\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,latexsym}
\usepackage{a4,mathptmx,helvet,courier}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{times}


\newcounter{exonum}[section]
\newenvironment{exo}{\begin{enumerate}\stepcounter{exonum}%
\renewcommand{\theenumi}{\thesection.\arabic{exonum}}%
\renewcommand{\labelenumi}{\bf\theenumi.}\item}{\end{enumerate}}

\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

\begin{document} 

\pagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}

{\footnotesize\noindent
Université Joseph Fourier, Grenoble I   \hfill $\bullet$ \hfill
Licence 2, Mat249                       \hfill $\bullet$ \hfill
Année 2005/2006, 2nd semestre           \\[-2mm]\hrule}

\bigskip

\begin{center}
  {\Large\bf Mathématique assistées par ordinateur} \\
%  Contrôle continu du 14 mars 2006, de 7h30 à 9h30. \\
Examen du 21 juin 2006, 16h15-19h15. \\
  \it Documents et calculatrices autorisés.\\
Ce sujet comporte 2 pages, les quatre exercices sont indépendants.
\end{center}

\section{Développement binaire}
\'Ecrire le rationnel un tiers (dont l'ecriture en base
10 est 0.3333...) comme un nombre \`a virgule en base 2
 (obtenu par division de 1 par 3 en base 2).
Quelle est la période du développement obtenu?


\section{Calcul exact et calcul approché}
Comparer les valeurs de
\[ 
\sqrt{10^{11}+1}-\sqrt{10^{11}} 
\quad\text{ et }\quad
\frac{1}{\sqrt{10^{11}+1}+\sqrt{10^{11}}},
\]
en calcul exact et en calcul approché. 
En calcul approché, laquelle de ces deux valeurs vous parait-elle
plus proche de la valeur exacte correspondante ? Justifier rapidement.

\section{Théorème du point fixe et Newton}
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f$ définie sur $[0,1]$ par
\[ f(x) = \frac{\exp(-x)}{2} \]
vérifie les hypothèses du théorème du point fixe,
et calculer la constante $k$ de contraction.  
\item Calculer les 5 premiers termes d'une suite $u_{n+1}=f(u_n)$
  avec $u_0 \in I$.
Déterminer un encadrement à $10^{-2}$ près de la solution $l$ de 
l'\'equation $f(x)=x$
sur cet intervalle (on justifiera la précision de cette
approximation).
\item Donner la formule de r\'ecurrence $v_{n+1}=g(v_n)$ permettant
de r\'esoudre l'\'equation $f(x)=x$ par la m\'ethode de Newton.
\item Montrer que la fonction $F(x)=f(x)-x$ est convexe sur $[0,1]$.
Quel est le signe de $F'$ sur $[0,1]$?
\item En d\'eduire une valeur initiale $v_0$ pour laquelle la suite
$(v_n)$ croit et converge vers la m\^eme limite $l$ que la suite $(u_n)$
(on justifiera).
\item Calculer les 3 premiers termes de $(v_n)$ pour cette valeur
de $v_0$.
\item Donner une majoration de l'erreur $|l-v_3|$.
\end{enumerate}

\section{S\'eries enti\`eres et applications}
Soit $f$ la fonction d\'efinie par 
\[ f(x)=\frac{\sin(x)}{x} \mbox{ si } x \neq 0, \quad f(0)=1\]
et soit $F$ la primitive de $f$ qui s'annule en 0~:
\[ F(x) = \int_0^x f(t) \ dt \]
Dans cet exercice, on veut calculer une valeur approch\'ee de $F(x)$.

\begin{enumerate}
\item Donner le d\'eveloppement en s\'eries enti\`eres de $f$.
\item En d\'eduire celui de $F$.
\item Soit $T_n(x)$ le d\'eveloppement de Taylor de $F$ en $x=0$ \`a
l'ordre $n$ et $R_n(x)$ le reste. Donner une majoration de $|R_n(x)|$
en fonction de $n$ et de $x$ pour $|x|\leq 3$.
\item D\'eterminer une valeur de $n$ telle que $|R_n(1)|<10^{-7}$.
\item En d\'eduire une valeur approch\'ee de $F(1)$ \`a $10^{-7}$
pr\`es.
\item Montrer que pour cette valeur de $n$, $T_n(x)$ est une valeur
approch\'ee \`a $10^{-7}$ près de $F(x)$ pour tout $x \in [-1,1]$.
Est-ce toujours le cas pour $x=3$?
\end{enumerate}

\end{document}


