Chapitre 21  Les limites

21.1  Un exercice sur limite et développement limité

21.1.1  L’énoncé

1/ Trouver le développement limité à l’ordre 4 autour de zéro de :

. 2/ Calculer :

3/ Soit g définie sur ]0;+∞ par :

Montrer que g admet une asymptote oblique au voisinage de +∞ et en donner une équation.

21.1.2  La solution avec Xcas

1/ On tape :
taylor(cos(sin(x)))
On obtient :
1+(x^2)/-2+(5*x^4)/24+x^6*order_size(x)
donc le développement limité à l’ordre 4 autour de zéro de f(x)=cos(sin(x)) est :
1+(x^2)/-2+(5*x^4)/24+x^5*є(x)
2/ On tape :
limit((cos(sin(x))-exp(-x^2))/x^2,x=0)
On obtient :
1/2
3/ On tape :
f(x):=cos(sin(x))
Puis, on tape :
series(x^2*(f(1/sqrt(x))-1),x=+infinity,4)
On obtient :
x/-2+5/24+(order_size(1/x))/x
Donc g admet une asymptote oblique au voisinage de +∞ déquation :
y=−x/2+5/24

21.2  Des calculs de limite

On tape :

limit((1-cos(x))*sin(x)^2/(x^3*ln(x+1)),x,0);
limit(sqrt(x^2+x+1)-sqrt(x^2+1),x,+infinity);
limit((x^n-y^n)/(x-y),x,t);
limit((x+1)/sqrt((x+1)/(x-1)),x,+infinity);
limit((1-2*x)/(x^2+x-2),x,1);
limit(exp(x*exp(-x)/(exp(-x)+exp(-2*x^2/(x+1))))/x,
      x,+infinity);
limit((exp(x*exp(-x)/(exp(-x)+exp(-2*x^2/(x+1))))-
      exp(x))/x,x,+infinity);

21.3  Des calculs de développements limités

On tape :

series(cos(x)/exp(x),x,0,4);
series(ln(cos(x)),x,0,4);
series(atan(x*y)+1-exp(x+y),x,1/2,2);
series(cos(x)*exp(2*x+1),x,0,4);
series(sin(sin(x)),x,0,7);