Courbes en polaire Renée De Graeve 2017

Contents

• 1  Les coordonnées polaires d’un point en géométrie plane
• 2  Les courbes en coordonnées polaires
  • 2.1  Équation polaire d’une droite
  • 2.2  Équation polaire d’un cercle passant par l’origine
• 3  Tangente en un point
• 4  Concavité
• 5  Branches infinies
• 6  Courbes algébriques
  • 6.1  Équation polaire de l’ellipse
  • 6.2  Équation polaire de l’hyperbole
  • 6.3  Équation polaire de l’hyperbole équilatère
  • 6.4  Équation polaire de la parabole
  • 6.5  Équation polaire commune des coniques
  • 6.6  Équation polaire de la cissoïde droite
  • 6.7  Équation polaire de la strophoïde droite
  • 6.8  Équation polaire de la trisectrice de Mac-Laurin
  • 6.9  Équation polaire du limaçon de Pascal
  • 6.10  Équation polaire de la cardioïde
  • 6.11  La trisection d’un angle aigu avec un limaçon de Pascal
  • 6.12  Équation polaire de la lemniscate de Bernoulli
  • 6.13  Équation polaire de la lemniscate de Gerono
  • 6.14  Équation polaire de la courbe du diable
• 7  Folium
  • 7.1  Le folium de Descartes
  • 7.2  Le folium parabolique
  • 7.3  Le folium simple ou ovoïde
  • 7.4  Le bifolium
  • 7.5  Le trifolium
• 8  Les podaires de l’astroïde
  • 8.1  L’astroïde
  • 8.2  La rosace à 4 branches
  • 8.3  Le scarabée
  • 8.4  La transformation de Joukowsky
• 9  Les conchoïdes
  • 9.1  Le limaçon de Pascal
  • 9.2  La conchoïde de Nicomède
• 10  Les spirales
  • 10.1  Équation polaire de la spirale d’Archiméde
  • 10.2  Équation polaire de la spirale de Fermat
  • 10.3  Équation polaire de la spirale de Galilée
  • 10.4  Équation polaire d’une spirale hyperbolique
  • 10.5  Équation polaire d’une spirale logarithmique
  • 10.6  Équation polaire de la courbe du spiral
  • 10.7  Équation polaire d’une spirale parabolique
  • 10.8  Équation polaire d’une spirale de Poinsot
• 11  Les rosaces
• 12  Exercices

Index

1  Les coordonnées polaires d’un point en géométrie plane

Soit un repère orthonormé orienté $Oxy$.
Soient l’axe $OX$ tel que $\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OX}=\theta+2k\pi$ et un point $M$ sur $OX$ tel que $\overline{OM}=\rho$.
Définitions $OX$ est l’axe polaire, et $O$ est le pôle,
Les coordonnées polaires du point $M\neq O$ sont : $\rho=\overline{OM}$ et $\theta=(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OM})$.
$\rho$ est le rayon vecteur de $M$ et $\theta$ est l’angle polaire de $M$.

La donnée de $\rho$ et de $\theta$ détermine un seul point mais la réciproque est fausse :
$\theta$ est défini à $2k\pi$ près et
$\rho_0,\theta_0$ et $-\rho_0,\theta_0+\pi$ détermine le même point car cela revient à changer l’orientation de la droite $OM$.
Si $(x,y)$ sont les coordonnées cartésiennes de $M$, on a :
$x=\rho\cos(\theta), y=\rho\sin(\theta)$ et
$|\rho|=\sqrt{x^2+y^2}$, $\ \cos(\theta)=\rho/x$, $\ \sin(\theta)=\rho/y$.

2  Les courbes en coordonnées polaires

L’équation d’une courbe $\Gamma$ en coordonnées polaires est une fonction $F(\rho,\theta)=0$, mais on n’étudie en général que les courbes $\rho=f(\theta)$. $\Gamma$ est alors le lieu des points définis par $\rho=f(\theta)$ lorsque $\theta$ varie.
Remarque
L’équation polaire d’une courbe n’a pas toujours une forme unique, par exemple :
$\rho=1+\cos(\theta)$ et $\rho=-1+\cos(\theta)$ représente la même courbe en effet :
$\rho=-1+\cos(\theta)=-(1+\cos(\theta+\pi))$.

2.1  Équation polaire d’une droite

• si la droite passe par $O$, son équation est $\theta=\theta_0$,
• L’équation d’une droite quelconque en coordonnées cartésiennes est :
  $ux+vy+w=0=ax+by-1$ donc on a :
  $u\rho\cos(\theta)+v\rho\sin(\theta)+w=a\rho\cos(\theta)+b\rho\sin(\theta)-1=0$
  Donc si $\theta \neq -\atan(a/b)$ : $$\rho=\frac{1}{a\cos(\theta)+b\sin(\theta)}$$

Exemples
La courbe définie par :
$\displaystyle \rho=\frac{1}{2\cos(\theta)+3\sin(\theta)}$ pour $\theta \neq -\atan(2/3)$ est la droite d’équation $2x+3y=1$.
gl_ortho=1;gl_x=-5..5;gl_y=-3..3;plotpolar(1/(2*cos(t)+3*sin(t)),t=-pi/2..pi/2) ok

L’équation de la droite $x=a$ parallèle à $Oy$ est pour $\theta \in ]-\pi/2,\pi/2[$ :
$$\rho=\frac{a}{\cos(\theta)}$$

L’équation de la droite $y=a$ parallèle à $Ox$ est pour $\theta \in ]0,\pi[$ : $$\rho=\frac{a}{\sin(\theta)}$$

2.2  Équation polaire d’un cercle passant par l’origine

L’équation d’un cercle en coordonnées cartésiennes est :
$x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ (centre $(a,b)$, rayon=$\sqrt{a^2+b^2-c}$) donc on a :
$\rho^2-2\rho(a\cos(\theta)+b\sin(\theta))+c=0$.
Si le cercle passe par $0$ on a $\rho=2(a\cos(\theta)+b\sin(\theta))$
On choisit $a=2$ et on fait varier $b$ :

3  Tangente en un point

• si la courbe passe par $O$ lorsque $\theta=\theta_0$ on a $\rho=f(\theta_0)=0$.
  On suppose que $f$ est continue et monotone au voisinage de $\theta_0$.
  Donc $\rho$ tend vers 0 quand $\theta$ tend vers $\theta_0$ et réciproquement $\theta$ tend vers $\theta_0$ quand $\rho$ tend vers 0.
  Donc la tangente à l’origne a pour équation :
  $\theta=\theta_0$.
• Pour un point $M$ quelconque, la tangente a pour direction $\frac{d\overrightarrow{OM}}{d\theta}$ avec
  $\overrightarrow{OM}=(\rho\cos(\theta),\rho\sin(\theta))=\rho\overrightarrow{u}$.
  $\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées $\cos(\theta),\sin(\theta)$, donc $\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{u}}{d\theta}$ a pour coordonnées $-\sin(\theta),\cos(\theta)$.
  Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ forment donc un repère orthonormé.
  Soit $V$ l’angle que fait la tangente $\overrightarrow{MT}$ avec $\overrightarrow{OM}$ : $V=(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{MT}) \bmod \pi$
  On a : $$\frac{d\overrightarrow{OM}}{d\theta}=\rho'\overrightarrow{u}+\rho \frac{d\overrightarrow{u}}{d\theta}=\rho'\overrightarrow{u}+\rho \overrightarrow{v}$$ Donc :
  $\tan(V)=\frac{\rho}{\rho'}$ si $\rho'\neq 0$ et $V=\pi/2$ si $\rho'=0$
  

4  Concavité

La concavité est déterminé par le vecteur : $\frac{d^2\overrightarrow{OM}}{d\theta^2}$.
On a :
$\frac{d\overrightarrow{OM}}{d\theta}=\rho'\overrightarrow{u}+\rho \overrightarrow{v}$.
$\frac{d^2\overrightarrow{OM}}{d\theta^2}=((\rho')'-\rho)\overrightarrow{u}+2\rho' \overrightarrow{v}$.
$\frac{d^2\overrightarrow{OM}}{d\theta^2}=((\rho')'-\rho)\overrightarrow{u}+2\rho'\overrightarrow{v}$.
$2\rho' \overrightarrow{v}=\frac{2}{\rho}\frac{d\overrightarrow{OM}}{d\theta}-\frac{2\rho'}{\rho}\overrightarrow{u}$
donc : $$\frac{d^2\overrightarrow{OM}}{d\theta^2}=((\rho')'-\rho-\frac{2\rho'}{\rho})\overrightarrow{u}+\frac{2\rho'}{\rho} \frac{d\overrightarrow{OM}}{d\theta}$$ La concavité est tournée vers le pôle si $\frac{d^2\overrightarrow{OM}}{d\theta^2}$ est de même sens que $\overrightarrow{MO}=-\rho \overrightarrow{u}$.
On pose :
$r=\frac{1}{\rho}$ donc
$r'=-\frac{\rho'}{\rho^2}$ et
$(r')'=\frac{\rho(\rho')'-2\rho\rho'^2}{\rho^3}$
La concavité est tournée vers le pôle si $r(r+(r')')\geq 0$.
Les points d’inflexions sont donnés par $r+(r')'=0$.

5  Branches infinies

• si $\rho$ tend vers $\infty$ quand $\theta$ tend vers $\infty$, on a une spirale.
• si $\rho$ tend vers $a$ quand $\theta$ tend vers $\infty$, le cercle $\rho=a$ est un cercle asymptote.
  plotpolar(t/(t-pi),t=pi..10*pi),cercle(0,1,affichage=1) ok
  Si $a=0$ ce cercle se réduit au point $O$ : on a alors une spirale autour de $O$.
  plotpolar(1/(t-pi),t=pi..10*pi) ok
  
• si $\rho$ tend vers $\infty$ quand $\theta$ tend vers $\theta_0$, alors $\theta=\theta_0$ est une direction asymptotique.
  Pour étudier la branche unfinie, on cherche si $\rho\sin(\theta-\theta_0)$ a une limite quand $\theta$ tend vers $\theta_0$ car $\rho\sin(\theta-\theta_0)$ est la distance entre $M$ est la droite $\theta=\theta_0$. gl_ortho=1;gl_x=-5..5;gl_y=-2..2;plotpolar(1/(1+2*cos(t)),t=0..2*pi),affichage([droite(y=sqrt(3)*(-x+2/3)),droite(y=sqrt(3)*(x-2/3))],1) ok
  gl_ortho=1;gl_x=-5..5;gl_y=-1..3;plotpolar(1+tan(t/2),t=-3.14..3.14),droite(y=2,affichage=1) ok
  

6  Courbes algébriques

6.1  Équation polaire de l’ellipse

Soit un repère orthonormé orienté $Oxy$.
Soit une ellipse de foyer $F_1(-c,0)$ et $F_2(c,0)$ ($F_1F_2=2c$) de grand axe $2a$ ($a>c$) et de petit axe $2b$ et soit $O$ le milieu de $F_1F_2$.
L’ellipse est le lieu des points $M$ vérifiant $MF_1+MF_2=2a$.
On a $b^2=a^2-c^2$.
Dans le repère $Oxy$ ($Ox$ étant selon $F_1F_2$) l’équation cartésienne de l’ellipse est :
$x^2/a^2+y^2/b^2=1$, donc si le pôle est en $O$, on a : $$\rho=\pm \frac{ab}{\sqrt{b^2\cos(\theta)^2+a^2\sin(\theta)^2}}$$ On choisit $b=1$ et on fait varier $a$ :

6.2  Équation polaire de l’hyperbole

Soit un repère orthonormé orienté $Oxy$.
Soit une hyperbole de foyer $F_1(-c,0)$ et $F_2(c,0)$ ($F_1F_2=2c$) d’axe $2a$ ($a<c$) et soit $O$ le milieu de $F_1F_2$. On pose $b^2=c^2-a^2$
L’hyperbole est le lieu des points $M$ vérifiant $|MF_1-MF_2|=2a$.
Son équation cartésienne est $x^2/a^2-y^2/b^2=1$, donc si le pôle est en $O$, on a :
$b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2$ donc si $ab>0$ : $$\rho=\pm \frac{ab}{\sqrt{b^2\cos(\theta)^2-a^2\sin(\theta)^2}}$$ On choisit $b=1$ et on fait varier $a$ :

6.3  Équation polaire de l’hyperbole équilatère

L’hyperbole équilatère est l’hyperbole lorsque $a=b$ i.e $c^2=2a^2$.
Son équation cartésienne est $x^2-y^2=a^2$, donc si le pôle est en $O$, on a : $$\rho=\pm \frac{a}{\sqrt{\cos(2\theta)}}$$

6.4  Équation polaire de la parabole

Soit un repère orthonormé orienté $Oxy$.
Soit une parabole de foyer $F(a/2,0)$ et de directrice $d$ d’équation $x=-a/2$. $a$ est le paramètre de la parabole.
La parabole est le lieu des points $M$ vérifiant $MF=MH$ où $H$ est la projection de $M$ sur $d$.
$MF^2=(x-a/2)^2+y^2$ et $MH^2=(x+a/2)^2$ donc :
l’équation cartésienne de la parabole est $y^2=2ax$.
Si le pôle est en $O$, on a : $$\rho=2a\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)^2}$$ On fait varier $a$ :

6.5  Équation polaire commune des coniques

Pour l’ellipse :
Si on choisit comme pôle le foyer $F_1$ de coordonnées $(-c,0)$, pour un point $M$ de l’ellipse, on a $MF_1=\rho$ et $MF_1+MF_2=2a$ donc :
$MF_2^2=(2a-MF_1)^2=4a^2-4a\rho+\rho^2$.
Dans le triangle $MF_1F_2$ on a $F_1F_2=2c\$ et $\ \theta=(\overrightarrow{F_1F_2},\overrightarrow{F_1M})$ donc :
$MF_2^2=MF_1^2+(2c)^2-4cMF_1\cos(\theta)=\rho^2+(2c)^2-4c\rho\cos(\theta)$.
On en déduit :
$4a^2-4a\rho+\rho^2=\rho^2+4c^2-4c\rho\cos(\theta)$, soit : $$\rho=\frac{a^2-c^2}{a-c\cos(\theta)}$$ On pose $p=b^2/a$ le demi-paramètre de l’ellipse et $e=c/a<1$ son éxcentricité.
On a $p=a(1-e^2)$.
Lorsque le pôle est le foyer $F_1$ de coordonnées $(-c,0)$, l’équation polaire de l’ellipse est :
$$\rho=\frac{p}{1-e\cos(\theta)}=a\frac{1-e^2}{1-e\cos(\theta)}$$ Pour l’hyperbole :
Si on choisit comme pôle le foyer $F_2$ de coordonnées $(c,0)$, pour un point $M$ de l’hyperbole, on a $MF_1=\rho$ et $|MF_2-MF_1|=2a$ donc :
$MF_2^2=(\pm 2a+MF_1)^2=4a^2\pm 4a\rho+\rho^2$.
Dans le triangle $MF_1F_2$ on a $F_1F_2=2c$ et $(\overrightarrow{F_1F_2},\overrightarrow{F_1M}=\theta$ donc :
$MF_2^2=MF_1^2+(2c)^2-4cMF_1\cos(\theta)=\rho^2+(2c)^2+4c\rho\cos(\theta)$.
On en déduit :
$4a^2\pm 4a\rho+\rho^2=\rho^2+4c^2+4c\rho\cos(\theta)$, soit : $$\rho=\frac{c^2-a^2}{\pm a-c\cos(\theta)}$$ Si $\theta \in ]-\pi/2,\pi/2[$ on a $\rho=\frac{a^2-c^2}{a-c\cos(\theta)}$ et si $\theta \in ]\pi/2,3\pi/2[$ on a $\rho=\frac{a^2-c^2}{-a-c\cos(\theta)}$ Si on pose $p=b^2/a$ le demi-paramètre de l’hyperbole et $e=c/a>1$ son éxcentricité, on a $p=a(e^2-1)$.
$$\rho=\frac{p}{\pm 1-e\cos(\theta)}=a\frac{1-e^2}{\pm 1+e\cos(\theta)})$$ Si $\theta \in ]-\pi/2,\pi/2[$ on a $\cos(\theta+\pi)=-\cos(\theta)$ donc $\rho(\theta+\pi)=-\rho(\theta)$.
Donc lorsque le pôle est le foyer $F_2$ de coordonnées $(c,0)$, l’équation polaire de l’hyperbole est :
$$\rho=\frac{p}{1-e\cos(\theta)}=a\frac{e^2-1}{1-e\cos(\theta)})$$ Pour la parabole :
Si on choisit comme pôle le foyer $F$ de coordonnées $(p/2,0)$ ($p$ est la distance du foyer $F$ à la directrice $d$), pour un point $M$ de la parabole se projetant en $D$ sur $d$, on a :
$\rho=FM=MD=p\rho\cos(\theta)$ donc : $$\rho=\frac{p}{1-\cos(\theta)}$$ Donc avec ces choix, les 3 coniques ont la même équation polaire : $$\rho=\frac{p}{1-e\cos(\theta)}$$ On fait varier l’excentricité $d$ et on prend $p=2$, $F$ désigne le foyer qui a été choisi comme pôle :

6.6  Équation polaire de la cissoïde droite

Soit un repère $Oxy$ orthonormé.
Soient les points $A=(0,0)$ et $B=(a,0)$. On considère le cercle $c$ de diamètre $AB=a$, sa tangente $t$ en $B$ et un point $D$ sur $t$.
La droite $AD$ coupe le cercle $c$ en $E$.
On définit Le point $M$ par $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{ED}$.
La cissoïde droite ou cissoïde de Dioclés est obtenu comme le lieu du point $M$.
Soit $\theta$ l’angle polaire de $M$, on a :
$AD=a/\cos(\theta)$, $AE=a\cos(\theta)$ donc $AM=AD-AE=a(1-\cos(\theta)^2))/\cos(\theta)$
Son équation cartésienne est donc : $$\rho=a\frac{\sin(\theta)^2}{\cos(\theta)}$$ Son équation cartésienne est $x(x^2+y^2)=ay^2$. Pour $a=2$, on fait varier l’angle $t$ de $AD$ avec $Ox$ :

6.7  Équation polaire de la strophoïde droite

Soit un repère $Oxy$ orthonormé.
On considère les points $A=(-a,0)$ et $B=(0,b)$ et $d$ la droite $AB$.
Soient $M$ et $N$ les points de $d$ définis par $BM=BN=BO$ i.e. $B$ milieu de $MN$ et $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{MN}$ ont même direction.
Le triangle $OMN$ est donc rectangle en $O$.
La strophoïde droite est le lieu des points $M$ et $N$ lorsque $b$ varie.
Soient $\phi=(\overrightarrow{AO},\overrightarrow{AB})$,
$\theta=(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{ON})$,
$\alpha=(\overrightarrow{NA},\overrightarrow{NO})=(\overrightarrow{ON},\overrightarrow{OB})=\pi/2-\theta$
On a : $\theta=\phi+\alpha$ donc
$\theta-\phi=\alpha=\pi/2-\theta$ et $\phi=2\theta-\pi/2$.
En considérant le triangle $AON$ on a :
$ON/\sin(\phi)=a/\sin(\alpha)=a/\sin(\theta-\phi)=a/\cos(\theta$ donc
$\rho=a\sin(2\theta-\pi/2)/\cos(\theta)=-a\cos(2\theta)/\cos(\theta)$.
donc son équation polaire est : $$\rho=-a\frac{\cos(2\theta)}{\cos(\theta)}$$ et son équation cartésienne est $x(x^2+y^2)=a(x^2-y^2)$, Pour $a=1$ on fait varier l’angle polaire $u$ de $N$ :

6.8  Équation polaire de la trisectrice de Mac-Laurin

Cette courbe a servi à Mac-Laurin pour donner des solutions à la trisection d’un angle mais je ne sais pas comment...
Soit un cercle $\Gamma$ d’équation $(x-4a)^2+y^2=(4a)^2$ et une droite $\Delta$ d’équation $x=-2a$. On fait pivoter autour de $O$ une droite $d$ qui coupe $\Gamma$ en $P$ et $\Delta$ en $Q$. La trisectrice de Mac-Laurin est le lieu du milieu $M$ de $PQ$.
Son équation cartésienne est $x(x^2+y^2)=a(3x^2-y^2)$, donc : $$\rho=4*a\cos(\theta)-\frac{a}{\cos(\theta)}$$ On choisit $a=1$ et on fait varier $t$ l’angle polaire de $M$ :

;

6.9  Équation polaire du limaçon de Pascal

$\rho=a+b\cos(\theta)$

6.10  Équation polaire de la cardioïde

$\rho=a(1+\cos(\theta))$
C’est un limaçon de Pascal pour lequel $b=1$.

6.11  La trisection d’un angle aigu avec un limaçon de Pascal

On considère un repère orthonormé $Oxy$. Soient le cercle $c$ de centre $A=(1,0)$ et de rayon 1 et un point $D$ de $c$.
On prolonge le segment $OD$ en $OC$ tel que $DC=1$.
Le lieu de $C$ est un limaçon de Pascal.
Si on considère $O$ comme pôle son équation polaire est :
$\rho=1+2\cos(\theta)$
Soit $D$ le point d’intersection de $OC$ avec $c$.
On cherche $a/3$ lorsque $a=(\overrightarrow{Ax},\overrightarrow{AC})$ est un angle aigu.
Soient $b=(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})$ et $t=(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OC})$
Alors on a $3b=a$.
En effet :
$a=t+b$ (car le triangle $DAC$ est isocèle) $a+b=2t$ (car le triangle $AOD$ est isocèle) On a $2t=2a-2b=a+b$ donc $a=3b$ On fait varier l’angle $a=(\overrightarrow{Ax},\overrightarrow{AC})$ :

On a défini :
le point $C$ comme étant sur le limaçon de Pascal en vérifiant $(\overrightarrow{Ax},\overrightarrow{AC}]=a$ et le point $D$ comme étant sur le cercle $c$ en vérifiant $(\overrightarrow{Ax},\overrightarrow{AD}]=4a/3$.
On vérifie que $D$ se trouve bien sur la droite $d$ (d:=droite(0,C)) : est_element(evalf(D),evalf(d)) ok
Remarque
Voici en rouge la trisectrice de Mac Laurin et en noir le limaçon de Pascal servant à la trisection d’un angle pour lequel le cercle $c$ est de de centre $A=(3,0)$ et de rayon 3.
gl_ortho=1;gl_x=-2..10;gl_y=-3..4;plotpolar(4*cos(t)-1/cos(t),t=-1.57..1.57,affichage=1);plotpolar(3*(1+2*cos(t)),t=-pi..pi) ok

6.12  Équation polaire de la lemniscate de Bernoulli

On considère un repère orthonormé $Oxy$.
Soient $c$ un réel positif et deux points $F_1=(-c,0)$ et $F_1=(c,0)$.
La lemniscate de Bernoulli est le lieu des points tels que $MF_1*MF_2=OF_1^2=c^2$ Soit $A_1A_2$ est le diamètre de la lemniscate de Bernoulli ($A_1=(-a,0)$ et $A_2=(a,0)$ avec $a>0$) on a :
$A_2F_1*A_2F_2=(A_2O+OF_1)*(A_2O-OF_1)=a^2-c^2=c^2$ donc $a=c\sqrt 2$.
Si on considère $O$ comme pôle si $\rho,\theta$ son les coordonnèes polaires de $M$ on a :
$MF_1^2*MF_2^2=(c^2+\rho^2+2c\rho\cos(\theta)(c^2+\rho^2-2c\rho\cos(\theta)=c^4$,
$MF_1^2*MF_2^2=(c^2+\rho^2)^2-(2c\rho\cos(\theta))^2=c^4$
Donc :
$\rho^2(\rho^2+2c^2(1-2\cos(\theta)^2)=\rho^2(\rho^2-2c^2\cos(2\theta))=0$ Donc puisque $2c^2=a^2$ l’équation polaire est :
$\rho=\pm a\sqrt{\cos(2\theta)}$

6.13  Équation polaire de la lemniscate de Gerono

$\rho=\pm a\sqrt{\cos(2\theta)}/\cos(t)^2$
c’est un cas particulier pour $b=0$ de la courbe $(x^2+by)^2=a^2(x^2-y^2)$ appelée besace.

6.14  Équation polaire de la courbe du diable

Son équation cartésienne est $y^4-x^4-b^2(y^2-x^2)+a^2(y^2+x^2)=0$ donc $$\rho=\pm \sqrt{b^2+\frac{a^2}{\cos(2\theta)}}$$ On choisit ici $b=7a$.

7  Folium

7.1  Le folium de Descartes

Soit un repère orthonormé $Oxy$.
Soient $A$ un point de coordonnées $(a,a)$ et deux paraboles $P$ et $Q$ d’équations respectives $y=x^2/a$ et $y^2=a*x$. Une droite $d$ d’angle polaire $\theta$ coupe $P$ en $B$ et $Q$ en $C$.
Le folium de Descartes est le lieu du point $M$ conjugué harmonique de $O$ par rapport à $B$ et $C$ lorsque $\theta$ varie._ On a :
$d$ a pour équation $y=x\tan(\theta)$
$B$ a pour coordonnées : $(a\tan(\theta),a\tan(\theta)^2)$; $C$ a pour coordonnées : $(a/\tan(\theta)^2,a/\tan(\theta))$; Donc :
$OB^2=a^2\tan(\theta)^2/cos(\theta)^2$ et $OC^2=a^2\cos(\theta)^2/sin(\theta)^4$ $(B,C,O,M)=-1$ donc : $$\frac{2}{\overline{OM}}=\frac{1}{\overline{OB}}+\frac{1}{\overline{OC}}$$ Donc $$\overline{OM}=\frac{2\overline{OB}\overline{OC}}{\overline{OB}}+\frac{1}{\overline{OC}}$$ On a donc $$\rho=overline{OM}=\frac{2a\sin(\theta)\cos(\theta)}{\cos(\theta)^3+\sin(\theta)^3}$$

Le folium de Descartes a pour équation polaire : $$\rho=\frac{a\sin(2\theta)}{\cos(\theta)^3+\sin(\theta)^3}$$ Son équation cartésienne est : $x^3+y^3=2axy$
On choisit $a=2$ et on fait varier $t$ l’angle polaire de $M$ :

7.2  Le folium parabolique

Soit un repère orthonormé $Oxy$.
Soient $A$ le point coordonnées $(a,0)$, $B$ le point coordonnées $(0,b)$ et $K$ le point coordonnées $(a,b)$.
Une droite $d$ d’angle polaire $\theta$ coupe $AC$ en $N$.
On construit un rectangle $MNPQ$ tel que :
$P$ soit sur la droite $BC$, $Q$ soit sur la droite $AC$ et $M$ soit sur la droite $ON$.
Le folium parabolique est le lieu de $M$ quand $\theta$ varie.
Comment construit-on le rectangle $MNPQ$ ? Considerons comme nouveau repère le repère d’origine $K$ et d’axes parallèle aux axes $Ox$ et $Oy$ Dans le repère $Oxy$, $N$ a pour coordonnèes $(a,a\tan(\theta))$ et dans le repère $KXY$, $N$ a pour coordonnèes $(0,c$ avec $c=\tan(\theta)a-b$.
Dans le repère $Oxy$, la droite $ON$ a pouréquation $(y=\tan(\theta)x)$ et dans le repère $KXY$, la droite $ON$ a pouréquation $(y=\tan(\theta)x)+c$.
La droite $NP$ est perpendiculaire en $N$ à la droite $ON$, elle a donc comme équation dans le reère $KXY$ : $Y=-X/\tan(\theta)+c$.
Le point $P$ se trouve sur l’axe $KX$ et sur la droite $NP$ donc dans le repère $KXY$, $P$ a pour coordonnèes $(c\tan(\theta),0)$.
Dans le repère $KXY$, $Q$ a pour abscisse $0$ et pour ordonnée $-\tan(\theta)*X_P=-c\tan(\theta)^2$ car il est sur la droite d’équation $Y=\tan(\theta)(X-X_P)+Y_p$ donc puisque $c=-b+a\tan(\theta)$,
dans le repère $Oxy$, $Q$ a pour abscisse $a$ et pour ordonnée $b(1+\tan(\theta)^2)-a\tan(\theta)^3$.
Le calcul des coordonnées de $Q$ est injutile car on sait que le milieu $I$ de $NQ$ est aussi le milieu de $MP$ et $I$ se trouve sur l’axe $KY$, donc $M$ se trouve sur la droite homothétique de $IY$ dans l’homothétie de centre $P$ et de rapport 2.
Donc dans le reère $KXY$, $M$ a pour abscisse $-c\tan(\theta)$ et puisque $M$ se trouve sur la droite $ON$, son ordonnée est $-c\tan(\theta)^2)+c$ et dans le repère $Oxy$, $M$ a pour coordonnèes ($c=-b+a\tan(\theta)$) :
$(a-c\tan(\theta),b-c\tan(\theta)^2)+c)=(a+b\tan(\theta)-a\tan(\theta)^2,a\tan(\theta)+b\tan(\theta)^2-a\tan(\theta)^3$.
On a bien $y_M=\tan(\theta)x_M$ :
$y_M=a\tan(\theta)+b\tan(\theta)^2-a\tan(\theta)^3=\tan(\theta)(a+b\tan(\theta)-a\tan(\theta)^2)$
$x_M=a(1-\tan(\theta)^2)+b\tan(\theta)=(2a\cos(2\theta)+b\sin(2\theta))/-\cos(\theta)^2$.
Donc $OM^2=x_M^2(1+\tan(\theta)^2=x_M^2/\cos(\theta)^2$ donc :
Le folium parabolique a pour équation polaire : $$\rho=\frac{2a\cos(2\theta)+b\sin(2\theta)}{2\cos(\theta)^3}$$ Son équation cartésienne est : $x^3=a(x^2-y^2)+bxy$
On choisit $a=3$ et $b=2$ et on fait varier $t$ :

On vérifie que $MNPQ$ est bien un rectangle :
est_rectangle(M,N,P,Q) ok

7.3  Le folium simple ou ovoïde

Le folium simple ou ovoïde a pour équation polaire : $$\rho=a\cos(\theta)^3$$ Son équation cartésienne est : $(x^2+y^2)^2=ax^2$
Cette courbe passe par $O$ avec un rayon de courbure nul et passe par $A(a,0)$.

7.4  Le bifolium

Soit un repère orthonormé $Oxy$.
Soit $c$ un cercle qui passe par $O$ et qui coupe $Ox$ en $A$ de coordonnées $(a,0)$ et $Oy$ en $B$ de coordonnées $(0,b)$.
Soit $P$ un point de $c$ qui se projette en $Q$ sur $Ox$.
Le bifolium est le lieu de la projection $M$ de $Q$ sur $OP$ lorsque $P$ varie sur $c$.
Le cercle $c$ a pour équation $x^2+y^2-2ax-2by=0$.
Le point $P$ d’angle polaire $\theta$ a comme coordonnées $(x_P,y_P)$ qui vérifie $y_P=\tan(\theta)x_p$ et $x_P^2+y_P^2-ax_P-by_P=0$ donc
$x_P=(a+b\tan(\theta))/(1+\tan(\theta)^2)=(a+b\tan(\theta))\cos(\theta)^2$
$y_P=(a\cos(\theta)^2+b\sin(\theta)^2)\tan(\theta)$
$Q$ a pour coordonnées $(x_Q,y_Q)=(x_P,0)=((a+b\tan(\theta))\cos(\theta)^2,0)$.
$M$ a pour coordonnées $(x_M,y_M)$.
$M$ est sur $OP$ donc $y_M=\tan(\theta)x_M$ et $M$ est sur la perpendiculaire en $Q$ à $OQ$ d’équation $y=-1/\tan(\theta)(x-x_Q)+y_Q=(x_Q-x))/\tan(\theta)$ donc $(x_Q-x_M))=\tan(\theta)^2x_M$:
$x_M=(a+b\tan(\theta))\cos(\theta)^2/(\tan(\theta)^2+1)=(a+b\tan(\theta))\cos(\theta)^4$ et
$y_M=\tan(\theta)x_M=(a+b\tan(\theta))\cos(\theta)^3\sin(\theta)$
$OM^2=x_M^2+y_M^2=x_M^2(1+\tan(\theta)^2=x_M^2/\cos(\theta)^2$
donc $\rho=x_M/\cos(\theta)=(a+b\tan(\theta))\cos(\theta)^3=(a\cos(\theta)+b\sin(\theta)\cos(\theta)^2$.
Le bifolium a pour équation polaire : $$\rho=\cos(\theta)^2(a\cos(\theta)+b\sin(\theta))$$ Son équation cartésienne est : $(x^2+y^2)^2=x^2(ax+by)$
On choisit $a=1$ et $b=2$, puis on fait varier $t$ :

7.5  Le trifolium

Soit un repère orthonormé $Oxy$.
Soit $c$ un cercle qui passe par $O$ et qui coupe $Ox$ en $A$ de coordonnées $(a,0)$ et $Oy$ en $B$ de coordonnées $(0,b)$.
Soit $P$ un point de $c$. Sur la parallèle à $Ox$ passant par $P$ on porte $PM=PN=OP$.
Le trifolium est le lieu de $M$ et $N$ lorsque $P$ varie sur $c$.
Le cercle $c$ a pour équation $x^2+y^2-ax-by=0$.
Le point $P$ d’angle polaire $\theta$ ($\theta\in [0,\pi]$) a des coordonnées $(x_P,y_P)$ qui vérifient :
$y_P=\tan(\theta)x_P$ et $x_P^2+y_P^2=ax_P+by_P$ donc
$x_p=(a+b\tan(\theta))\cos(\theta)^2$, $y_P=\tan(\theta)x_P$.
On a donc :
$OP^2=x_p^2(1+\tan(\theta)^2)=(a+b\tan(\theta))^2\cos(\theta)^2$ soit :
$OP=abs(b\tan(\theta))\cos(\theta))=abs(a\cos(\theta)+b\sin(\theta))$
Le triangle $OMN$ est rectangle en $O$ et $P$ est le milieu de $MN$ donc les points $M$ et $N$ ont comme angles polaires respectifs $\alpha_M=\theta/2$ et $\alpha_N=\theta/2+\pi/2=\alpha_M+\pi/2$.
Donc on a :
$OM=2\cos(\alpha)OP=2\cos(\alpha_M)*abs(a\cos(2\alpha_M)+b\sin(2\alpha_M))$ et
$ON=2\cos(\pi/2-\alpha_M)OP=2\sin(\alpha_M)*abs(a\cos(2\alpha_M)+b\sin(2\alpha_M))$ ou encore
$ON=2\sin(\alpha_N-\pi/2)*abs(a\cos(2\alpha_N-\pi)+b\sin(2\alpha_N-\pi))$
Donc :
$OM=2\cos(\alpha_M)*abs(a\cos(2\alpha_M)+b\sin(2\alpha_M))$ et
$ON=-2\cos(\alpha_N)*abs(-a\cos(2\alpha_N)-b\sin(2\alpha_N))$
Donc on réunit les 2 définitions et on définit $M$ pour $0<\alpha_M)<\pi$ par :
$OM=2\cos(\alpha_M)*(a\cos(2\alpha_M)+b\sin(2\alpha_M)$

Le trifolium a donc pour équation polaire pour $0<\alpha)<\pi$: $$\rho=2\cos(\alpha)(a\cos(2\alpha)+b\sin(2\alpha))$$ Son équation cartésienne est : $(x^2+y^2)^2=2ax(x^2-y^2)-4bx^2y$
On choisit $a=3$ et $b=1$ et on fait varier $\alpha=\theta/2$ :

On peut aussi avoir un seul point qui parcourt le trifolium en remplacant : (M,N):=inter(cercle(P,longueur(0,P)),D); par :
L:=inter(cercle(P,longueur(0,P)),D):;si t<-pi/4. or t> pi/4. alors M:=L[0];sinon M:=L[1];fsi; et en faisant varier $t$ entre $-\pi/2$ et $\pi/2$ :

Ou avec la fonction $f$ :

f(L,t):=si t<-pi/4. or t> pi/4. alors return L[0];sinon return L[1];fsi:;

okonload

8  Les podaires de l’astroïde

8.1  L’astroïde

Définition
La podaire d’une courbe $\mathbb{C}$ par rapport à un point $O$ est le lieu des projections orthogonales de $O$ sur les tangentes à $\mathbb{C}$.
L’astroïde est une hypocycloïde à 4 rebroussements : c’est la courbe engendrée par un point pris sur la circonférence d’un cercle de rayon $R/4$ qui roule sans glisser à l’intérieur d’un cercle de rayon $R$.
L’astroïde est aussi l’enveloppe des segments $AB$ de longueur constante $l$ lorsque $A$ et $B$ décrivent 2 axes perpendiculaires.
Si on on choisit ces 2 axes comme repère $Oxy$ avec $A$ sur l’axe des $x$ et $B$ sur l’axe des $y$, on désigne par $P$ le quatrième sommet du rectangle $OAPB$. La projection $T$ de $P$ sur $AB$ est le point de contact de $AB$ avec l’astroïde.
L’astroïde a comme équation paramétrique $l*cos(t)^3+i*l*sin(t)^3$ lorsque $t\in [0,2\pi]$.
Si $l=1$ et si $A$ a pour coordonnées $(a,0)$ ($-1&lt;a&lt;1$) $b$ a pour coordonnées $(0,\pm\sqrt{1-a^2})$.
Pour décrire toute la courbe, on va faire varier $a$ entre -3 et 1 : si $-3&lt;a&lt;-1$, $A$ a pour coordonnées $(-a-2,0)$ ($-3&lt;a&lt;-1$ i.e. $-1&lt;-2-a&lt;1$), $B$ a pour coordonnées $(0,-\sqrt{1-(a+2)^2})$.
si $-1&lt;a&lt;1$, $A$ a pour coordonnées $(a,0)$ ($-3&lt;a&lt;-1$ i.e. $-1&lt;-2-a&lt;1$), $B$ a pour coordonnées $(0,+\sqrt{1-a^2})$.
Pour faire l’animation graphique, on écrit la fonction ab1(a) qui vaut a,sqrt(1-a^2) lorsque a>=-1 et qui vaut -a-2,-sqrt(1-(a+2)^2).

ab1(a):=ifte(a<-1,[-a-2,-sqrt(1-(a+2)^2)],[a,sqrt(1-a^2)]):;

okonload
Puis :

8.2  La rosace à 4 branches

La rosace à 4 branches est la podaire par rapport à l’origine d’une astroïde d’équation paramétrique $x+iy=a(\cos(\theta)^3+i\sin(\theta)^3)$
La rosace à 4 branches a pour équation polaire $\rho=a\sin(2\theta)$.
Pour faire l’animation graphique, on utilise la fonction ab1 précédente.

8.3  Le scarabée

Le scarabée est la podaire par rapport à l’origine d’une astroïde d’équation paramétrique $x+iy=b+2a(\cos(\theta)^3+i\sin(\theta)^3)\exp(i\pi/4)$.
Donc : $$\rho=a\cos(2\theta)-b\cos(\theta)$$ Cette courbe peut avoir des formes diverses : on prend ici $b=3$ et $a=5$.

Pour faire l’animation graphique, on modifie la fonction ab1 en la fonction ab2 :

ab2(a):=ifte(a<-1,[-a-2,-sqrt(1-(a+2)^2)]*exp(i*pi/4)+[-0.3,i*0.3],[a,sqrt(1-a^2)]*exp(i*pi/4)+[-0.3,i*0.3])

okonload
Puis :

8.4  La transformation de Joukowsky

Soit $M$ le point d’affixe $z=\frac{5}{3}(\cos(t)^3+i\sin(t)^3)$.
Lorsque $t$ varie entre $0$ et $2\pi$ le point $M$ décrit une astroïde. On considère la transformation de Joukowsky : $z-&gt;Z=\frac{z}{2}+\frac{1}{2z}$. Cette transformation transforme les astroïdes de paramètre $a$ (par ex $a=\frac{5}{3}$ en des courbes de Joukowsky.

9  Les conchoïdes

Définition
Soient une courbe $\Gamma$, un point $P$ de $\Gamma$, un point $O$ et une longueur $a$.
On appelle conchoïde de $\Gamma$ par rapport à $O$ le lieu des points $M_1$ et $M_2$ obtenu en portant sur la droite $OP$, $PM_1=PM_2=a$, lorsque $P$ varie sur $\Gamma$.

9.1  Le limaçon de Pascal

Le limaçon de Pascal est une conchoïde de cercle par rapport à un point de ce cercle.

9.2  La conchoïde de Nicomède

La conchoïde de Nicomède est la conchoïde de la droite $x=x_0$.
Son équation polaire est : $$\rho=\frac{x_0}{\cos(\theta)}\pm a$$ Si on prend $x_0=5$ on a :

10  Les spirales

10.1  Équation polaire de la spirale d’Archiméde

$\rho=a\theta$

10.2  Équation polaire de la spirale de Fermat

$\rho=\pm a\sqrt t$

10.3  Équation polaire de la spirale de Galilée

$\rho=k(1-a\theta^2)$

10.4  Équation polaire d’une spirale hyperbolique

$\rho=a/t$

10.5  Équation polaire d’une spirale logarithmique

$\rho=\exp(a\theta)$

10.6  Équation polaire de la courbe du spiral

$$\rho=\frac{1}{1+\exp(a\theta)}$$

10.7  Équation polaire d’une spirale parabolique

$\rho=a\pm\sqrt{2a\theta}$

10.8  Équation polaire d’une spirale de Poinsot

$$\rho=\frac{1}{\cosh(at)}$$

11  Les rosaces

1. $\rho=a\sin(2\theta)$
   = gl_ortho=1;gl_x=-1.5..1.5;gl_y=-1..1;plotpolar(a*sin(2*t),t=-pi..pi)

   Not evaled
2. $\rho=a+\cos(7\theta)$
   = plotpolar(a+cos(7*t),t=-pi..pi,tstep=0.01)

   Not evaled
3. $\rho=a+\cos(3\theta/2)$ et $\rho=a+\cos(5\theta/2)$
   = plotpolar(a+cos(3*t/2),t=-pi..pi,tstep=0.01)

   Not evaled
   = plotpolar(a+cos(5*t/2),t=-pi..pi,tstep=0.01)

   Not evaled
4. $\rho=a+\cos(3\theta/10)$
   = plotpolar(cos(3*t/10)+a,t=-10*pi..10*pi,tstep=0.01)

   Not evaled
5. $\rho=a+\cos(7\theta/4)$
   = plotpolar(a+cos(7*t/4),t=-4*pi..4*pi,tstep=0.01)

   Not evaled

12  Exercices

1. $\rho=\tan(\theta)+\tan(\theta/2)$
   gl_ortho=1;gl_x=-7..7;gl_y=-2..4;plotpolar(tan(t)+tan(t/2),t=0..2*pi,tstep=0.01) ok
   
2. $\rho=1/(\cos(\theta)+\sin(2\theta))$
   gl_ortho=1;gl_x=-10..10;gl_y=-5..5;plotpolar(1/(cos(t)+sin(2t)),t=0..2*pi,tstep=0.1) ok
   
3. $\rho=1/(\exp(\theta)-1)$
   gl_ortho=1;gl_x=-5..5;gl_y=-3..3;plotpolar(1/(exp(t)-1),t=-4*pi..4*pi,tstep=0.1) ok
   
4. $\rho=\tan(\theta)/(\tan(\theta)-1)$
   gl_ortho=1;gl_x=-5..5;gl_y=-3..3;plotpolar(tan(t)/(tan(t)-1),t=0..3.14,tstep=0.1) ok
   
5. $\rho=1/(1-2\sin(\theta/2))$
   gl_ortho=1;gl_x=-5..5;gl_y=-3..3;plotpolar(1/(1-2*sin(t/2)),t=-2*pi..2*pi,tstep=0.1) ok