
&=& \frac{1}{\pi}
\left[ \frac{x}{k} \sin (kx)\right]_{-\pi}^\pi -\frac{1}{k\pi}\int _{-\pi}^\pi \sin(kx)dx
\\
&=&  -\frac{1}{k\pi}\int _{-\pi}^\pi \sin(kx)dx=0.
\end{eqnarray*}
On pouvait d'ailleurs \'eviter le calcul en appliquant un
argument de sym\'etrie (voir plus bas).
\giacinputmath{fourier_an(x,x,2*pi,k,-pi)}
De m\^eme, l'int\'egration par parties montre que 
\begin{eqnarray*}
 b_k(f)&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi x \sin{(kx)} dx\\
&=& \left[ -\frac{x}{k\pi} \cos (kx)\right]_{-\pi}^\pi
    +\frac{1}{k\pi}\int _{-\pi}^\pi \cos(kx)dx
\\
&=&  -\frac{2(-1)^k}{k}+\frac{1}{k\pi}\int _{-\pi}^\pi \cos(kx)dx=  
\frac{2(-1)^{k+1}}{k}.
\end{eqnarray*}
\giacinputmath{assume(k,integer):;fourier_bn(x,x,2*pi,k,-pi)}
La s\'erie de Fourier trigonom\'etrique de $f$ est donc la somme infinie
\[S^{\mathbb{R}}(f)=\sum_{k=1}^\infty  \frac{2(-1)^{k+1}}{k}
\sin(kx).\]
(Attention, ce n'est pas une s\'erie absolument convergente, par
exemple en $x=\pi/2$).

Repr\'esentation graphique de $f$ et de la somme partielle jusqu'\`a
un l'ordre 5
de sa s\'erie de Fourier  (vous pouvez modifier 5 en un autre
ordre et tester dans la version HTML de ce document)\\
\giacinput{
S(n):=sum(2*(-1)^(k+1)/k*sin(k*x),k,1,n);
plot([x,S(5)],x=-pi..pi,color=[line_width_2,red])
}
Calculons maintenant la s\'erie de Fourier exponentielle de $f$.
L'int\'egration par parties nous donne que 
\[ c_k(f)= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-ik x} x dx= \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{x}{-ik} e^{-ikx}\right]_{-\pi}^\pi+\int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2ik\pi}e^{-ikx}dx\]
\[= \frac{(-1)^k}{-2ik}= \frac{i (-1)^k}{2k}.\]
V\'erification \giacinputmath{assume(k,integer):;fourier_cn(x,x,2*pi,k,-pi)}
La s\'erie des Fourier exponentielle de $f$ est alors la somme infinie
\[S^{\mathbb{C}}(f)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}  \frac{i (-1)^k}{2k} {e^{ikx}}.\]
\item On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur $[-\pi, \pi]$ telle que 
$f(x)=1$ pour $x\geq 0$ et $f(x)=0$ pour $x<0$.
\giacinput{
f(x):=piecewise(x>=0,1,0);
plot(f(x),x=-pi..pi,
 display=line_width_2);
}
 On a que
\[ a_0(f)= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) dx=\frac{1}{2}.\]
Par ailleurs, pour tout $k>0$,
\[a_k(f)= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \cos(kx) f(x)dx= \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \cos(kx)dx\]
\[= \frac{1}{k\pi}[ \sin(kx)]_0^{\pi}=0\] 
et 
\[ b_k(f)= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \sin(kx) f(x)dx= \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin(kx)dx\]
\[= \frac{1}{k\pi}[ -\cos(kx)]_0^{\pi}=\frac{1-(-1)^k}{k\pi}.\]
V\'erification
\giacinputmath{
assume(k,integer):;
f(x):=piecewise(x>=0,1,0):;
fourier_an(f(x),x,2*pi,k,-pi);
fourier_bn(f(x),x,2*pi,k,-pi) ;
}
On note que $(1-(-1)^k)= 2$ si $k$ est impair et $0$ si $k$ est pair. En 
\'ecrivant tout $k$ impair dans la forme $k=2l+1$, on obtient que
la s\'eries de Fourier trigonom\'etrique de $f$ est 
\[ S^{\mathbb{R}}(f)=\frac{1}{2}+ \sum_{l=0}^{+\infty}
\frac{2}{(2l+1)\pi} \sin( (2l+1) x).\]
Repr\'esentation graphique~:\\
\giacinput{
f(x):=piecewise(x>=0,1,0);
S(n):=1/2+sum(2/(2*l+1)/pi*sin((2*l+1)*x),l,0,n);
plot([f(x),S(5)],x=-pi..pi,color=[line_width_2,red])
}
Calculons maintenant la s\'erie de Fourier exponentielle de $f$. Pour $k\neq 0$ on a que
\[ c_k(f)= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi e^{(-ikx)} f(x)dx
= \frac{1}{2\pi}\int_0^\pi e^{(-ikx)} dx\]
\[= \frac{1}{-2ik\pi}[
e^{-(ikx)}]_0^{\pi}=\frac{-1+(-1)^k}{-2ik\pi}.\]
V\'erification
\giacinputmath{
assume(k,integer):;
f(x):=piecewise(x>=0,1,0):;
fourier_cn(f(x),x,2*pi,k,-pi);
}
Comme nous avons d\'ej\`a calcul\'e que $c_0=a_0=\frac{1}{2}$, 
la s\'erie de Fourier exponentielle de $f$ est alors 
\[ S^{\mathbb{C}}(f)=\frac{1}{2} + \sum_{l=-\infty}^\infty \frac{-i}{(2l+1)\pi} e^{i(2l+1) x}.\]
\end{enumerate}


\section{S\'eries en sin et cos.}
La s\'eries de Fourier est une s\'eries qui m\'elange des termes de sin et en cos. Nous montrerons dans cette
section comment modifier cette construction pour obtenir des s\'eries en sin ou en cos approchant une fonction $f$
donn\'ee. Notre point de d\'epart sera la proposition suivante :
\begin{prop}\label{Fourierparie}
Soit $f: [-L, L]\rightarrow \mathbb{R}$ une fonction r\'eelle. Alors 
\begin{enumerate}
\item si $f$ est paire alors $b_k(f)=0$ pour tout $k$.
\item si $f$ est impaire alors $a_k(f)=0$ pour tout $k$.
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{preuve}
On note que pour toute fonction $g$, impaire sur $[-L, L]$, nous avons que 
\[\int_{-L}^L g(x)dx=0.\] Par ailleurs,
\begin{enumerate}
\item 
Le produit d'une fonction impaire et une fonction paire est lui-m\^eme une fonction impaire. 
\item 
Pour tout $k>0$ la fonction $\cos(kx)$ est une fonction paire et la fonction $\sin(kx)$ est une fonction impaire. 
\end{enumerate}
Si la fonction $f:[-L, L]\rightarrow \mathbb{R}$ est une fonction
paire alors pour tout $k$ la fonction 
$f(x) \sin({k \pi x})$ est
une fonction impaire et donc
\[ b_k(f)=\frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)\sin(k \omega x) dx=0\]
Par contre, si la fonction $f:[-L, L]\rightarrow \mathbb{R}$ est une fonction impaire alors pour tout $k$ la fonction $f(x) \cos(k \omega x)$ est
une fonction impaire et donc
\[ a_k(f)=\frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)\sin(k \omega x) dx=0\]
Ceci termine la d\'emonstration de la proposition.
\end{preuve}
Avec cette proposition, nous pourrons construire des sommes de cos 
(resp. de sin) approchant une fonction donn\'ee. 
Notre m\'ethode sera la suivante :
\begin{enumerate}
\item Etant donn\'ee une fonction $f:[0,L]\rightarrow \mathbb{R}$, on construit une 
extension $g$ sur $[-L, L]$ qui
est paire (si on veut construire une s\'eries en cos) ou impaire (si on veut construire une s\'erie en sin.)
\item Nous construisons alors la s\'eries de Fourier de cette nouvelle fonction $g$.
\item Puisque $g$ est paire (resp. impaire) sa s\'eries de Fourier ne contient que des termes en cos (resp. en sin.)
C'est cette s\'erie de Fourier qui sera la s\'erie en cos (resp. en sin) de $f$.
\end{enumerate}

\begin{defn}
Soit $f: [0,L]\rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue par morceaux. On d\'efinit sur $[-L,L]$
les extensions impaire et paire de
$f$ par
\begin{eqnarray*}
 f_{\mbox{paire}}(x)&=& \left\{\begin{array}{l}
f(x)\ \mbox{ si }\ x\geq 0,\\
 f(-x)\ \mbox{ si }\ x<0.
\end{array}\right. \\
 f_{\mbox{impaire}}(x)&=& \left\{\begin{array}{l}
f(x)\ \mbox{ si }\ x> 0,
\\ -f(-x)\ \mbox{ si
}\ x<0,\\ 
0 \ \mbox{ si }\  x=0.
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
\end{defn}
Notons que $f_{\mbox{paire}}$ est paire et $f_{\mbox{impaire}}$ est
impaire par construction. il r\'esulte de 
la proposition \ref{Fourierparie}
que
\begin{itemize}
\item pour tout $k$, $a_k( f_{\mbox{impaire}})=0$
\item pour tout $k$, $b_k( f_{\mbox{paire}})=0$.
\end{itemize}

Nous pouvons maintenant d\'efinir les s\'eries en sin et cos de notre fonction $f$.
\begin{defn}
Soit $f:[0,L]\rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue par morceaux.  
 La s\'erie en sin de $f$ est la s\'erie trigonom\'etrique 
\[S^{\mbox{sin}}(f)=S^{\mathbb{R}}(f_{\mbox{impaire}})=\sum_{k=1}^{\infty} b_k(f_{\mbox{impaire}}) \sin(k \omega x).\] 
La s\'erie en cos de $f$ est la
s\'erie trigonom\'etrique 
\[S^{\mbox{cos}} (f)= S^{\mathbb{R}}(f_{\mbox{paire}})= a_0(f_{\mbox{paire}})+\sum_{k=1}^\infty a_k(f_{\mbox{paire}}) \cos(k \omega x).\]
\end{defn}
{\bf Remarque}\\
Notons que par parit\'e
\[ b_k(f_{\mbox{impaire}})= \frac{1}{L}\int_{-L}^L f_{\mbox{impaire}} (x)\sin (k \omega x)dx=\frac{2}{L} \int_{0}^L f(x) \sin (k \omega x)dx.\]
De m\^eme 
\[a_k(f_{\mbox{paire}})= \frac{1}{L}\int_{-L}^L f_{\mbox{paire}} (x)\cos (k \omega x)dx=\frac{2}{L} \int_{0}^L f(x) \cos (k \omega x)dx.\]
et
\[ a_0(f)=\frac{1}{L} \int_0^L f(x) dx.\]

{\bf Exemple}\\
On consid\`ere la fonction $f(x)=e^{x}$ sur l'intervalle $[0,\pi]$. 
Nous cherchons \`a calculer sa s\'erie en sin. Nous avons que
\[ S^{\mbox{sin}}(f)= \sum_{k=1}^\infty b_k \sin (kx)\]
avec \[b_k=\frac{2}{\pi} \int_0^\pi e^x \sin(kx) dx=\]
\[ =\frac{2}{\pi} \int_0^\pi e^x \frac{e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i} dx=\]
\[= \frac{ 1}{i\pi}\int_0^\pi e^{x(1+ik)}- e^{x(1-ik)}dx\]
\[ =\frac{ 1}{i\pi}\left[\frac{  e^{x(1+ik)}}{1+ik} -\frac{ e^{x(1-ik)}}{1-ik}
\right]_0^\pi\]
\[ =  \frac{ 1}{i\pi}\left[\frac{  (1-ik)e^{x(1+ik)}-(1+ik)e^{x(1-ik)}}{1+k^2}
\right]_0^\pi\]
\[=  \frac{ 1}{i\pi}\left[\frac{e^x(-2ik \cos(kx) +2i \sin(kx))}{1+k^2}
\right]_0^\pi\]
\[= \frac{2k(1-(-1)^ke^\pi)}{(1+k^2)\pi}.\]
V\'erification
\giacinputmath{assume(k,integer):; 2/pi*int(exp(x)*sin(k*x),x,0,pi)}
La s\'erie en sin de $f$ est donc
\[S^{\mbox{sin}}(f)= \sum_{k>0}  \frac{2k(1-(-1)^ke^\pi)}{(1+k^2)\pi}
\sin(kx).\]
Repr\'esentation graphique de $f$ et des sommes partielles d'ordre 5
10 et 20.
\begin{giaconload}
f(x):=exp(x);
assume(k,integer):;
b:=unapply(2/pi*int(f(x)*sin(k*x),x,0,pi),k);
S(n):=sum(b(k)*sin(k*x),k,1,n);
plot([f(x),S(5),S(10),S(20)],x=0..pi,color=[line_width_2,red,blue,green])
\end{giaconload}

\section{Convergence des s\'eries de Fourier.}
Nous avons donc cr\'e\'e, pour chaque fonction $f$ continue par
morceaux 
d\'efinie sur une intervalle $[-L, L]$, une suite de fonctions 
$S^{\mathbb{R}}_n(f)$. Chaque \'el\'ement dans cette suite de fonctions est ``plus proche''  
de la fonction $f$ que celle qui la pr\`ecede. 
Mais pour nous \^etre utile, il faudrait s'assurer que, quitte \`a prendre $n$ tr\`es 
grand, la fonction
$S^{\mathbb{R}}_n(f)$ est aussi proche que l'on veut de la fonction $f$. Cette 
question sera le sujet de ce paragraphe. 

Le th\'eor\`eme suivant,
dont la d\'emonstration depasse le cadre de ce cours, nous assure que si la 
fonction $f$ est continument d\'erivable alors en tout point $x$ la s\'erie de
Fourier converge vers $f$, plus pr\'ecis\'ement~:
\begin{thm}[Dirichlet]
Soit $f:[-L, L]\to\mathbb{C}$ une fonction $C^1$ par morceaux. 
Alors pour tout point $x\in ]-L, L[$ o\`u
$f$ est continue, on a~:
\[ \lim_{n\rightarrow \infty} S^{\mathbb{R}}_n(f)(x)\rightarrow f(x)\]
Pour les valeurs de $x\in ]-L, L[$ o\`u $f$ effectue un saut, on a
convergence de la s\'erie vers la moyenne des limites \`a droite
et \`a gauche~:
\[ \lim_{n\rightarrow \infty} S^{\mathbb{R}}_n(f)(x)= \frac{1}{2}(\lim_{y\rightarrow x^+} f(y)+\lim_{y\rightarrow x^-}f(y)).\] 
Ce r\'esultat s'\'etend aux extr\'emit\'es~:
 \[\lim_{n\rightarrow \infty}S_n^{\mathbb{R}}(f)(-L)=\lim_{n\rightarrow \infty}S_n^{\mathbb{R}}(f)(L)=
\frac{\lim_{x\rightarrow L^-}f(x)+\lim_{x\rightarrow -L^+}f(x)}{2}.\]
En particulier, si $f$ est continue et $C^1$ par morceaux, $S^{\mathbb{R}}_n(f)$ converge 
vers $f$ sur $]-L, L[$.
\end{thm}
Ce r\'esultat est faux si la fonction $f$ n'est pas suppos\'ee
d\'erivable.

{\em Id\'ee de la preuve~}: on se place pour simplifier en un point $x$ o\`u $f$
est continue. On peut supposer que $f(x)=0$ en observant que la
s\'erie de Fourier d'une fonction constante $c$ est $a_0=c,
a_k=b_k=0$. Il s'agit donc de montrer que
$$ \lim_{n\rightarrow \infty}  a_0+\sum_{k=1}^n a_k(f) \cos(k\omega
x)+b_k(f)\sin(k\omega x)= 0$$
ou encore avec les coefficients de Fourier exponentiels~;
$$ \lim_{n\rightarrow \infty}  \sum_{k=-n}^n c_k(f) e^{ik\omega x}= 0$$
ou en rempla\c{c}ant les $c_k$ par leur valeur
$$ \lim_{n\rightarrow \infty}  \sum_{k=-n}^n \left(\int_{-L}^L
f(t)e^{-ik\omega t} \ dt\right) e^{ik\omega x}= 0$$
on peut rentrer $e^{ik\omega x}$ dans l'int\'egrale en $t$, on cherche
donc la limite lorsque $n$ tend vers l'infini de
$$ \sum_{k=-n}^n  \int_{-L}^L f(t)e^{-ik\omega t}  e^{ik\omega x} \ dt = 
 \int_{-L}^L f(t) \sum_{k=-n}^n  e^{ik\omega (x-t)} \ dt
$$
Dans l'intervalle $]-L,L[$, si $x \neq t$ alors $\rho=e^{i \omega (x-t)}
  \neq 1$ donc la $\sum$ dans l'int\'egrale est la somme d'une s\'erie g\'eom\'etrique de
  raison diff\'erente de 1, elle vaut
\begin{eqnarray*}
 \sum_{k=-n}^n  e^{ik\omega (x-t)} &= &\sum_{k=-n}^n \rho^k \\
&=&\rho^{-n} \frac{\rho^{2n+1}-1}{\rho -1} \\
&=& \frac{\rho^{n+1/2}-\rho^{-n-1/2}}{\rho^{1/2}-\rho^{-1/2}} \\
&=&
    \frac{e^{i(n+1/2)\omega(x-t)}-e^{-i(n+1/2)\omega(x-t)}}{e^{i(1/2)\omega(x-t)}-e^{-i(1/2)\omega(x-t)}}\\
&=& \frac{2i\sin((n+1/2)\omega(x-t))}{2i\sin(1/2\omega(x-t))} \\
&=& \frac{\sin((n+1/2)\omega(x-t))}{\sin(1/2\omega(x-t))} 
\end{eqnarray*}
On observe que cette somme vaut $2n+1$ lorsque $x=t$ qui est la limite
de l'expression ci-dessus lorsque $x$ tend vers $t$.
On est donc amen\'e \`a montrer que lorsque $n \rightarrow
\infty$ la limite ci-dessous est nulle~:
$$ \lim_{n\rightarrow \infty} \int_{-L}^L f(t) \frac{\sin((n+\frac{1}{2})\omega(x-t))}{\sin(\frac{1}{2}\omega(x-t))} \ dt =0$$
Et ceci vient d'une mise en forme rigoureuse des observations suivantes:
\begin{itemize}
\item lorsque $t$ est proche de $x$, $f(t)$ tend vers 0 (on a
 vu qu'on pouvait supposer $f(x)=0$) (c'est un $O(x-t)$)
\item ``ailleurs'' $F_x(t)=f(t)/\sin(\frac{1}{2}\omega(x-t)$ est $C^1$ par
  morceaux, on peut int\'egrer par parties et faire apparaitre un 
facteur $1/(n+\frac{1}{2})$ qui tend vers 0 lorsque $n$ tend vers l'infini
$$ \int F_x(t) \sin((n+\frac{1}{2})\omega(x-t)) \ dt
= [F_x(t) \frac{\cos((n+\frac{1}{2})\omega(x-t))}{-(n+\frac{1}{2})\omega}]
-\int \frac{dF_x(t)}{dt} \frac{\cos((n+\frac{1}{2})\omega(x-t))}{-(n+\frac{1}{2})\omega}
\ dt 
$$
\end{itemize}

Il y a une autre forme de convergence qui nous sera utile, qui dit
que la distance de  $S^{\mathbb{R}}_n(f)$ \`a $f$ tend vers 0
\begin{thm}[Th\'eor\`eme de Parseval.]
Soit $f$ une fonction r\'eelle continue par morceaux sur une intervalle 
$[-L,L]$. Soit $d_n$ la distance de $f$ \`a la somme partielle d'ordre
$n$ de sa s\'erie de Fourier~:
\[ d_n= d(f, S^{\mathbb{R}}_n(f))=\sqrt{\int_{-L}^L (f-S^{\mathbb{R}}_n(f))^2dx}\]
entre $f$ et $S_n^{\mathbb{R}}(f)$. Alors 
$d_n\rightarrow 0$ quand $n\rightarrow \infty$.
\end{thm}
\`A nouveau, la d\'emonstration de ce th\'eor\`eme depasse le cadre de
ce cours~: on montre que le r\'esultat est vrai lorsque
$f$ est assez r\'eguli\`ere en appliquant Dirichlet
puis on fait un raisonnement ``par
densit\'e'', en approchant pour le produit scalaire une fonction continue par morceaux par une
fonction r\'eguli\`ere.
 
En appliquant le fait que la somme partielle de la s\'erie de Fourier est
une projection orthogonale de $f$ pour la norme 
$\| g\|^2=\int_{-L}^L g(t)^2 \ dt$
et en appliquant l'in\'egalit\'e triangulaire, on a
\[ 0 \leq \| f\| -\| S^{\mathbb{R}}_n(f)\|\leq d_n \quad 
\Rightarrow \quad \| S^{\mathbb{R}}_n(f)\| \rightarrow \| f\| \]
Comme $S^{\mathbb{R}}_n(f)$ s'exprime en fonction de
$(1,\cos(\omega x),\sin(\omega x),...)$ qui sont orthogonales pour le
produit scalaire, on peut appliquer le th\'eor\`eme de Pythagore \`a
$$ S^{\mathbb{R}}_n(f)=a_0+a_1 \cos(\omega x)+...+a_n\cos(n\omega x)
+b_1\sin(\omega x)+...+b_n\sin(n\omega x)
$$ et on obtient
$$
\| S^{\mathbb{R}}_n(f) \|^2
= a_0^2 \|1\|^2+a_1^2 \|\cos(\omega x)\|^2
+...+a_n^2 \| \cos(n\omega x)\|^2
+b_1^2 \|\sin(\omega x)\|^2
+...+b_n^2 \| \sin(n\omega x)\|^2
$$
En appliquant la d\'efinition de la norme au carr\'e
$$ \| f\|^2=\int_{-L}^L f^2(x) \ dx$$
et en observant que
cosinus et sinus au carr\'e ont une moyenne de 1/2 sur une p\'eriode,
on en d\'eduit~:
\begin{coro}[Egalit\'e de Parseval]
Soit $f$ une fonction r\'eelle continue par morceaux sur une intervalle $[-L,L]$. Alors
\[ \lim_{n\rightarrow \infty} \| S_n^{\mathbb{R}}(f)\|=
 \lim_{n\rightarrow \infty} (2L a_0^2+\sum_{k=1}^n L( a_k^2+b_k^2))= \int_{-L}^L f(x)^2 dx.\]
Autrement dit, \[ 2L a_0^2+\sum_{k\geq 1} L( a_k^2+b_k^2)= \int_{-L}^L f(x)^2 dx.\]
\end{coro}

{\bf Exemple}\\
 Consid\'erons $f(x)= x$ sur $[-\pi, \pi]$. On a vu que pour cette fonction $a_k=0$ pour tout $k$ et $b_k= \frac{2 (-1)^k}{k}$. 
Par ailleurs \[\int_{-\pi}^\pi x^2 dx= \frac{2 \pi^3}{3}.\] Il en suit que 
\[ \pi \sum_{k= 1}^\infty \frac{4}{k^2}= \frac{2 \pi^3}{3}\]
et donc 
\[ \sum_{k= 1}^\infty \frac{1}{k^2}= \frac{\pi^2}{6}.\]

\begin{coro}\label{egcoeffs}
Soient $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ deux fonctions r\'eelles
continues par morceaux et d\'efinies
sur $[-L, L]$. Si $a_n(f)=a_n(g)$ et $b_n(f)= b_n(g)$ pour tout $n$ 
alors pour tout
point $x$ o\`u $f$ et $g$ sont toutes les deux continues $f(x)=g(x)$.
\end{coro}

\begin{preuve}
L'\'{e}galit\'{e} de Parseval implique que si 
$a_n(f)=a_n(g)$ et $b_n(f)= b_n(g)$ pour tout $n$
alors  $$\int_{-L}^L\vert f(x)-g(x)\vert^2 \mbox{d}x=0.$$
Ceci n'est possible que si $f(x)=g(x)$ en tout point $x$ o\`u $f$ et $g$ sont
continues.
\end{preuve}

\section{Solutions d'\'equations aux d\'eriv\'ees partielles.}
Dans cette section, nous serons amen\'es \`a faire quelques manipulations dont 
nous ne pourrons pas donner une justification compl\`ete.
\subsection{L'\'equation de la chaleur.} 
On rappelle qu'il s'agit de d\'eterminer l'\'evolution au cours du
temps de la temp\'erature $T(x,t)$ d'une barre de longueur $L$
($x\in[0,L]$), isol\'ee \`a ses deux extr\'emit\'es.
On cherche donc une fonction $C^\infty$ 
\[T: (x,t) \in [0,L]\times \mathbb{R}^+\rightarrow T(x,t) \in \mathbb{R}\]
telle que
$$\frac{\partial T}{\partial t}=D\frac{\partial^2 T}{\partial x^2},x\in [0,L],t>0$$
avec les conditions aux bords en tout temps 
$$\frac{\partial T}{\partial x}(0,t)= \frac{\partial T}{\partial x}(L,t)=0$$
et la condition initiale \`a l'instant $t=0$,
$$T(x,0)=\varphi(x)\ \mbox{ pour tout }\ x\in [0,L]$$
Remarquons que puisque nous cherchons une solution $T$ qui est $C^\infty$, la condition initiale
$\varphi$ doit aussi \^etre $C^\infty$ sur $[0,L]$.

On va simplifier le probl\`eme en cherchant la s\'erie de Fourier de
$T$, ce qui transformera les d\'eriv\'ees en $x$ par des
multiplications par $k\omega$. 
Plus pr\'ecis\'ement on remplace $\varphi(.)$ et
$T(.,t)$ par leur s\'erie en cos sur $[0,L]$, ce qui permettra de satisfaire \`a la
condition d'isolation au bord puisque la d\'eriv\'ee du cos est un sin qui
s'annule aux bords.
Posons donc~:
$$ T(x,t)= \sum_{k\geq 0} a_k(t) \cos(k\omega x), \quad \omega=\frac{\pi}{L}$$
On remplace dans l'\'equation aux d\'eriv\'ees partielles
$$ \frac{\partial }{\partial t}\left(\sum_{k\geq 0} a_k(t) 
\cos(k\omega  x)\right) 
= D \frac{\partial^2 }{\partial x^2} \left(\sum_{k\geq 0} a_k(t) 
\cos(k\omega  x)\right) $$
On admet qu'on peut intervertir la d\'erivation partielle avec la
somme, on obtient donc 
$$ \left(\sum_{k\geq 0}  \frac{\partial }{\partial t} (a_k(t)) 
\cos(k\omega  x)\right) 
= D \left(\sum_{k\geq 0} a_k(t) 
\frac{\partial^2 }{\partial x^2}  \cos(k\omega  x)\right) $$
soit 
$$ \left(\sum_{k\geq 0}  a_k'(t) 
\cos(k\omega  x)\right) 
= D \left(\sum_{k\geq 0} a_k(t) 
(-k^2\omega^2) \cos(k\omega  x)\right) $$
Deux fonctions r\'eguli\`eres ayant le m\^eme d\'eveloppement
en s\'eries de Fourier sont \'egales, donc
$$ a_k'(t)=-Dk^2\omega^2 a_k(t)$$
\'equation diff\'erentielle ordinaire dont la solution est
$$ a_k(t) =e^{-Dk^2\omega^2 t} a_k(0)$$ 

\`A l'instant $t=0$, on a
$$ \varphi(x)=T(x,0)=\sum_{k\geq 0} a_k(0) \cos(k\omega x)$$
donc les $a_k(0)$ sont les coefficients de la s\'erie en cos de la
condition initiale. D'o\`u le~:
% Nous allons montrer le th\'{e}or\`{e}me suivant:
\begin{thm}
L'\'{e}quation de la chaleur 
$$\frac{\partial T}{\partial t}=D\frac{\partial^2 T}{\partial x^2},
\quad x\in [0,L],t\geq 0$$
admet une unique solution $C^\infty$ v\'erifiant les conditions aux bords
$$\frac{\partial T}{\partial x}(0,t)=\frac{\partial T}{\partial x}(L,t)=0$$
et la condition initiale \`a l'instant $t=0$
$$T(x,0)=\varphi(x)\ \quad  x\in [0,L]$$
o\`u $\varphi$ est une fonction $C^\infty$ sur $[0,L]$
telle que $\varphi'(0)=\varphi'(L)=0$.

Si les $a_k$  sont les coefficients de la s\'erie en cos de $\varphi$,
on a~:
$$T(x,t)=a_0+\sum_{k= 1}^{\infty}a_k\cos\left(k\omega
  x\right)e^{-k^2 \omega^2 D t} $$
avec 
$$\omega=\frac{\pi}{L}, \quad a_0=  \frac{1}{L}\int_0^L \varphi(x) \, dx, \quad 
a_k=\frac{2}{L}\int_0^L\varphi(x)\cos\left(k\omega x\right) \,
dx \ (k>0) $$
\end{thm}

%\begin{preuve}
{\bf Remarque}~:
La d\'emonstration que la fonction $T$ est bien d\'efinie et
$C^\infty$ depasse 
le cadre de ce cours. La
  r\'egularit\'e d'une fonction p\'eriodique
peut se lire sur la d\'ecroissance de ses coefficients de Fourier
$a_k$ et $b_k$ lorsque $k$ tend vers l'infini. Si $f$ est
r\'eguli\`ere, on peut int\'egrer par parties dans le calcul
de $a_k$ et $b_k$ et faire apparaitre autant de puissances de $k$
n\'egatives que l'on veut, $a_k$ et $b_k$ tendent vers 0 plus vite
que n'importe quelle puissance n\'egative de $k$. R\'eciproquement, les
puissances de $k$ qui apparaissent quand on d\'erive sous le signe
somme ne g\`eneront pas la convergence de la s\'erie.
On peut d'ailleurs observer qu'il suffit de prendre la condition
 initiale $C^2$ en $x$ pour obtenir une solution $C^\infty$ en tout
 instant non nul gr\^ace \`a l'exponentielle qui d\'ecroit plus vite
 que toute puissance n\'egative de $k$ (l'\'equation de la chaleur
r\'egularise la solution pour $t>0$).

% Montrons que $T$ satisfait la condition initiale. 
% Puisque $\varphi$ est $C^1$, et $\varphi'(0)=\varphi'(L)=0$, son extension paire,
% $\varphi_{\mbox{paire}}$, est $C^1$. Par le th\'eor\`eme de Dirichlet
% nous avons sur $[-L, L]$
% \[ \varphi_{\mbox{paire}} (x) = a_0+\sum_{k=1}^{\infty}
% a_k \cos(k \omega x).\]
% et en particulier  pour tout $x\in [0,L]$
% \[ \varphi(x) = a_0+\sum_{k=1}^{\infty}
% a_k \cos(k \omega x).\]
% o\`u 
% $a_0= \frac{1}{L}\int_{0}^L \varphi(x)dx$ et pour tout $k>0$ on a que
% $ a_k=\frac{2}{L}\int_0^L\varphi(x)\cos\left(\frac{k\pi}{L}x\right) \,\mbox{d}x$.\\ \\
% Autrement dit, le th\'eor\`eme de Dirichlet nous dit que
% $\varphi$ est \'egale \`a la somme (infinie) de sa s\'erie en cos. \\ \\
% Par analogie avec le cas o\`u $\varphi$ est \'egale \`a une somme finie de cosinus, nous allons poser
% $$T(x,t)=a_0+\sum_{k= 1}^{\infty}a_k\cos\left(\frac{k\pi}{L}x\right)e^{-\frac{\pi^2 k^2D}{L^2}t},$$ et v\'{e}rifier que $T$ est solution de l'\'equation de
% la chaleur.
% Pour tout $x\in[0,L]$, on a \[T(x,0)=a_0+\sum_{k= 1}^{\infty}a_k
% \cos\left(\frac{k\pi}{L}x\right)=\varphi(x).\] et la condition initiale est donc v\'erifi\'ee. 
% De plus, $\frac{\partial T}{\partial x}(0,t)=\frac{\partial T}{\partial x}(L,t)=0$
% d'apr\`{e}s les propri\'{e}t\'{e}s du cosinus : les conditions aux bords sont donc v\'erif\'ees.\\ \\
% Reste \`a \'etablir que $T$ satisfait  $\frac{\partial T}{\partial t} =
% -D\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$. Posons \[u_k(x,t)=a_k\cos(\frac{k\pi}{L}x)e^{-\frac{\pi^2 k^2D}{L^2}t},\] 
% de telle fa\c con que $T(x,t)= a_0+\sum_k u_k(x,t)$
% On a $T$ qui est une somme infinie de fonctions
% \[ T(x,t)=\sum_{k=1}^\infty u_k(x,t)\]
% On peut sous certaines conditions intervertir la d\'erivation et le
% signe $\sum$ (ceci est math\'ematiquement assez d\'elicat \`a justifier), de sorte que~:
% \[ \frac{\partial T}{\partial x} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\partial u_k}{\partial x}\]
% et
% \[ \frac{\partial T}{\partial t} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\partial u_k}{\partial t}\]
% On admettra qu'on peut ici le faire.
% Alors
% \[ \frac{\partial T}{\partial t} =
% \sum_{k\geq 1}a_k\frac{\partial }{\partial t}\left(\cos(\frac{k\pi}{L}x)e^{-\frac{\pi^2 k^2D}{L^2}t}\right)\]
% \[= \sum_{k\geq 1}-D \frac{\pi^2 k^2}{L^2}
% a_k\left(\cos(\frac{k\pi}{L}x)e^{\frac{-\pi^2 k^2D}{L^2}t}\right).\]
% Mais on a aussi
% \[
%  \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} =
% \sum_{k\geq 1}a_k\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\left(\cos(\frac{k\pi}{L}x)e^{-\frac{
% \pi^2 k^2D}{L^2}t}\right)\]
% \[= \sum_{k\geq 1} -\frac{\pi^2 k^2}{L^2}
% a_k\left(\cos(\frac{k\pi}{L}x)e^{-\frac{\pi^2 k^2D}{L^2}t}\right).\]
% On a donc bien
% \[ \frac{\partial T}{\partial t} = 
% D\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}\]
% et la fonction donn\'ee est donc une solution de notre \'equation.\\ \\
% Montrons maintenant que cette solution est unique. Pour cela, supposons que
% l'on ait deux solutions du probl\`{e}me, disons $T_1$ et $T_2$, et posons
% $u=T_1-T_2$. Il est facile de v\'{e}rifier que l'on a (lin\'earit\'e)~:
% $$\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},x\in [0,L],t\in\mathbb{R}^+,$$
% et que $$\frac{\partial u}{\partial x}(0,t)=\frac{\partial u}{\partial
%   x}(L,t)=u(x,0)=0
% \ \mbox{ pour tout }\ x\in [0,L],t\in\mathbb{R}^+.$$


% Consid\'erons la fonction $J(t)=\frac{1}{2D}\int_0^L u(x,t)^2dx$. 
% On a (modulo la justification de la d\'{e}rivation sous l'int\'{e}grale) $$J'(t)=\frac{1}{D}\int_0^L u(x,t)\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} \,\mbox{d}x=\int_0^L u(x,t)\frac{\partial^2 u(x,t)}
% {\partial x^2} \,\mbox{d}x.$$
% En int\'{e}grant par parties, il vient, en tenant compte des conditions aux bords,
% $$J'(t)=-\int_0^L \left(\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right)^2 \,\mbox{d}x.$$
% On a donc $J'(t)\leq 0$ pour tout $t\geq 0$. Ainsi $J$ est
% d\'{e}croissante, et on a 
% $$J(t)\leq J(0) \ \mbox{ pour tout }\ t\geq 0.$$
% Or on a $$J(0)=\frac{1}{2D}\int_0^L u(x,0)^2 \,\mbox{d}x=0,$$
% d'apr\`{e}s les conditions au bord v\'{e}rifi\'{e}es par $u$.
% Ainsi, $J(t)\leq 0$ pour tout $t\geq 0$. Mais $J$ est l'int\'{e}grale d'une fonction positive ou nulle, et donc on a aussi $J(t)\geq 0$ pour tout $t\geq 0$.
% On en d\'{e}duit que $J=0$, et donc $u(x,t)=0$ pour tout $t> 0$ et tout $x\in [0,L]$. Comme on a aussi $u(x,0)=0$ pour tout $x\in [0,L]$, $u$ est identiquement nulle, c'est-\`{a}-dire $T_1=T_2$.


\subsection{L'\'equation des ondes.}
On rappelle que l'on cherche une fonction \[T: [0,L]\times \mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}\] 
telle que
$$\frac{\partial^2 T}{\partial t^2}=D\frac{\partial^2 T}{\partial x^2},x\in [0,L],t>0$$
avec les conditions aux bords $$T(0,t)= T(L,t)=0$$
et les conditions initiales,
$$T(x,0)=\varphi(x)\ \mbox{ pour tout }\ x\in [0,L],t=0.$$
$$\frac{\partial T}{\partial t}(x,0)=0\ \mbox{ pour tout }\ x\in [0,L],t=0.$$

Remarquons que puisque la solution $T$ est $C^\infty$ , la condition
initiale $\varphi$ doit aussi \^etre $C^\infty$ sur $[0,L]$.

Nous allons montrer le th\'{e}or\`{e}me suivant:

\begin{thm}
Soit $\varphi:[0,L]\to\mathbb{R}$ une fonction $C^\infty$ sur $[0,L]$
telle que $\varphi(0)=\varphi(L)=0$.
Alors l'\'{e}quation des ondes $$\frac{\partial T^2}{\partial t^2}=D\frac{\partial^2 T}{\partial x^2},x\in [0,L],t\geq 00$$
admet une unique solution $C^\infty$ \[T:[0,L]\times \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}\] v\'erifiant les
conditions aux bords
$$T(0,t)=T(L,t)=0$$
et les conditions initiales,
$$T(x,0)=\varphi(x)\ \mbox{ pour tout }\ x\in [0,L],t=0.$$
$$\frac{\partial T}{\partial t}(x,0)=0\ \mbox{ pour tout }\ x\in [0,L],t=0.$$
Cette solution
est donn\'{e}e par la formule
$$T(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty}b_k\sin\left(k\omega x\right)\cos\left(k\sqrt{D}\omega t\right),$$
o\`{u} pour tout $k>0$ on a que $ b_k=\frac{2}{L}\int_0^L\varphi(x)\sin\left(k\omega x\right) \,\mbox{d}x.$
\end{thm}

Puisque $\varphi$ est $C^1$, et $\varphi(0)=\varphi(L)=0$, son extension impaire,
$\varphi_{\mbox{impaire}}$ est $C^1$. Par le th\'eor\`eme de Dirichelet il suit que
sur $[-L, L]$ nous avons que
\[ \varphi_{\mbox{impaire}} (x) = \sum_{k=1}^{\infty}
b_k(\varphi_{\mbox{impaire}}) \sin(k \omega x).\]
et en particulier  pour tout $x\in [0,L]$
\[ \varphi(x) = \sum_{k=1}^{\infty}
b_k \sin(k \omega x).\]
 o\`u $b_k=\frac{2}{L}\int_0^L\varphi(x)\sin(k\omega x) \,\mbox{d}x$.\\ \\
Autrement dit, le th\'eor\`eme de Dirichelet nous dit dans ce cas que
$\varphi$ est \'egale \`a la somme (infinie) de sa s\'erie en sin. \\ \\
Par analogie avec le cas ou $\varphi$ est donn\'ee par une somme finie de sinus, nous allons poser
$$T(x,t)=\sum_{k\geq 1}b_k\sin\left(k\omega x\right)\cos\left(k \omega \sqrt{D}t\right),$$ et v\'{e}rifier que $T$ est solution de l'\'equation des ondes.
Pour tout $x\in[0,L]$, on a $$T(x,0)=\sum_{k\geq 1}b_k
\sin(k\omega x)=\varphi(x)$$
et la premi\`ere condition initiale est donc v\'erifi\'ee. De plus, $T(0,t)=T(L,T)=0$
d'apr\`{e}s les propri\'{e}t\'{e}s du sinus : les conditions aux bords sont donc v\'erifi\'ees.\\ \\
Posons \[u_k(x,t)=b_k\sin(k\omega x)\cos(k \omega \sqrt{D}t),\] de telle fa\c con
que $T(x,t)=\sum_k u_k(x,t)$.
Comme pour l'\'equation de la chaleur\footnote{Mais contrairement \`a
  l'\'equation de la chaleur, on a un facteur en cosinus qui oscille
au lieu d'une exponentielle d\'ecroissante, il n'y a donc pas de
r\'egularisation en temps $t>0$ pour une condition initiale
\'eventuellement non r\'eguli\`ere}, on admettra qu'on peut
intervertir la d\'erivation et le signe $\sum$, i.e. en posant
\[ T(x,t)=\sum_{k} u_k(x,t)\]
on a bien que
\[ \frac{\partial T}{\partial x} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\partial u_k}{\partial x}\]
et
\[ \frac{\partial T}{\partial t} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\partial u_k}{\partial t}\]
V\'erifions maintenant la deuxi\`eme condition initiale. Puisque pour tout $k$,
$\frac{\partial u_k}{\partial t}(x,0)=0$, il suit que $ \frac{\partial T}{\partial t} (x,0)=0$ pour tout $x\in [0,L]$.\\ \\
Il reste \`a v\'erifier que $T$ satisfait l'\'equation $\frac{\partial^2 T}{\partial t^2} =
D\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$. On a que 
\[ \frac{\partial^2 T}{\partial t^2} =
\sum_{k\geq 1}b_k\frac{\partial^2 }{\partial t^2}\left(\sin(k\omega x)\cos(k \omega \sqrt{D}t)\right)\]
\[= \sum_{k\geq 1}-D \omega^2 k^2
b_k\left(\sin(k\omega x)\cos(k \omega \sqrt{D}t)\right).\]
Mais on a aussi
\[
 \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} =
\sum_{k\geq 1}b_k\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\left(\sin(k\omega x)\cos(\omega k\sqrt{D} t\right)\]
\[= \sum_{k\geq 1} -\omega^2 k^2
b_k\left(\sin(k\omega x)\cos(k \omega \sqrt{D}t)\right).\]
On a donc bien
\[ \frac{\partial^2 T}{\partial t^2} =
D\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}\]
et la fonction donn\'ee est donc une solution de notre \'equation.\\ \\
Montrons maintenant que cette solution est unique. Pour cela, supposons que
l'on ait deux solutions $C^\infty$ du probl\`{e}me, disons $T_1$ et $T_2$, et posons
$u=T_1-T_2$. Il est facile de v\'{e}rifier que l'on a
$$\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},x\in [0,L],t\in\mathbb{R}^+,$$
et que $$u(0,t)=u(L,t)=u(x,0)=0\mbox{ pour tout }x\in [0,L],t\in\mathbb{R}^+.$$


Consid\'erons la fonction 
$$b_k(t)=\frac{1}{2D}\int_0^L u(x,t) \sin(
k \omega x)  \,\mbox{d}x$$ 
Autrement dit, $b_k(t)$ est le $k$-i\`eme coefficient dans la s\'erie
en sin de la fonction $x\rightarrow u(x,t)$. 
Par le corollaire \ref{egcoeffs} il suffira de montrer que $b_k(t)$  est nul pour tout $t$.
Par les conditions initiales on a que
\[ b_k(0)= b_k,\; \frac{\partial b_k}{\partial t}(0)=\int_0^L \frac{\partial u_k(x,0)}{\partial t}
\sin(k \omega x) \,\mbox{d}x=0\]
Calculons 
\[ b''_k(t)= \int_0^L \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}\sin(
k \omega x) \,\mbox{d}x\]
\[= D \int_0^L \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}\sin(
k \omega x) \,\mbox{d}x=0\]
ce qui est \'egal, apr\`es une double int\'egration par parties et en utilisant les
conditions aux bords, \`a
\[ -\frac{Dk^2\pi^2}{L^2} \int_0^L \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}\sin(
k \omega x) \,\mbox{d}x=-Dk^2\omega^2 b_k(t).\]
Autrement dit,
\[ b''_k(t)=-Dk^2\omega^2 b_k(t).\]
Mais la seule solution $C^\infty$ de cette fonction telle que $b_k(0)= b_k'(0)=0$ est la fonction nulle. On a donc $b_k(t)=0$ pour
tout $k$ et tout $t$, ce qui donne bien que $u(x,t)=0$ pour tout
$x,t$.  

\subsection{Vers la m\'ecanique quantique}
L'\'equation de Schr\"odinger d'inconnue une fonction $\phi(x,t)$
d\'ependant de la position et du temps \`a valeurs dans $\mathbb{C}$
$$ \left(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} +V(x)\right) \phi(x,t)
= i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \phi(x,t)  $$
 peut dans certains cas subir un traitement analogue, lorsque l'op\'erateur
de Schr\"odinger admet une base orthonorm\'ee infinie de vecteurs
propres $(\psi_k)_{k\geq 0}$
pour le produit
scalaire $\langle f|g \rangle=\int \overline{f(x)} g(x) \, dx$:
$$ \left(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2}
  +V(x)\right) \psi_n=E_n \psi_n $$
C'est l'extension sur des $\mathbb{C}$-espaces vectoriels en
dimension infinie
de ce qui se passe pour une forme quadratique r\'eelle, ici pour la forme sesquilin\'eaire
$$ \Phi(f,g)=
= \int \overline{f(x)} \left(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial
    x^2} +V(x)\right)  g(x) \, dx
$$
On remplace les fonctions trigonom\'etriques de l'\'equation de la
chaleur par les fonctions propres $\psi_k$,
la solution de l'\'equation de Schr\"odinger est alors donn\'ee par~:
$$ \phi(x,t)=\sum_{k \geq 0} a_k e^{-i \frac{E_n t}{\hbar}} \psi_k(x) , \quad \phi(x,0)=
\sum_{k \geq 0} a_k \psi_k(x), \quad a_k=\langle \psi_k(x) |\phi(x,0)\rangle$$


\section{La transform\'ee de Fourier.}
La s\'erie de Fourier que nous avons \'etudi\'e ci-dessus s'adapte bien
pour des fonctions d\'efinies sur une intervalle, c'est \`a dire, \`a des
ph\'enom\`enes de physique born\'ees. Or, en physique, il nous arrive souvent
de vouloir analyser une fonction qui n'est pas a priori born\'ee dans le temps 
ou l'espace. Ceci nous inspire la question suivante :
\\ 
\centerline{\bf  Que pourrait \^etre la s\'erie de Fourier d'une fonction sur 
$\mathbb{R}$ ?}
\\ 
Soit $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ une fonction : pour plus de simplicit\'e, nous 
ferons l'hypoth\`ese que l'int\'egrale $\int_{\mathbb{R}} |f(x)| dx$ a une valeur finie. 
Nous allons essayer de trouver une analogue de la s\'erie de Fourier pour $f$ 
en regardant ce qui se passe 
quand on prend, pour $L$ de plus en plus grand, la s\'erie de Fourier de
la fonction restreinte $f_L: [-L,L]\rightarrow \mathbb{R}$ donn\'ee par 
\[ f_L(x)=f(x) \forall x\in[-L,L].\]
Il convient d'utiliser la s\'erie de Fourier exponentielle, pour ne
pas avoir \`a consid\'erer 
s\'epar\'ement les termes en cosinus et 
en sinus.\\ \\
Le coefficient de $e^{i\lambda x}$ dans la s\'erie de Fourier exponentielle de $f_L$\footnote{On fait ici l'hypoth\`ese que
le r\'eel ${L \lambda/\pi}$ est un entier, et donc il existe une terme $e^{i\lambda x}$ dans la s\'erie de Fourier de $f$}
est donn\'ee par $c_k$ ou $k= \frac{ L \lambda}{\pi}$. Autrement dit, le coefficient de $e^{i\lambda x}$ dans la s\'erie de Fourier de $f_L$ est
\[\frac{1}{2L} \int_{-L}^L f(x) e^{-i\lambda x}dx.\]
Appelons cette valeur $c_L(\lambda)$. Que se passe-t-il pour des valeurs de 
$L$ de plus en plus grande ?
Notre premier instinct pourrait \^etre de consid\'erer le comportement de 
$c_L(\lambda)$ quand  $L \rightarrow \infty$
mais ce n'est pas tr\`es int\'eressant : il converge toujours vers
$0$. 
Comment contourner cette difficult\'e pour arriver \`a une 
limite int\'eressante ?
\\ \\
{\bf Observation cl\'e.} Lorsque nous essayons de 
construire une ``s\'erie de Fourier'' pour une fonction sur $\mathbb{R}$, a priori toutes les fonctions de la forme 
\[ e^{i\lambda x}\]
peuvent y appara\^itre, puisqu'il n'y a plus de conditions aux bords qui 
pourraient restreindre les valeurs possibles de $\lambda$.
Notre  ``s\'eries de Fourier'' devraient donc \^etre une ``somme'' 
d'\'el\'ements de la forme 
\[ c(\lambda) e^{i\lambda x}\]
index\'e sur {\bf tous} les nombre r\'eels $\lambda$ : je mets 
le mot somme en guillemets, car c'est math\'ematiquement 
impossible de faire une somme sur tous les nombres r\'eels. En 
math\'ematiques, qu'est ce qui  joue le r\^ole de ``somme'' sur les 
nombres r\'eels ? C'est l'int\'egrale. 
On s'attend donc \`a ce que la ``s\'erie de Fourier'' d'une fonction
$f$ sur 
$\mathbb{R}$ soit une expression {\bf int\'egrale}
pour $f$ de la forme
\[ f(x)= \int_{\mathbb{R}} c(\lambda) e^{i\lambda x}.\]
On veut comprendre ce qui devrait \^etre la fonction 
$c(\lambda)$ qui va jouer le r\^ole des coefficients de Fourier $c_k(f)$. 
Ce raisonnement heuristique nous sugg\`ere l'id\'ee suivante :\\ \\
{\it Si on veut consid\'erer les limites quand $L\rightarrow \infty$ de la s\'erie de Fourier de la fonction $f_L$, il faudrait commencer par \'ecrire cette s\'erie
comme une int\'egrale.}\\ \\
Rappelons que 
\[ S_{\mathbb{C}}(f_L)= \sum_{k=-\infty}^\infty c_{k}
e^{ik \pi x/L}\]
que j'\'ecris comme une int\'egrale de la fa\c con suivante 
\[ S_{\mathbb{C}}= \sum _{k=-\infty}^\infty \frac{L}{\pi} \int_{k\pi/L}^{(k+1)\pi/L} c_{k} 
e^{i k \pi x/L} d\lambda.\]
Ici, j'ai \'ecrit la terme $c_k e^{i k \pi x/L}$ comme l'int\'egrale par rapport \`a une variable $\lambda$
d'une constante sur une intervalle de longeur $\frac{\pi}{L}$.
Appliquant la r\'elation de Chasles \`a cette somme
d'int\'egrales, j'obtiens 
\[ S_{\mathbb{C}}(f)(x)=\int_{\mathbb{R}} \frac{L}{\pi} c_L(\lambda) e_L(\lambda,x) d\lambda\]
ou ici, $c_L(\lambda)$ est la fonction en escalier telle que pour tout $\lambda
\in  \left[k\omega , \frac{(k+1)\pi}{L}\right]$
\[ c_L(\lambda)= \int_{-L}^L e^{-ik\pi x/ L}f(x) dx\]
et $e_L(\lambda ,x)$ est la fonction en escalier  telle que pour tout 
$\lambda
\in  \left[k\omega , \frac{(k+1)\pi}{L}\right]$
\[ e_L(\lambda,x)= e^{\frac{k\pi i x}{L}} \]
Que se passe-t-il dans cette expression quand $L\rightarrow \infty$,
pour $x$ et $\lambda$ fixes ?   
Les intervalles $[k\omega ,\frac{(k+1)\pi}{L}[$ sont alors de plus
en plus petit, et si $\lambda \in [k\omega ,\frac{(k+1)\pi}{L}[$ 
alors $\lambda \sim k\omega $.  Quand $L\rightarrow \infty$
\begin{enumerate}
\item la fonction $e_L(\lambda, x)$ est approch\'ee par la fonction 
$e^{i\lambda x}$
\item la fonction $c_L(\lambda)$ est approch\'ee par la fonction 
$c(\lambda)= \int_{\mathbb{R}} e^{-i\lambda x}f(x) dx$.
\end{enumerate} 
Ces consid\'erations inspirent la d\'efinition suivante. 
\begin{defn}
Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ telle que 
$\int_{-\infty}^\infty |f(x)|dx$ est finie. Alors on d\'efinit
la transform\'ee de Fourier de $f$, $\hat{f}(\lambda)$ 
par\footnote{Nous avons choisi ici de supprimer la terme $\frac{1}{2\pi}$ conform\'ement
aux conventions habituellement utilis\'ees en physique.}
\[ \hat{f}: \lambda \rightarrow \int_{-\infty}^\infty e^{-i\lambda x} f(x)dx.\]
\end{defn}

{\bf Exemples}
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction d\'efinie par $f(x)=1$ si $x\in [a,b]$; $f=0$ sinon. Alors
\[ \hat{f}(\lambda)=\int_a^b e^{-i\lambda x}dx = \frac{e^{ib\lambda}- e^{ia \lambda}}{\lambda}\]
\item Soit $f$ la fonction d\'efinie par $f(e)= e^{-x}$ si $x\geq 0$ et $f(x)=0$ sinon. Alors
\[ \hat{f}(\lambda)=\int_0^\infty e^{-i\lambda x} e^{-x}dx=\frac{1}{1+i\lambda}.\]
\end{enumerate}
{\bf Premi\`ere propri\'et\'es des transform\'ees de Fourier.}
\begin{lem}
Soient $f,g$ deux fonctions de $\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$ telles que $\int_{\mathbb{R}} |f(x)| dx$ et $\int_{\mathbb{R}} |g(x)|dx$ soient finies.
Alors pour tout scalaire $a$ nous avons que 
\[\widehat{f+ag}= \hat{f}+a \hat{g}.\]
\end{lem}
Ce lemme est une cons\'equence imm\'ediate de la lin\'earit\'e de l'int\'egrale.
\begin{lem}
Soit $f$ une fonction de $\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$ telle que $\int_{\mathbb{R}} |f(x)| dx$ et $\int_{\mathbb{R}} |  \frac{\partial f} {\partial x}| dx$ soient finies.
On suppose en plus que \[\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)= \lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=0.\]
Alors
\[\widehat{ \frac{\partial f}{\partial x}}= i\lambda \hat{f}(\lambda).\]
\end{lem}
{\bf D\'emonstration.}
\\ \\
Par d\'efinition 
\[ \widehat{ \frac{\partial f}{\partial x}}(\lambda)= \lim_{L\rightarrow \infty}
\int_{-L}^L f'(x) e^{-i\lambda x}dx.\]
En faisant une IPP sur cette expression on obtient
\[  \frac{1}{2\pi}\left([f(x) e^{-i\lambda x}]_{-L}^L + 
\int_{-L}^L f(x) (i\lambda) e^{-i\lambda x}dx\right)\]
ce qui compte tenu de l'hypoth\`ese $\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)= \lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=0$ nous donne
\[\lim_{L\rightarrow \infty}  \int_{-L}^L i\lambda f(x) e^{-i\lambda x}dx\]
\[= i\lambda \hat{f}(\lambda).\]
Notre derni\`ere proposition, dont la d\'emonstration depasse le cadre de ce cours, dit qu'une \'equivalente 
du th\'eor\`eme de Dirichelet vaut pour cette transform\'ee de Fourier. 
\begin{prop}[Inversion de Fourier.]
Soit $f$ une fonction r\'eelle et continue sur $\mathbb{R}$. Supposons que 
$\int_{\mathbb{R}}|f(x)| dx$ et $\int_{\mathbb{R}} | \hat{f}(\lambda)| d\lambda$ sont tous deux 
finis. Alors, nous pouvons reconstruire $f$ de sa transform\'ee de
Fourier par la 
formule\footnote{La terme $\frac{1}{2\pi}$ supprim\'ee dans notre d\'efinition de la 
transform\'ee de Fourier r\'eappara\^it ici.}
\[ f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{i\lambda x} \hat{f}(\lambda)d\lambda.\]
\end{prop}
Ces deux propri\'et\'es font de la transform\'ee de Fourier un outil pratique pour la solution d'\'equations diff\'erentielles.
\\ \\
{\bf Exemple}
On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle
\[ \frac{\partial f}{\partial x} - f= e^{-|x|}.\]
Appliquant la transform\'ee de Fourier on obtient que
\[ (i\lambda -1) \hat{f}(\lambda)= \frac{2}{1+\lambda^2}\]
Apr\`es r\'eorganisation on a que
\[ \hat{f}=\frac{2}{(1+\lambda^2)(i\lambda-1)}\]
et en utilisant le formule d'inversion de Fourier on obtient que
\[ f(x)=\int_{-\infty}^\infty \frac{2e^{i\lambda x}}{(1+\lambda^2)(i\lambda-1)}d\lambda.\]
%\newpage
\appendix 

\chapter{Appendice : espace-temps, bases et forme de Minkowski.}
La th\'eorie de la relativit\'e pose que la s\'eparation que nous observons entre l'espace et le temps est 
une illusion et qu'en r\'ealit\'e les \'ev\'enements sont plac\'es
dans un continuum de dimension 4 
que l'on appelle l'espace-temps.   
Cet espace-temps dont les
points repr\'esentent des \'ev\'enements est de dimension 4, puisque pour pr\'eciser un 
\'ev\'enement il faut donner :
\begin{enumerate}
\item le lieu ou il s'est produit (pr\'ecis\'e dans des coordonn\'ees cartesiennes par 3 donn\'ees num\'eriques) et
\item l'heure \`a laquelle il s'est produit (pr\'ecis\'ee par 1 donn\'ee num\'erique).
\end{enumerate}
Donc, pour pr\'eciser un \'ev\'enement il faut 4 coordonn\'ees. \\ \\
Contrairement \`a la physique Newtonienne, il n'est plus possible dans la r\'elativit\'e restreinte de donner une d\'ecomposition
de l'espace temps en une partie spatiale plus une partie temps. Plus pr\'ecisement, la physique Newtonienne, si elle place bien
les \'evenements dans un continuum de dimension 4 (lieu ou l'\'ev\'enement a eu lieu, plus l'heure \`a laquelle il s'est produit) pose
aussi l'existence une d\'ecomposition intrins\`eque
\[\mbox{Espace-temps }\ =\ \mbox{ espace }\ \oplus\ \mbox{ temps.}\]
Deux observateurs Newtoniens, m\^eme en mouvement, seront toujours d'accord pour dire que deux \'ev\'enements ont
lieu au m\^eme moment (c'est \`a dire, que le vecteur qui les s\'epare dans l'espace-temps est contenu dans le sous-espace ``espace'')
ou qu'ils ont lieu au m\^eme endroit  (c'est \`a dire, que le vecteur qui les s\'epare dans l'espace-temps est contenu dans le sous-espace ``temps'').
\\ \\
Ceci n'est plus vrai dans la r\'elativit\'e restreinte : selon les observateurs la d\'ecomposition de l'espace temps en espace et temps va varier. 
Lorsqu'un observateur $O$, non-soumis \`a une acc\'eleration, observe une \'ev\'enement, il va le mesurer utilisant 
son 
{\it r\'ef\'erentiel}, et le r\'esultat de ce mesure sera un 
{\it quadrivecteur} $(T_O, X_O, Y_O, Z_O)$ o\`u 
\begin{itemize}
\item $\frac{T_O}{c}$ est l'heure \`a laquelle l'\'ev\`enement s'est produit, 
mesur\'e par l'observateur $O$,
\item  $(X_O, Y_O, Z_O)$ est la position de l'\'ev\'enement, mesur\'e par $O$. 
\end{itemize}
Ces mesures n'ont plus rien d'absolu ; ils varieront
selon l'observateur.
\\ \\
Qu'est ce que c'est un r\'ef\'erentiel ? {\bf C'est la donn\'ee d'un origine $A$ dans l'espace-temps}\footnote{Ce qui permet de consid\`erer l'espace
temps comme un espace vectoriel, en identifiant un point $P$ avec le vecteur $\stackrel{\rightarrow}{AP}$}  {\bf et d'une base
de l'espace temps}. Apr\`es avoir fix\'e une origine $A$, l'observateur $O$ mesure
l'espace temps utilisant une base qui lui est propre $(t_O, x_O, y_O, z_O)$. Si $v$ est un \'el\'ement de l'espace-temps (que l'on consid\`ere comme
un espace vectoriel avec origine $A$), les coordonn\'ees de $v$
dans la base $(t_O, x_O, y_O, z_O)$ sont pr\'ecisement les 
coefficients du quadri-vecteur $(T_O, X_O, Y_O, Z_O)$.\\ \\
{\bf Attention : si tous les r\'ef\'erentiels ont des bases, seulement certaines bases sp\'eciales peuvent \^etre utilis\'ees dans des 
r\'ef\'erentiels.}  \\ \\
Comment parler des \'ev\'enements ? On peut, bien sur, choisir un observateur et identifier un \'ev\'enemment avec son quadrivecteur
dans le referentiel de cet observateur. Cette solution 
est peu satisfaisante, puisqu'elle nous oblige \`a choisir un r\'ef\'erentiel sp\'ecial auquel nous
donnons une signification particuli\`ere, alors que le principe fondamental de la relativit\'e restreinte est que
toutes les r\'ef\'erentiels se valent. Mais il est aussi possible avec les \'el\'ements ci-dessus
de donner une d\'escription de la relativit\'e
restreinte sans r\'ef\'erentiel distingu\'e.\\ \\
Recapitulons :
\begin{enumerate}
\item L'espace-temps, est un espace {\it affine}\footnote{c'est \`a dire, un espace qui devient un espace vectoriel apr\`es choix d'une origine.} 
de 4 dimensions dont les points repr\'esentent des \'ev\'enements. Il existe ind\'ependemment 
de la choix du r\'ef\'erentiel et du syst\`eme de coordonn\'ees. Nous l'appelerons $ET$.
\item Chaque observateur, $O$, mesure l'espace temps utilisant son propre r\'ef\'erentiel, 
consistant en une choix d'une origine $A$ et une base de $ET$,   
$(t_O, x_O,y_O,z_O)$. ($ET$ est un espace vectoriel apr\`es choix de $A$.) 
\item Soit $v\in ET$ un \'ev\'enement et soient $(T_O,X_O,Y_O,Z_O)$ les coordonn\'ees de $v$ dans la base $(t_O,x_O,y_O,z_O)$. 
L'observateur $O$ verra l'\'ev\'enement $v$ en un temps $T_O$ et une position $(X_O, Y_O, Z_O)$. {\it Le temps et la 
position d'un \'ev\'enement dans le r\'ef\'erentiel de $O$ sont simplement ses coordonn\'ees dans cette base particuli\`ere.}
\end{enumerate}
Une question naturelle se pose :\\ \\
{\bf Question : y a-t-il des propri\'et\'es d'un vecteur $v\in ET$ qui ne d\'ependent pas du choix d'observateur ?}\\ \\
 Si $v$ est un vecteur de $ET$ -- pensons-le comme la s\'eparation entre deux \'ev\'enements, $A$
et $B$ --
alors ni le temps ni la distance r\'epresent\'e par $v$ n'est ind\'ependent de 
l'observateur. 
Mais il y une notion intrins\`eque, au moins pour 
les vecteurs de type temporels, c'est celui du 
{\it temps propre}.
\begin{defn}
Soit $v= \stackrel{\rightarrow}{AB}$ un vecteur de $ET$. Le temps propre de $v$ est
 {\it le temps v\'ecu par un observateur qui voyage de A et B sans acc\'eleration.}
\end{defn}
De nombreuses exp\'eriences ont \'etablie comme donn\'ee exp\'erimentale la 
relation suivante
entre le temps propre $TP(v)$ d'un vecteur temporel 
et ses coordonn\'ees $(T_O, X_O, Y_O, Z_O)$ mesur\'es par un observateur $O$ : 
\[ TP(v)^2= T_O^2- X_O^2 -Y_O^2 -Z_O^2.\]
On reconna\^it dans le membre de droite la forme quadratique associ\'ee \`a une forme bilin\'eaire, auxquelles nous donnons le nom de ``produit
scalaire de Minkowski''.
\begin{defn}
Soit $v,v'\in ET$, soit $O$ un observateur, soit le r\'ef\'erentiel de $O$ donn\'e par $(t_O, x_O, y_O, z_O)$. Soient
$(T_O, X_O, Y_O, Z_O)$ et $(T'_O, X'_O, Y'_O, Z'_O)$ les quadrivecteurs de $v$ et $w$ mesur\'es par $O$.
Le produit scalaire  de Minkowski est la forme bilin\'eaire sur $ET$ donn\'ee par
\[ M(v,v')= T_O T'_O - X_O X'_O -Y_OY'_O-Z_OZ'_O.\]
Sa forme quadratique associ\'ee $q_M(v)= M(v,v)$ a le propri\'et\'e que pour tout $v$ temporel
\[ q_M(v)=(\mbox{temps propre de }v)^2.\]
\end{defn}
{\bf Attention : 
il y ici un abus de notation. Puisqu'il existe des vecteurs pour lesquels $q_M(v)<0$, la forme de Minkowski  n'est pas un produit scalaire au sens des 
math\'ematiciens.}
\\ \\
Plusieurs notions de la relativit\'e restreinte admettent une interpretation en termes de la forme de Minkowski.
\begin{enumerate}
\item Un vecteur $v\in ET$ est temporel si $q_M(v)>0$, luminaire si $q_M(v)=0$ et spatial si $q_M(v)<0$.
\item Les transformations de Lorentz  sont des matrices $P$ de changement de base (ou de changement de r\'ef\'erentiel
en gardant le m\^eme origine) qui laissent invariant la forme de Minkowski.
\end{enumerate} 

\chapter{Appendice : le tenseur d'inertie d'un corps rigide.}
Dans cette appendice, pour rester plus proche des notations utilis\'ees en physique, 
nous d\'enoterons les quantit\'es vectorielles dans $\mathbb{R}^3$ par des 
lettres en gras. \\ \\
Soit $C$ un corps rigide massif dans l'espace $\mathbb{R}^3$. Nous voudrions comprendre 
le moment d'inertie de ce corps, c'est \`a dire, la resistence qu'elle oppose \`a \^etre mise en
rotation. 
\\ \\
Pour plus de simplicit\'e nous nou pla\c cons dans
un referentiel inertiel\footnote{c'est \`a dire la donn\'ee d'une origine dans l'espace et
une base de $\mathbb{R}^3$ ne variant pas avec le temps.} dont l'origine est le centre de gravit\'e 
$G$ du corps $C$, et consid\'erons une rotation du corps $C$ autour de son centre de gravit\'e $G$ qui resterait fixe. 
 Supposons que le corps $C$ poss\`ede une vitesse angulaire ${\bf \omega}$.\footnote{La vitesse
angulaire d'un corps en rotation dont le centre de gravit\'e est fixe est une quantit\'e vectorielle  ${\bf \omega}$ telle que 
la vitesse d'un point $P\in C$ est donn\'ee par ${\bf \omega}\wedge \stackrel{\rightarrow}{GP}$.
La direction de ${\bf \omega}$ donne l'axe de rotation et sa longueur donne la vitesse.}
Quel serait le moment angulaire produit par cette rotation autour d'un autre axe
${\bf \nu}$ ? 

Dans un premier temps, consid\'erons un r\'eseau rigid de points massifs $P_i$,
ou chaque $P_i$ a masse $m_i$. En un temps $t$, soit ${\bf r_i}$ le vecteur de position
du point massif $P_i$ (c'est \`a dire qu'on a ${\bf r_i}= \stackrel{\longrightarrow}{GP_i}$)
Soit ${\bf v}_i$ la vitesse (normale) du point $P_i$. Le moment angulaire du point massif $P_i$
autour de l'axe ${\bf \nu}$ est donc 
\[ m_i{\bf \nu}\cdot({\bf r}_i\wedge {\bf v}_i).\] 
Mais on sait par ailleurs par la d\'efinition de la vitesse angulaire que 
\[ {\bf v}_i= {\bf \omega}\wedge {\bf r}_i\]
ou $\omega$ est la vitesse angulaire. Lorsque $P_i$ tourne avec une vitesse 
angulaire $\omega$ autour de son centre de gravit\'e, 
le moment angulaire autour de l'axe $\nu$ du point massif $P_i$ est 
donn\'e par l'expression
\[m_i{\bf \nu}\cdot({\bf r}_i\wedge({\bf \omega}\wedge {\bf r}_i)).\]
Le moment total de ce r\'eseau de points est alors donn\'e par la somme
\[\sum_i m_i {\bf \nu}\cdot({\bf r}_i\wedge({\bf \omega}\wedge {\bf r}_i)\]
Approchons maintenant $C$ par un maillage de point massifs $P_i$, chacun
de masse $m_i$, en une position ${\bf r}_i$. Le moment angulaire de $C$ autour de l'axe $\nu$ est alors approch\'e par la quantit\'e
\[\sum_i m_i {\bf \nu}\cdot({\bf r}_i\wedge({\bf \omega}\wedge {\bf r}_i)\]
ou $\omega$ est la vitesse angulaire du corps $C$. \\ \\ 
Pour un maillage assez fini de $C$, la masse $m_i$ du point massif 
$P_i$ est tr\`es 
proche de 
$\rho dV$, ou $\rho$ est la densit\'e locale de $C$  au point $P_i$ et $dV$ est l'\'el\'ement de volume autour de $P_i$. On
obtient, en approchant $C$ par un maillage toujours plus fin de points $P_i$ que le moment angulaire de $C$ autour de 
$\nu$ est donn\'e par 
\[\int_C  \rho {\bf \nu}\cdot({\bf r}_i\wedge({\bf \omega}\wedge {\bf r}_i) dV\]
\[ ={\bf \nu} \cdot \int_C \rho (({\bf r}\wedge({\bf r}\wedge{\bf \omega})) dV\]
\[={\bf\nu}\cdot \int_C\rho ({\bf \omega}\cdot \| {\bf r}^2\| - {\bf r}({\bf \omega}\cdot  {\bf r}))dV\]
\[={\bf \nu}\cdot {\bf \omega} \left(\int_C\rho \|{\bf r}\|^2dV\right)-\int_C ({\bf \nu}\cdot {\bf r}) ({\bf \omega}\cdot {\bf r}).\]
ou $\omega$ est la vitesse angulaire du corps $C$. \\ \\
Pour r\'esumer, nous avons la proposition suivante.
\begin{prop}
Soit $I_C$ la fonction de deux vecteurs dans $\mathbb{R}^3$, ${\bf \omega}$ et ${\bf \nu}$, telle que
$I_C({\bf \omega}, {\bf \nu})$ le moment d'inertie du corps rigid $C$ autour de l'axe ${\bf \nu}$ lorsque $C$ tourne autour de $G$ 
avec vitesse angulaire ${\bf \omega}$.\\ \\
Alors nous avons que
\[ I_C({\bf \omega}, {\bf \nu})= {\bf \nu}\cdot {\bf \omega} \left(\int_C\rho \|{\bf r}\|^2dV\right)-\int_C ({\bf \nu}\cdot {\bf r}) ({\bf \omega}\cdot {\bf r}).\]
\end{prop}
L'exercice suivant est laiss\'e au lecteur.\\ \\
{\bf Exercice} L'application $I_C$ est une forme bilin\'eaire sym\'etrique.
\begin{defn}
Soit $C$ un corps rigide massif dans l'espace. La forme bilin\'eaire sym\'etrique $I_C$ s'appelle 
le {\it tenseur d'inertie} du corps $C$. 
\end{defn}
\begin{rem}
L'expression du tenseur d'inertie dans une base inertielle d\'epende de l'orientation de $C$ dans l'espace. En particulier, lorsque 
l'orientation de $C$ varie dans le temps\footnote{Notamment, lorsque $C$
est en rotation.} l'expression de $I_C$ dans une base inertielle ne sera pas constante. 
\end{rem}
\begin{rem}
Le th\'eor\`eme sur la diagonalisation orthonorm\'ee des formes bilin\'eaires sym\'etrique nous garantit l'existence d'une
base orthonorm\'ee pour $\mathbb{R}^3$, ${\bf i}, {\bf j}, {\bf k}$, qui est une base orthogonale pour le tenseur de l'inertie.
\end{rem}
\begin{defn}
Les \'el\'ements ${\bf i}, {\bf j}, {\bf k}$ de la base qui est orthonorm\'ee pour $\mathbb{R}^3$ et orthogonale pour $I_C$ 
s'appellent les axes principaux d'inertie du corps $C$.
\end{defn}
\begin{rem}
Ces axes principaux d\'ependent, bien sur, de l'orientation du corps $C$.
\end{rem}
Calculons maintenant le moment total de $C$, $\mu_C$.\footnote{Ce moment total d'un corps en rotation est une
quantit\'e vectorielle ${\bf \mu}_C$ qui a le propri\'et\'e que pour tout axe ${\bf \nu}$ le moment de $C$ autour de ${\bf \nu}$ est 
donn\'e
par le produit scalaire ${\bf \nu}\cdot {\bf \mu}_C$.} 
il r\'esulte imm\'ediatement de notre formule pour $I_C(\omega, \nu)$ que 
$\mu_C$ est donn\'e par le formule
\[ {\bf \mu}_C=  {\bf \omega} \left(\int_C\rho \|{\bf r}\|^2dV\right) -\int_C \rho {\bf r}({\bf \omega}\cdot {\bf r})dV.\] 
%\begin{rem}
%Si le corps $C$ n'a pas de sym\'etrie alors rien ne garanti
%que ${\bf \mu}_C$ sera align\'e avec l'axe de rotation $\omega$. En particulier, 
%si la vitesse angulaire $\omega$ ne varie pas dans le temps alors le moment total ${\bf \mu}_C$ tourne, comme
%$C$, autour de l'axe $\omega$ et n'est donc pas constante. Or, par le principe de conservation du moment, nous savons que
%${\bf \mu}_C$ ne peut varier que si $C$ est soumis \`a une torque ext\'erieure. Autrement dit, {\it si le moment total
%${\bf \mu}_C$ n'est pas align\'e avec ${\bf \omega}$ alors rotation autour de l'axe $\omega$ n'est pas un \'etat
%stable de $C$.}
%\end{rem}
\section{Application : rotation libre
d'un objet avec symm\'etrie rotationelle.}

Nous savons qu'il existe une base une base ${\bf i}$, ${\bf j}$, ${\bf k}$ telle que \`a tout moment,
 ${\bf i}$, ${\bf j}$, ${\bf k}$ est la base orthonorm\'ee de $\mathbb{R}^3$ qui est aussi orthogonale pour 
$I_C$. Cette base est variable dans le temps - elle n'est pas un referentielle inertielle - mais elle
est constante du point de vue du corps rigid et en particulier, si $C$ est en rotation autour de son centre de
gravit\'e avec vitesse angulaire $\omega$ alors on a que
\[ {\bf i}'= {\bf i}\wedge \omega \, {\bf j}'={\bf j}\wedge \omega 
\, {\bf k}'={\bf k}\wedge \omega.\]
Ici, pour toute quantit\'e vectorielle ${\bf a}$ nous notons ${\bf a}'$ 
sa deriv\'ee dans une base inertielle. Par ailleurs, nous notons
$\frac{\partial {\bf a}}{\partial t'}$ sa d\'eriv\'ee 
dans la base ${\bf i}$, ${\bf j}$, ${\bf k}$. Nous avons alors que
\[ \frac{\partial {\bf a}}{\partial t'}+ {\bf a}\wedge \omega={\bf a}'.\] 
Dans le referentiel $({\bf i}$, ${\bf j}$, ${\bf k})$ la matrice de 
$I_C$ est constante et diagonale. Consid\'erons le cas ou $C$ a une 
symm\'etrie rotationelle autour de l'axe ${\bf i}$ : la matrice de $I_C$ dans 
la base ${\bf i}, {\bf j}, {\bf k}$ est alors de la forme
\[\begin{pmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&b\end{pmatrix}.\]
Supposons maintenant que le corps $C$ tourne librement,
sans torque ext\'erieure. On sait alors que son moment d'inertie $\mu_C$
satisfait l'\'equation
\[ {\bf \mu}_C'=0\]
En passant dans le rep\`ere ${\bf i}$, ${\bf j}$, ${\bf k}$ on obtient
\[ \frac{\partial {\bf \mu}_C}{\partial t'}= -\mu_C\wedge\omega \]
ce qui, en utilisant le fait que $\mu_C= I_C(\omega)$
nous donne
\[ I_C\frac{\partial {\bf \omega}} {\partial t'}= - I_C{\omega}\wedge\omega. \]
Ecrivant $\omega= x{\bf i}+y{\bf j}+z{\bf k}$ on voit que 
\[ ax'= 0\]
\[ by'= (a-b)xz\]
\[ bz'=(b-a) xy\]
La valeur $x$ est donc une constante. Posons $\frac{(b-a)x}{b}=C$,
 nous avons alors les \'equations
\[y'= -Cz\]
\[z'= Cy\]
qui a pour solution g\'en\'erale 
\[ y= \lambda\cos{Ct+\theta}\]
\[z=\lambda \sin{Ct+\theta}.\]
L'axe de rotation $\omega$ n'est donc pas constante dans le referentiel 
corporel. 
Il tourne autour de l'axe de sym\'etrie rotationnelle ${\bf i}$ avec une vitesse qui d\'epende de
\begin{enumerate}
\item l'angle entre ${\bf \omega}$ et ${\bf i}$
\item le rapport entre $a$ et $b$.
\end{enumerate}
%\newpage
\chapter{Appendice : les coniques et quadriques.} \index{conique}

On va maintenant appliquer les r\'{e}sultats pr\'{e}c\'{e}dents \`{a} l'\'{e}tude des coniques et des quadriques.

Jusqu'\`{a} la fin de  ce paragraphe, on se place dans l'espace affine $\mathbb{R}^2$ ou $\mathbb{R}^3$, muni de son rep\`{e}re orthonorm\'{e} usuel.

\begin{defn}
Une {\bf conique} est le lieu g\'{e}om\'{e}trique de $\mathbb{R}^2$ d\'{e}fini par une \'{e}quation de la forme 
$$ax^2+by^2+2cxy+dx+ey+f=0,$$

o\`{u} au moins un des termes quadratiques est non nul.

Une {\bf quadrique} est le lieu g\'{e}om\'{e}trique de $\mathbb{R}^3$ d\'{e}fini par une \'{e}quation de la forme 
$$ax^2+by^2+cz^2+2dxy+2exz+2fyz+\alpha x+\beta y+\gamma z+ \delta=0,$$
o\`{u} au moins un des termes quadratiques est non nul.
\end{defn}

On veut classer les diff\'erents types de coniques et quadriques. Puisque l'on veut conserver le lieu g\'{e}om\'{e}trique, on ne s'autorise qu'\`{a} faire des changements de variables qui
remplacent le rep\`ere canonique par un autre rep\`ere orthonorm\'ee (pour les produit  scalaire canonique), donc des translations ou des isom\'{e}tries (i.e. qui conservent les distances et les 
angles non orient\'{e}s).

Ceci est n\'{e}cessaire: en effet, l'\'{e}quation $$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$$ repr\'{e}sente une ellipse de centre $O$, alors que le changement de variables $x'=\frac{x}{3}$ et $y'=\frac{y}{2}$ donne l'\'{e}quation $$x'^2+y'^2=1$$ repr\'{e}sente le cercle unit\'{e}, qui n'est pas le m\^{e}me lieu g\'{e}om\'{e}trique.

{\bf Cas des coniques. }

Consid\'{e}rons la conique $$ax^2+by^2+2cxy+dx+ey+f=0, $$
et soit $$q:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, (x,y)\mapsto ax^2+by^2+2cxy.$$





D'apr\`{e}s le th\'{e}or\`{e}me 4.32, il existe une base orthornorm\'{e}e $(v_1,v_2)$ qui est $\phi_q$-orthogonale, donc $q$-orthogonale.

Dans le nouveau rep\`{e}re $(O,v_1,v_2)$, l'\'{e}quation de la conique s'\'{e}crit
$$a'x'^2+c'y'^2+d'x+e'y+f'=0.$$

On se d\'{e}barasse ensuite d'un ou deux termes lin\'{e}aires en compl\`{e}tant les carr\'{e}s et en effectuant une translation d'origine.


Apr\`{e}s \'{e}ventuellement permutation des nouvelles variables et/ou changements du type $X\leftrightarrow -X$ ou $Y\leftrightarrow -Y$    
on obtient une \'{e}quation d'un des types suivants, selon la signature de $q$, pour des r\'eels $U,V >0$


$(1)$ Signature $(2,0)$ ou $(0,2)$: 
\begin{enumerate}
\item $\frac{X^2}{U^2}+\frac{Y^2}{V^2}=1$: c'est une ellipse (ou un cercle si $U=V$).
\item $\frac{X^2}{U^2}+\frac{Y^2}{V^2}=0$ : c'est le point $(X,Y)=(0,0)$.
\item $\frac{X^2}{U^2}+\frac{Y^2}{V^2}=-1$ : c'est l'ensemble vide.
\end{enumerate}

$(2)$ Signature $(1,1)$: 
\begin{enumerate}
\item $\frac{X^2}{U^2}-\frac{Y^2}{V^2}=1$: c'est une hyperbole.
\item  $\frac{X^2}{U^2}-\frac{Y^2}{V^2}=0$: c'est la r\'eunion des
deux droites d'\'equation $X/U=Y/V$ et $X/U=-Y/V$.
\end{enumerate}

$(3)$ Signature $(1,0)$ ou $(0,1)$: $Y^2=2\lambda X$: c'est une parabole.

\begin{ex}
Consid\'{e}rons la conique d'\'{e}quation $$3x^2-3y^2+8xy+6\sqrt{5}x+2\sqrt{5}y+5=0.$$

Soit $q:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\mapsto 3x^2-3y^2+8xy$.

Sa matrice repr\'{e}sentative dans la base canonique est $$\begin{pmatrix}3 & 4\\ 4 & -3\end{pmatrix}.$$

D'apr\`{e}s un exemple pr\'{e}c\'{e}dent, une base orthonorm\'{e}e qui est aussi $q$-orthogonale est donn\'{e}e par 

$$\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix},\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1\\ -2\end{pmatrix},$$
les vecteurs \'{e}tant respectivement des vecteurs propres pour $5$ et $-5$.


Soient $x',y'$ les coordonn\'{e}es dans cette nouvelle base. On a donc

 $$\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2& 1\\ 1& -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2x'+y'\\ x'-2y'\end{pmatrix}.$$

Par construction de cette base, la forme $q$ dans cette base s'\'{e}crit $$5x^{'2}-5y^{'2}.$$
Elle est donc de signature $(1,1)$, et on a donc une hyperbole (sauf cas d\'{e}g\'{e}n\'{e}r\'{e}).
 
On a alors $$5x^{'2}-5y^{'2}+10x'+10y'+5=0,$$
soit 
$$x^{'2}-y^{'2}+2x'+2y'+1=0.$$
On a donc $$(x'+1)^2-(y'-1)^2+1=0.$$
En posant $X=x'-1,Y=y'-1$, on obtient $X^2-Y^2=-1.$ En posant $X'=Y$ et $Y'=X$, on obtient finalement l'\'{e}quation r\'{e}duite de l'hyperbole $$X^{'2}-Y^{'2}=1.$$
\end{ex}

{\bf Cas des quadriques. }

Comme pr\'{e}c\'{e}demment, on se ram\`{e}ne au cas d'une \'{e}quation sans termes crois\'{e}s, et on se d\'{e}barasse d'un ou plusieurs termes lin\'{e}aires. 

Apr\`{e}s \'{e}ventuellement permutation des nouvelles variables et/ou changements du type $X\leftrightarrow -X$, $Y\leftrightarrow -Y$, $Z\leftrightarrow -Z$, et \'{e}ventuellement une nouvelle translation/rotation,
   
on obtient la classification suivante :

$(1)$ Signature $(3,0)$ ou $(0,3)$. On obtient 3 cas : 

$(a)$ $\frac{X^2}{U^2}+\frac{Y^2}{V^2}+\frac{Z^2}{W^2}=1$: c'est un ellipso\"{\i}de. 

$(b)$ $\frac{X^2}{U^2}+\frac{Y^2}{V^2}+\frac{Z^2}{W^2}=0$: c'est le point
$(X,Y,Z)=(0,0,0)$

$(c)$ $\frac{X^2}{U^2}+\frac{Y^2}{V^2}+\frac{Z^2}{W^2}=-1$: c'est 
l'ensemble vide.  

$(2)$ Signature $(2,1)$ ou $(1,2)$. On obtient 3 cas:

$(a)$ $\frac{X^2}{U^2}+\frac{Y^2}{V^2}-\frac{Z^2}{W^2}=-1$: c'est un hyperbolo\"{\i}de \`{a} deux nappes

$(b)$ $\frac{X^2}{U^2}+\frac{Y^2}{V^2}-\frac{Z^2}{W^2}=1$: c'est un hyperbolo\"{\i}de \`{a} une nappe
 
$(c)$ $\frac{X^2}{U^2}+\frac{Y^2}{V^2}=\frac{Z^2}{W^2}$: c'est un c\^{o}ne.

$(3)$ Signature $(2,0)$ ou $(0,2)$.
On obtient quatre cas :

$(a)$ $\frac{X^2}{U^2}+\frac{Y^2}{V^2}=1$: c'est un cyclindre elliptique

$(b)$ $\frac{X^2}{U^2}+\frac{Y^2}{V^2}=0$: c'est la droite $X=Y=0$.

$(c)$ $\frac{X^2}{U^2}+\frac{Y^2}{V^2}=-1$: c'est l'ensemble vide.

$(d)$ $\frac{X^2}{U^2}+\frac{Y^2}{V^2}=\frac{Z}{W}$: c'est un parabolo\"{\i}de elliptique.

$(4)$ Signature $(1,1)$:

$(a)$ $\frac{X^2}{U^2}-\frac{Y^2}{V^2}=1$: c'est un cyclindre hyperbolique.

$(b)$ $\frac{X^2}{U^2}-\frac{Y^2}{V^2}=0$: c'est la r\'eunion des deux 
plans d'\'equation $X/U-Y/V=0$ et $X/U+Y/V=0$

$(c)$ $\frac{X^2}{U^2}-\frac{Y^2}{V^2}=-1$: c'est l'ensemble vide.

$(d)$ $\frac{X^2}{U^2}-\frac{Y^2}{V^2}=\frac{Z}{W}$: c'est un parabolo\"{\i}de hyperbolique.

Signature $(1,0)$ ou $(0,1)$: 

$(a)$ $X^2=2pY$: cylindre parabolique. 

$(b)$ $X^2/U^2=1$: r\'eunion de deux plans parall\`eles d'\'equation $X=1$ et $X=-1$.

$(c)$ $X^2/U^2=0$: plan $X=0$

$(d)$ $X^2/U^2=-1$: ensemble vide.

\begin{ex}

Soit la quadrique $$x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz+ \sqrt{3}x+\sqrt{3}y+2=0.$$


Soit $q:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}, \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\mapsto x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$.

Sa matrice repr\'{e}sentative dans la base canonique est $$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1&1&1\end{pmatrix}.$$

D'apr\`{e}s un exemple pr\'{e}c\'{e}dent, une base orthonorm\'{e}e qui est aussi $q$-orthogonale est donn\'{e}e par 
$$\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix},\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 0\end{pmatrix},\sqrt{\frac{2}{3}}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ -1\end{pmatrix},$$
ces vecteurs \'{e}tant respectivement des vecteurs propres pour $1,0$ et $0$.


Soient $x',y',z'$ les coordonn\'{e}es dans cette nouvelle base. 

Par construction de cette base, la forme $q$ dans cette base s'\'{e}crit $$3x^{'2}.$$
Elle est donc de signature $(1,0)$, et on a donc un cyclindre parabolique, un ensemble vide, un plan ou une r\'eunion de deux plans.


On v\'{e}rife que l'\'{e}quation de cette quadrique dans cette base est 

$$3x^{'2}+2x'+\sqrt{2}z' +2=0,  $$
soit $$3(x'+\frac{1}{3})^2+\sqrt{2}z'+\frac{5}{3}=0.$$
Si on pose $ X=x'+\frac{1}{3}, Y=z'+\frac{5}{3\sqrt{2}}, Z=y'$, on obtient $$X^2=-\sqrt{2}Y.$$
\end{ex}
%\newpage
\chapter{Appendice : Formes hermitiennes.} \label{chap:hermitien}

Dans beaucoup d'applications en physique - notamment en m\'ecanique quantique, mais pas exclusivement - 
nous avons besoin d'utiliser des espaces complexes. Par exemple, la fonction d'onde qui repr\'esente
un particule dans la repr\'esentation de Schr\" odinger, est un \'el\'ement de $C^0(\mathbb{R}^3, \mathbb{C})$, c'est-`a-dire ,
une fonction complexe sur l'espace $\mathbb{R}^3$. \\ \\
Mais si on essaie de d\'efinir une notion de longueur sur un espace complexe $V$ utilisant des formes bilin\'eaires
complexes on se rend rapidement compte que c'est impossible. En effet, aucune 
forme bilin\'eaire complexe $\varphi$ ne peut
avoir une forme quadratique associ\'ee 
qui est r\'eelle positive partout, puisque si
\[ \varphi(v,v)>0\]
alors on a
\[ \varphi(iv,iv)= i^2 \varphi (v,v)= -\varphi (v,v)<0\]
Par contre, on sait que la fonction\[f(z)=\overline{z}z\] est partout
r\'eelle et positive sur $\mathbb{C}$ : d'ailleurs, la distance euclidienne sur
$\mathbb{C}$, vu comme un $\mathbb{R}$-espace vectoriel, est donn\'ee par 
\[ d(z_1, z_2) =\sqrt{(\overline{z_1-z_2}) (z_1-z_2)}.\] 
Nous allons donc essayer de d\'efinir des distances sur des espaces complexes en utilisant des formes {\it hermitiennes},
c'est-\`a-dire, des functions de deux variables se comportant comme la fonction 
\[ (z_1, z_2)\mapsto \overline{z_1}z_2.\] 
\begin{defn}
Soit $V$ un espace vectoriel complexe. Une fonction
\[h:V\times V\rightarrow \mathbb{C}\] est une forme hermitienne si et
seulement si
\begin{enumerate}
\item $h(x+y,z)=h(x,z)+h(y,z)$
\item $h(x,\lambda y)= \lambda h(x,y)$
\item $h(x,y)=\overline{h(y,x)}$.
\end{enumerate}
\end{defn}
Notez qu'il r\'esulte de (3) que $h(x,x)$ est r{\'e}el pour tout $x$. Nous
avons,
 parailleurs, que $h(\lambda x,y)=\overline{\lambda}h(x,y)$.
\begin{exs}
\begin{enumerate}
\item
La forme $h$ d{\'e}finie sur $\mathbb{C}^n\times \mathbb{C}^n$ par
\[h\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}
, \begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}\right)
=\sum \overline{x_i}y_i\]
est une forme hermitienne. Celle-ci s'appelle la forme hermitienne
canonique sur $\mathbb{C}^n$.
\item La forme $h$ d\'efinie sur $C^0([a, b], \mathbb{C})\times C^0([a, b], \mathbb{C})$ 
par
\[ h(f,g)=\int_a^b \overline{f}(x) g(x) dx\]
est une forme hermitienne sur $C^0([-1, 1], \mathbb{C})$.
\item La forme $h$ d\'efinie sur $M_n(\mathbb{C})\times M_n(\mathbb{C})$ par
\[ h(M,N)= \mbox{Tr}({}^t\overline{M} N)\]
est une forme hermitienne.
\end{enumerate}
\end{exs}
On dit qu'une forme hermitienne $h$ est d\'efinie positive si pour tout 
$x\in V\setminus {0_V}$ nous avons que 
\[ h(x,x)>0.\]
\begin{defn}
Un espace hermitien $(V,h)$ est la donn{\'e}e d'un espace vectoriel complexe 
$V$ et d'une forme hermitienne $h$, d{\'e}finie positive sur $E$.
\end{defn}
Bien s\^ur, tout ce que nous avons fait pour les formes bilin{\'e}aires
 sym{\'e}triques peut aussi se faire pour les formes hermitiennes.
\begin{prop}
Soit $E$ un espace vectoriel complexe et soit $h$ une forme hermitienne sur 
$E$.
Soit ${\bf e}= (e_1\ldots e_n)$ une base pour $E$ et
soit $M$ la matrice d{\'e}finie par $M_{i,j}=h(e_i,e_j)$. La matrice $M$ est appell\'ee la matrice de $h$ dans la base ${\bf e}$.
Soient $x,y\in E$
et soient $\underline{X}, \underline{Y}$ leurs vecteurs de coordonn\'ees dans 
la base ${\bf e}$. Alors nous avons
\[ h(x,y)= {}^t \overline{\underline{X}}M \underline{Y}\] 
\end{prop}
\begin{prop}[R{\`e}gles de changement de la base]
Soit $E$ un espace vectoriel complexe et soit $h$ une forme hermitienne sur
$E$.
Soient ${\bf e}= (e_1\ldots e_n)$ et ${\bf f}=(f_1\ldots f_n)$ deux bases pour 
$E$.
Soit $M$ la matrice de $h$ dans la base ${\bf e}$ et soit
$N$ la matrice de $h$ dans la base ${\bf f}$. Soit $P$ la
matrice de passage de ${\bf e}$ vers ${\bf f}$.
Alors
\[ N={}^t\overline{P}MP.\]
\end{prop}
Nous notons que condition (3) de la d\'efinition des formes hermitiennes
implique
la proposition suivante.
\begin{prop}
Soit $h$ une forme hermitienne sur un espace complexe, $V$. Soit $M$ la
matrice de $h$ dans une base ${\bf e}$. Alors 
\[{}^t\overline{M}=M\]
\end{prop}
Cette proposition inspire la d\'efinition suivante.
\begin{defn}
Soit $M$ une matrice complexe. L'adjointe $M^*$ de $M$ est la matrice d\'efinie par
\[{}^t\overline{M}=M^*.\]
\end{defn}
\begin{defn}
Une matrice complexe $M$ de taille $n\times n$ est dite {\it hermitienne} (ou
{\it auto-adjointe}) si et
seulement si
\[M^*={}^t\overline{M}=M.\]
\end{defn}
Nous pouvons d\'efinir le longueur d'un vecteur et la distance entre deux 
\'el\'ements dans un espace hermitien comme pour un espace
prehilbertien r\'eel.
\begin{defn}
Soit $(V,h)$ un espace hermitien et soient $v,w\in V$. On d\'efinit la 
longueur de $v$ par
\[ \| v \| =\sqrt{h(v,v)},\]
 et la distance entre $v$ et $w$ par $d(v,w)= \|v-w\|$.
\end{defn}
Avec cette notion de distance et de longueur, une version du proc\'ed\'e de 
Gram-Schmidt et la projection orthogonale sont valables aussi sur
des espaces hermitiens.
\begin{prop}[Projection orthogonale dans les espaces hermitiens.]
Soit $(V,h)$ un espace hermitien et soit $W\in E$ un sous-espace vectoriel
de dimension finie. Soit $(v_1,\ldots, v_n)$ une base orthonorm\'ee pour $W$.
Alors pour tout $v\in V$ on d\'efinit la projection orthogonale de $v$ sur $W$
par
\[ p_W(v)= \sum_{i=1}^n h(v_i, v) v_i.\]
La projection $p_W(v)$ est alors l'\'el\'ement de $W$ qui minimise la distance
$d(v,w)$ lorsque $w$ parcourt $W$.
\end{prop}
La d\'emonstration est identique \`a celle donn\'ee dans le cas des espaces 
prehilbertiens r\'eels.
\begin{prop}
Soit $(V,h)$ un espace hermitien de dimension finie et soit ${\bf e}=(e_1,
\ldots, e_n)$ une base. On construit une nouvelle base $(v_1,\ldots, v_n)$
r\'ecursivement par
l'algorithme suivant :
\begin{enumerate}
\item On pose $v_1=\frac{e_1}{\|e_1\|}$.
\item La famille $(v_1,\ldots,v_k)$ \'etant construite, nous posons
\[f_{k+1} = e_{k+1} -\sum_{i=1}^k h(v_i, e_{k+1}) v_i.\]
\item On pose $v_{k+1} =\frac{ f_{k+1}}{\| f_{k+1}\|}$.
\item On a maintenant construit $(v_1,\ldots, v_{k+1})$ et on revient \`a
l'\'etape (2) pour construire $v_{k+1}$. 
\end{enumerate} 
La base de $(V,h)$ ainsi construite est orthonorm\'ee.
\end{prop}
La d\'emonstration est identique \`a celle donn\'ee dans le cas des espaces
prehilbertiens r\'eels.

{\bf Remarque: notation bra-ket}\\
C'est une notation qui permet de retrouver plus facilement certaines
r\'esultats lorsqu'on travaille avec des produits
scalaires hermitiens et est particuli\`erement adapt\'ee aux calculs en m\'ecanique
quantique. 

Si on note $<v|w>$ le produit scalaire canonique
de deux vecteurs $v$ et $w$ dans $\mathbb{C}^n$, on note
$|w>$ le vecteur colonne des coordonn\'ees de $w$ et $<v|=|v>^*$
le vecteur ligne obtenu par transposition et conjugaison, alors on
peut en quelque sorte s\'eparer la notation du produit scalaire en son milieu~:
$$<v|w>=<v| |w>$$
Si $(e_1,...,e_n)$ est une base orthonorm\'ee, alors la relation~:
$$ v=\sum_i <e_i,v> e_i $$
s'\'ecrit~:
$$ |v> = \sum_{i=1}^n <e_i|v> |e_i> 
= \sum_{i=1}^n |e_i> <e_i|v>= 
(\sum_{i=1}^n |e_i><e_i|) |v>$$
autrement dit le calcul des coordonn\'ees dans une base
orthonormale s'\'ecrit comme la d\'ecomposition
de l'application identit\'e de $\mathbb{C}^n$ 
$$ {\bf 1}_n = \sum_{i=1}^n |e_i><e_i| $$
On ne peut pas se tromper de sens ci-dessus car $<e_i| |e_i>=1$ est un scalaire.
La projection $p$ sur un sous-espace vectoriel de base orthonorm\'ee $(f_1,...,f_k)$
s'\'ecrit de mani\`ere analogue~:
$$ p = \sum_{i=1}^k |f_i><f_i| $$
le calcul de $p(v)$ est alors obtenu par 
$$p|v>=(\sum_{i=1}^k |f_i><f_i|)|v>=\sum_{i=1}^k |f_i><f_i|v>$$
Gram-Schmidt s'\'ecrit~:
$$ |v_1>=\frac{|e_1>}{\|e_1\|}, \quad
|f_{k+1}>=({\bf 1}_n-\sum_{i=1}^k |v_i><v_i|)|e_{k+1}>, \quad
|v_{k+1}>=\frac{f_{k+1}}{\|f_{k+1}\|}
$$
Si $A$ est une matrice hermitienne, alors on peut placer $A$ au milieu
du produit scalaire et on peut l'appliquer indiff\'eramment \`a $v$ ou
$w$~:
$$<v|Aw>=<Av|w>=<v|A|w>$$
La g\'en\'eralisation de cette notation aux espaces hilbertiens
complexes
de dimension infinie est populaire en m\'ecanique quantique
o\`u on manipule constamment des espaces de Hilbert et des
matrices hermitiennes (les observables). Une notation qui int\`egre
les propri\'et\'es des objets manipul\'es
permet de simplifier le travail!
%\newpage

\chapter{Utilisation de la calculatrice}
On pr\'esente ici un r\'esum\'e des commandes utiles dans ce module
pour les calculatrices empruntables au DLST (Casio Graph 90+e).
Pour les \'etudiants souhaitant acheter leur propre calculatrice parmi
les mod\`eles compatibles, la Casio Graph 35eii est la moins ch\`ere en monochrome
(moins de 65 euros), la Casio Graph 90+e et la Numworks (N0110
d'occasion non verrouill\'ee)
sont les moins ch\`eres en couleurs (80 euros),
la HP Prime (120 euros ou plus) est la plus performante... Le meilleur
rapport qualit\'e prix est \`a mon avis la Graph 90.

Aucun logiciel de calcul formel n'est exempt de bugs, surtout s'il
n'a pas \'et\'e beaucoup test\'e (cas des calculatrices couleurs
r\'ecentes). Cela peut se 
traduire par un calcul qui n'en finit pas ou un plantage de la 
calculatrice. Localisez l'emplacement du bouton Reset
qui permet de r\'einitialiser
votre calculatrice : Casio Graph 90+e/35eii/Numworks activable avec une pointe de stylo,
HP Prime, activable avec une pointe de trombone ou une \'epingle.

Sur les Casio, en cas de crash de KhiCAS, vous pouvez en g\'en\'eral 
taper sur la touche MENU et activer n'importe quelle autre application
puis relancer KhiCAS. Si le probl\`eme persiste, ouvrez l'application
M\'emoire, puis F2 (m\'emoire de stockage) et effacez le fichier
\verb|session.xw|.

\section{Casio Graph 90+e/35eii}
Si vous ne voyez pas l'icone de Xcas depuis MENU, installez
\ahref{https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/\home{parisse}/casio/khicasio.html}{$\chi$CAS}
Le lien pr\'ec\'edent explique plus en d\'etails comment utiliser Xcas sur
cette calculatrice, on en donne ici un petit r\'esum\'e. 
%Dans la section Installation on trouve deux liens pour charger une version
%limit\'ee en temps de l'\'emulateur Casio ainsi que la proc\'edure
%pour installer $\chi$CAS sur l'\'emulateur.

\subsection{G\'en\'eralit\'es}
Pour saisir une commande, cherchez-la depuis le catalogue, touche F4.
Tapez sur F6 pour avoir une aide rapide sur la commande, tapez sur F2 ou F3
pour recopier un exemple en ligne de commande (on peut ensuite le
modifier) ou sur F1 pour entrer le nom de commande.

Exemple~: taper \verb|F4| puis \verb|2 Algebre| puis \verb|3 factor| puis \verb|F2|
(Exemple 1) puis \verb|EXE|. Taper \verb|EXIT| pour quitter l'affichage 2d du
r\'esultat et revenir \`a l'historique.

Vous pouvez recopier une entr\'ee pr\'ec\'edente de l'historique en
utilisant le pav\'e directionnel, s\'electionnez la ligne \`a recopier
puis EXE.

Pour taper une majuscule, taper d'abord sur la touche rouge ALPHA puis
sur la touche correspondant \`a la l\'egende en rouge (par exemple 2
pour V).

Pour bloquer le clavier en minuscules, taper F5. Un autre appui sur F5
bascule entre majuscules et minuscules. Taper ALPHA pour
quitter le mode alphab\'etique.

L'unit\'e d'angle par d\'efaut est le radian, on peut le v\'erifier dans la
ligne d'\'etat (RAD). Si ce n'est pas le cas, faire shift, SETUP, 3, EXIT. V\'erifiez
aussi que vous \^etes en mode Xcas~: si Python apparait
dans la ligne d'\'etat, faire shift, SETUP, 2, EXIT.

Pour obtenir une approximation num\'erique d'une expression, on
peut utiliser
la commande \verb|approx(|, raccourci clavier touche $S\leftrightarrow D$ 2.

Pour visualiser la liste des variables d\'efinies, taper sur la touche
VARS. 


\subsection{Interrompre/effacer.}
Pour interrompre un calcul trop long, commencez par taper sur AC/ON. Si
cela n'a pas d'effet, enfoncez un stylo dans le trou du bouton RESTART \`a
l'arri\`ere de la calculatrice.

Pour effacer l'historique, tapez sur AC/ON et confirmez. Si un bug
d'affichage apparait (avec des caract\`eres bizzares), effacer
l'historique devrait r\'esoudre le probl\`eme. Dans certains cas,
il faut effacer les donn\'ees de session de Xcas, pour cela taper sur la touche
MENU, puis Memoire, puis F2 (Memoire de stockage), effacer
les fichiers \verb|lastvar.py| et  \verb|session.xw|.

La touche VARS permet de saisir la commande
\verb|purge| pour supprimer une variable, et la
commande \verb|restart| pour effacer toutes les variables.

\subsection{Alg\`ebre (bi-)lin\'eaire}
Pour saisir une matrice, vous pouvez l'entrer directement comme une
liste de listes en ligne de commande par exemple\\
\verb|m=[[1,2],[3,4]]|\\
Vous pouvez aussi utiliser le menu F6, 11 Editer matrice ou 
le raccourci shift-Mat, \verb|1 matrix|, donner le nom
de variable de la matrice, puis le nombre de lignes et colonnes
et remplir la matrice, terminer en tapant EXE. La matrice
est visible dans la liste des variables (VARS).

Les op\'erations usuelles (\verb|+ - * /|) s'appliquent aux
matrices. On peut calculer l'inverse d'une matrice avec \verb|^-1|
(touche shift \verb|)|). On peut calculer la transconjugu\'ee
d'une matrice (donc la transpos\'ee pour une matrice r\'eelle) 
avec \verb|^*|

Le menu \verb|F4| puis \verb|3 Algebre (bi)lineaire| et
\verb|17 Matrices|, et le menu rapide shift-2 (Mat) contiennent
des commandes pour faire 
\begin{itemize}
\item \verb|a2q|, \verb|q2a| pour convertir une expression de forme 
quadratique en matrice et r\'ecriproquement
\item \verb|gauss|: algorithme de r\'eduction de Gauss pour les formes
quadratiques, \verb|gramschmidt|: algorithme de Gram-Schmidt 
pour orthonormaliser 
\item \verb|det| (d\'eterminant), \verb|charpoly| (polyn\^ome caract\'eristique),
\verb|eigenvals| (valeurs propres), \verb|eigenvects| (vecteurs
propres), \verb|jordan| (diagonalisation), \verb|tran|
(transpos\'ee).
\end{itemize} 
La commande pour faire le pivot de Gauss s'appelle \verb|rref| et
peut \^etre saisie au clavier (F5 puis rref) ou depuis le menu F4 Tout
puis rr.
Exemples
\begin{itemize}
\item pivot de Gauss~:
$$ m=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$$
\verb|m=[[1,2,3],[4,5,6]]|\\
\verb|rref(m)|
\item forme bilin\'eaire d\'efinie par une int\'egrale~:
$$ \varphi(P,Q)=\int_0^1 P(x)Q(1-x) \ dx$$
\verb|F(P,Q):=integrate(P*Q(x=1-x),x,0,1)|\\
\verb|F(1,x)|\\
\verb|F(x,x^2)|\\
Pour saisir \verb|:| de \verb|:=|, taper shift-PRGM
ou shift-INS, pour saisir \verb|integrate|,
taper F2.
\item r\'eduction d'une forme quadratique (algorithme de Gauss)~:\\
\verb|gauss(x^2+x*y,[x,y])|
\item base du noyau d'une application lin\'eaire ou d'une forme bilin\'eaire
  sym\'etrique de matrice $M$
$$ m=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0\end{pmatrix}$$
\verb|m=[[0,1,0],[1,0,-1],[0,-1,0]]|\\
\verb|ker(m)| (renvoie une base du noyau sous forme d'une liste de vecteurs lignes)
\item r\'eduction d'endomorphisme~:
$$ A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$$
\verb|A=[[1,-1],[2,4]]|\\
\verb|factor(det(A-x*idn(2)))|\\
\verb|eigenvals(A)|\\
\verb|eigenvects(A)|\\
\verb|P,D:=jordan(A); P*D*inv(P)|\\
Attention pour une matrice sym\'etrique, la matrice $P$ renvoy\'ee
n'a pas de raison d'\^etre orthogonale. Bien sur, les vecteurs propres
correspondant \`a des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
\item
\verb|gramschmidt| prend en argument une liste de vecteurs {\bf lignes} \`a
orthonormaliser pour le produit scalaire usuel,\\
\verb|gramschmidt([[1,2,3],[4,5,6]])|\\
ou une liste d'expressions formant une base d'un sous-espace
vectoriel (de fonctions ou de polyn\^omes) et un produit scalaire.
Par exemple pour
$$ \langle p|q \rangle = \int_{-1}^1 p(x) q(x) \ dx $$
\verb|ps(p,q):=integrate(p*q,x,-1,1)|\\
\verb|gramschmidt([1,1+x,x^2],ps)|
\end{itemize}

\subsection{Coefficients de Fourier}
Les commandes se trouvent dans le menu \verb|F4| puis \verb|4 Analyse|. 

Par exemple pour avoir les coefficients de Fourier $a_n, n \neq 0$ de la
fonction $f(x)=x^2$ sur $[-\pi,\pi]$, faire \verb|fourier_an(x^2,n)|.
Pour avoir $a_0$ faire \verb|fourier_an(x^2,0)|. 

Si la p\'eriode
n'est pas $[-\pi,\pi]$ il faut donner 5 arguments, par exemple sur
$[-1,1]$ avec comme p\'eriode $T=2$, \verb|fourier_an(x^2,x,2,n,-1)|

Si la fonction est définie par morceaux, commencer par la définir
avec la commande \verb|piecewise|, par exemple\\
\verb|piecewise(x>0,exp(x),-exp(-x))|\\
pour $e^x$ si $x>0$ et $-e^{-x}$ sinon (complétion par
imparité de l'exponentielle pour calculer sa série en sinus).
Pour saisir \verb|piecewise|, taper F5 puis piecewise, ou depuis l
menu F4 taper 1 (Tout) puis
taper sur les touches p et i, puis EXE pour sélectionner \verb|piecewise|.

Pour vérifier le théorème de Dirichlet ou l'identité de Parseval
de manière approchée, on utilise la fonction \verb|sum| (menu F1),
par exemple pour Parseval\\
\giacinputmath{sum(1.0/n^2,n,1,100)}\\
\giacinputmath{pi^2/6.0}\\
Si vous avez un résultat exact dans l'éditeur d'expression (par
exemple parce que vous avez saisi \verb|pi^2/6| au lieu
de \verb|pi^2/6.0|), vous pouvez
obtenir une valeur approchée de la sélection en surbrillance en tapant
shift F6 (\verb|evalf|). Vous pouvez changer la sélection avec les
touches du curseur, en tapant plusieurs fois sur la flèche vers le haut
vous pouvez sélectionner toute l'expression et en obtenir une valeur
numérique avec shift F6.

\subsection{Courbes}
Pour tracer la repr\'esentation graphique d'une courbe, on
peut utiliser l'application int\'egr\'ee de Casio
(cf. le \ahref{https://support.casio.com/storage/fr/manual/pdf/FR/004/GRAPH90+E_Soft_FR.pdf}{manuel du constructeur}), mais
il n'est alors pas possible d'effectuer des calculs analytiques en
m\^eme temps.
On conseille donc de rester dans $\chi$CAS et d'utiliser la commande
\verb|plot|.
Cette commande se trouve dans le sous-menu Graphiques : touches F4 puis 7
ou shift-touche de fractions,
s\'electionner la commande avec le curseur haut ou bas.
Taper ensuite F2 pour recopier un exemple en ligne de commande, 
vous pouvez ensuite modifier cet exemple et l'ex\'ecuter.

La touche $X,\theta,t$ permet de saisir $t$ ou $x$ selon le r\'eglage 
du menu shift-SETUP.

Par exemple 
\verb|X:=x^2;|
\verb|plot(x,x=-pi..pi)|
Pour saisir \verb|X|,  taper ALPHA puis la touche + (X en rouge) ;
pour saisir \verb|:=|, taper shift-PRGM 2 =, , etc.
Pour d\'efinir une variable, on peut omettre le \verb|:|, i.e. \'ecrire \verb|=| \`a la place de \verb|:=|

Utilisez les touches de d\'eplacement du Pad pour bouger le graphique,
les touches + et - pour faire un zoom in ou out et EXIT pour quitter.

Pour faire les calculs n\'ecessaires \`a l'\'etude de la courbe,
vous pouvez utiliser les fonctions de calcul formel (\verb|factor|,
\verb|simplify|, \verb|solve|, \verb|diff|, \verb|limit|,
\verb|int|, etc.) qui se trouvent dans les menus rapides F1/F2 ou
par le menu complet (F4, puis Algebre
ou Analyse ou Resoudre) ou via des raccourcis claviers
($\rightarrow$* pour factoriser, $\rightarrow$+ pour d\'evelopper). 
Par exemple
\verb|X1:=diff(X,t)| (F2, 2) calcule la d\'eriv\'ee de $X$
par rapport \`a $t$. \verb|X1=>*| factorise la d\'eriv\'ee
(touche $\rightarrow$ pour saisir \verb|=>|),
\verb|solve(X1=0,t)| cherche les z\'eros de la d\'eriv\'ee, etc.

Les calculs d'int\'egrales (F4 Analyse integrate) se font par d\'efaut en
cherchant une primitive ce qui peut \^etre long ou/et ne pas aboutir,
vous pouvez forcer le calcul approch\'e d'une int\'egrale
d\'efinie en mettant une des bornes sous forme d'un nombre approch\'e
par exemple \verb|1.0| au lieu de \verb|1|.

\subsection{\'Equations diff\'erentielles}
Pour r\'esoudre une \'equation ou un syst\`eme diff\'erentiel lin\'eaire,
ouvrez le catalogue F4 puis Resoudre puis la commande 
\verb|desolve(|, puis ses arguments, par
exemple \verb|desolve(Y'=x*Y-x,x,Y)| ou avec condition
initiale \verb|desolve([Y'=x*Y-x,Y(0)=2],x,Y)|.
Pour saisir le caract\`ere prime de d\'erivation, taper F2 1.


\end{giacjshere}
\end{document}
