Capes et XcasRenee.Degraeve@wanadoo.fr Bernard.Parisse@ujf-grenoble.fr2010 |
On donne dans ce texte quelques informations pour les candidats au Capes désirant s’informer sur l’utilisation de Xcas pendant les oraux.
La liste des logiciels est disponible sur le site du jury de capes de maths :
http://capes-math.org/
Il s’agit de logiciels libres
ou gratuits, sauf les émulateurs de calculatrices (il existe des
versions d’essai d’un mois). Pour les émulateurs de calculatrices,
on note l’absence d’émulateur TI89/92/Voyage 200 (cet oubli
sera peut-être corrigé?). Merci de signaler des erreurs éventuelles.
Logiciel | Géo 2-d | 3-d | Graphes | Tableur | Suites | CAS1 | Algo |
Algobox | + | ||||||
ClassPad Manager | ++ | 2d 3d | ++ | + | ++ | += | |
Geogebra | +++ | 2d | + | = | + | ||
Geoplan/Geospace | += | + | 2d 3d | = | |||
Maxima | 2d 3d | = | +++ | ++ | |||
OpenOffice.org | 2d | +++ | = | ||||
Python | +++ | ||||||
Scilab | 2d 3d | (stats) | ++ | ||||
Sinequanon | + | 2d | (stats) | + | |||
TI-NSpire CAS TE | ++ | 2d | ++ | + | ++ | ++ | |
TI-SmartView 83+ | Cabri Jr | 2d | CellSheet | + | |||
Xcas | ++ | + | 2d 3d | ++ | += | +++ | +++ |
Bien entendu il y a une part de subjectivité dans le nombre de +
. Précisons un peu :
Maitriser un minimum Geogebra ou Open Office calc est certainement à la portée de tout le monde. Xcas nécessite un peu plus d’apprentissage, mais avec un seul logiciel, on est sur de ne faire aucune impasse (et faire l’impasse sur l’algorithmique est probablement risqué!). C’est vrai dans une moindre mesure des deux autres intégrés (émulateurs TI et Casio), mais avec l’inconvénient d’utiliser un logiciel propriétaire (avec seulement une version d’essai gratuite).
On donne ici quelques noms de commande et des pistes pour les candidats souhaitant illustrer avec l’outil informatique une lecon de l’oral 1. Ces pistes ne sont naturellement pas exhaustives et ne doivent évidemment pas prendre le pas sur la lecon elle-même, cela peut par exemple être une commande de tracé de graphe de fonction, une ou deux commandes pertinentes pour illustrer par un exemple et ne doit pas prendre beaucoup de temps de préparation (en tout cas pas plus d’1/2 heure sur les 2h1/2)
comb, perm, factorial
alea
binomial, binomial_cdf, binomial_icdf
poisson, poisson_cdf, poisson_icdf
,
normald, normald_cdf, normald_icdf
mean, stddev, variance
,median, quartile1, quartile3, moustache
,correlation, covariance
,linear_regression, linear_regression_plot
et variantes,binomial_icdf, normald_icdf, poisson_icdf
.iquo, irem, idivis
gcd, lcm
,iegcd
,isprime, nextprime, prevprime, ifactor
irem, smod, powmod, ichinrem
forme_canonique
, solve, csolve
,factor, cfactor
abs, arg, exp2trig, trig2exp
,affixe, similitude
,
les fonctions de géométrie 2-d de Xcas travaillent avec des nombres complexes
solve, linsolve
droite, parallele, perpendiculaire
,inter_unique
, equation, parameq
droite, plan
,parallele, perpendiculaire
,equation, parameq
, inter_unique
tangent
, equation, parameq
barycentre
, isobarycentre
produit_scalaire
cross, dot
limit
)
plotseq
, tableseq
), rsolve
limit
plot, limit
plotparam, parameq
int
ibpdv
, ibpu
, subst
,tlin, trig2exp, lin
,halftan, partfrac
,desolve
, plotode, plotfield
series, divpc
sum
, manuel de programmation
fourier_an, fourier_bn, fourier_cn
laplace, ilaplace
area
, plotarea
Attention, il n’y a que 2h1/2 de préparation pour la partie mathématique et la partie agir en fonctionnaires, il ne faut donc pas passer beaucoup de temps de préparation sur une illustration informatique (mais bien évidemment si une illustration est explicitement demandée, par exemple une figure, il faut quand même se donner le temps de la faire).
Sessions Xcas correspondant aux exercices de l’oral 2006
Des exemples de sessions correspondant aux énoncés donnés à l’oral 2
du Capes 2006 sont disponibles depuis le menu Aide, Exemples, Capes2006.
Corrigés d’exercices épreuve expérimentale TS.
Ces exercices sont dans l’esprit de certains exercices
qui peuvent être proposés pour l’oral 2.
Voir la page
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/irem.html#bacs
Corrections d’exercices donnés à l’oral 2 du capes 2008
La suite de cette section donne des solutions avec Xcas de ces exercices
mais n’est en aucun cas un corrigé-type de ce qu’on attend d’un candidat
le jour de l’oral 2 :
cela aurait pu constituer une partie de l’exposé du candidat. Le classement
par thèmes peut également servir de pistes d’illustrations pour l’oral 1.
(E) y′+(1 +tan(x))y=cos(x) (E0) y′+ y =1 |
Attention
Le premier argument de fieldplot et de
interactive_plotode est la fonction h(x,y) qui est la valeur de
y’.
On continue par l’équation (E) y′=cos(x)−(1 +tan(x))y.
Pour des facilités de mise en œuvre,
on ouvre un écran de géométrie et on utilise le menu :
Graphe->Slopefield/Ode(2d)
qui ouvre une boite de dialogues que l’on remplit :
Puis on tape sur OK.
On obtient le champ des tangentes de (E) et la commande :
Puis on clique en un point dans l’écran de géométrie et on obtient une courbe intégrale de (E) passant par ce point et la commande :
etc...
On obtient :
Attention
Lorsque le champ des tangentes est normalisé, les tangentes
sont centrées au point de contact, et si le champ des tangentes n’est pas
normalisé, les tangentes ont pour origine le point de contact et indique la
vitesse en chaque point.
On remarque qu’on obtient les solutions de (E) en multipliant les solutions de (E0) par cos(x).
^
2+ sin(x)*f(x))/ (cos(x)^
2)Ou bien, on transforme (E).
On remplace f(x) cos(x)*g(x)) et on transforme la fonction tan en les fonctions sin et cos et on tape :
On obtient l’équation que doit vérifier g :
f(x)′+(1+tan(x))*f(x)−cos(x) et f(0)=0 |
g(x)′+g(x)=1 et g(0)=0 |
On tape :
et pour comparer avec la solution approchée :
On obtient :
assume(a=[1,-5,5,0.1]); c:=cercle(0,a):;c; A:=point(a); assume(p=[0.5,-5,5,0.1]); assume(q=[0.3,-5,5,0.1]); P:=point(p,q); d:=droite(A,P):;d; B:=normal(inter(c,d)[0]); E:=point(-a); L:=inter(c,parallele(P,droite(B,E))):; A1:=L[0]; B1:=L[1]; d1:=droite(A1,B1):;d1; I:=milieu(A,B1);On obtient :
^
2+p^
2+q^
2^
2+p^
2+q^
2Donc PC*PD=PA*PB.
Le point P est entre A et B et P,A,B sont alignés
donc PA*PB=d2−r2
^
2+q^
2)^
2-p^
2-q^
2)*sqrt(q^
2+p^
2+a^
2-2*a*p))/ (a^
2-2*a*p+p^
2+q^
2)^
2-p^
2+a^
2a) Résoudre l’équation f(x)=x.
b) Montrer que pour tout x ∈[0, 1], on a f(x)≥ x.
^
2-15*x-7)/ ((2*(-(sqrt(2)))*x+2*(-(sqrt(2)))-sqrt(x+1))* ((-2*sqrt(2))*x-2*sqrt(2)))^
2*7 i.e
28=22*7. Les diviseurs de
22 sont [1,2,4] et ceux de 7 sont [1,7].^
4*31.^
3*3^
2*5) =
[1,2,4,8,3,6,12,24,9,18,36,72,^
p,p,0,n)^
(n+1)-1^
p+2^
p*(2^
(n+1)-1),p,0,n))^
(n+1)*(2^
(n+1)-1)^
n*(2^
(n+1)-1))))^
3*3*5)a*b+1=2n+1 |
∑L0=∑[1,2,...2n]=2n+1−1 |
2n(2n+1−1) il y aura :
L0, a*L0, b*L0, a*b*L0 |
On a :
1+a+b+a*b>(a*b+1)=2n+1=2*2n |
donc, si (2n+1−1) n’est pas premier 2n(2n+1−1) n’est pas parfait.
Dans la suite de l’exercice, on prendra λ= 0.2.
p([0, t[)=λ |
| exp(−λ x) dx |
p([0, +∞[)=λ |
| exp(−λ x) dx=1 |
p(X=k)=C10kexp(−0.2*3*k)*(1−exp(−0.2*3)10−k |
^
(10-k),k,0,10))^
6 d:=droite(0,1):;d; d1:=droite(0,1+i):;d1; O:=point(0); assume(t=[4,-5,7,0.1]); A:=point(a); B:=rotation(0,pi/4,A); segment(A,B); assume(t=[0.3,0,1,0.1]); M:=element(segment(A,B),t); dist:=longueur(M,d)+longueur(M,d1); A1:=point(2*sqrt(2)); B1:=rotation(0,pi/4,A1); M1:=element(segment(A1,B1),t); s(M):=normal(longueur(M,d))+normal(longueur(M,d1)); normal(s(M1));On obtient :
^
2*t+(sqrt(2))/4*a^
2^
2,(sqrt(2))/4*a^
2^
2)/2=2,x))On obtient :
On tape :
assume(y>0);assume(X>0); E1:=normal(subst(subst(sd(x,y)-2,x=X+y),X=x-y)); assume(y>0);assume(X<0); E2:=normal(subst(subst(sd(x,y)-2,x=X+y),X=x-y)); assume(y<0);assume(X>0); E3:=normal(subst(subst(sd(x,y)-2,x=X+y),X=x-y)); assume(y<0);assume(X<0); E4:=normal(subst(subst(sd(x,y)-2,x=X+y),X=x-y)); plotimplicit(E1,x,y); plotimplicit(E2,x,y); plotimplicit(E3,x,y); plotimplicit(E4,x,y); affichage(droite(y=x),1);
On obtient :
F( x)= | ∫ |
| ekt2dt |
(E ) ln x = k x2 |
^
2),t,0,x)^
2),t,0,x)^
2) ^
2)=x0.^
2)=x) ^
2)=ln(x)^
2)^
2,x=-5.0..5.0125)^
2)Il y a alors :
^
2-ln(x) ^
2-ln(x)0.652918640419<x0<0.652918640420 |
b) Montrer que le plan (I J K ) coupe [S D] en son milieu.
A:=point([0,0,0]); B:=point([0,4,0]); D:=point([4,-1,0]); parallelogramme(A,B,D,C); S:=point(2,2,4); I:=milieu(A,S); J:=milieu(B,S); K:=milieu(C,S); polyedre(A,B,C,D,S)On obtient :
Supposons qu’il existe trois entiers naturels x, y et z tels que :
x2 + y2 + z2=−1 (mod 2n ).
a) Montrer que les entiers x, y et z sont tous impairs ou que deux d’entre eux sont pairs.
b) On suppose que x et y sont pairs et que z est impair. Montrer qu’on a alors x2 + y2 +z2= 1 (mod 4) et en déduire une contradiction.
c) On suppose que x, y et z sont impairs.
Montrer qu’on a
x2 + y2 + z2=3 (mod 8) et conclure.
^
2+3^
2+5^
2)% (2^
2)^
2+(2*q+1)^
2+(2*r+1)^
2)% 4^
2+(2*q+1)^
2+(2*r+1)^
2)%4^
2+(2*q)^
2+(2*r+1)^
2)%4^
2+(2*q)^
2+(2*r)^
2)%4^
2 %8, (4*n+3)^
2 %8x2 + y2 + z 2 = 3 (mod 8) |
On note a la distance de (d) à (d1) et b celle de (d) à (d2) ; on se propose de calculer, en fonction de a et b, l’aire du triangle ABC.
C:=point(0); assume(a=[3,0,5,0.1]); assume(b=[1.0,0,5,0.1]); d1:=droite(y=a); d11:=rotation(0,pi/3,d1,affichage=1); d2:=droite(y=-b); B:=inter_unique(d11,d2); A:=rotation(0,-pi/3,B); c:=circonscrit(A,B,C); P:=inter(c,droite(y=0))[1];On obtient :
^
2+4*a*b+4*b^
2)/3AB2=AP2+BP2−2AP*BPcos( |
| )=AP2+BP2+AP*BP |
^
2*sqrt(3)+a*b*sqrt(3)+b^
2*sqrt(3))/3^
2+(a+b)^
2)^
2+4*a*b+4*b^
2)/3^
2+(a+b)^
2)*sqrt(3)/4)^
2+sqrt(3)*a*b+sqrt(3)*b^
2)/3APC=ABC= |
|
BPC=BAC= |
|
sin(APC)=sin( |
| )= |
| = |
|
sin(BPC)=sin( |
| )= |
| = |
|
AP= |
| et BP= |
|
AB2=AP2+BP2−2AP*BP*cos( |
| )= |
|
|
F (x) = | ∫ |
|
| dt |
On considère la fonction u définie sur [0, +∞[ par :
u(x) = |
|
b) En déduire que, pour tout réel x ∈ [0, +∞[, on a F∘ u (x) = x.
c) Calculer F(2).
^
2),t,0,x)^
2+1))/(x^
2+1)^
2),t,0,u(x))H(x)=F∘ u (x) = x, si x ∈ [0, +∞[ |
^
2+1)-x))^
2+1)-x))- ln(sqrt(x^
2+1)+x)))F(x)=ln( | √ |
| +x) |
Soit M un point du plan d’affixe z.
Montrer que M appartient à (Ta) si et seulement si z−a/a est imaginaire pur.
c:=cercle(0,1):;c; assume(ta=[0.4,-3.2,3.2,0.1]); A:=point(exp(i*ta)); a:=affixe(A); Ta:=tangente(c,A):;Ta; assume(tt=[0.7,-5,5,0.1]); M:=element(Ta,tt); m:=affixe(M); N:=point(a+a*i*tt); assume(tb=[1.3,-3.2,3.2,0.1]); B:=point(exp(i*tb); b:=affixe(B); Tb:=tangente(c,B):;Tb; K:=inter_unique(Ta,Tb);On obtient : Dans la figure ci-dessus, le point M sur la tangente Ta et le point N est un point d’affixe n=a+a*i*tt c’est à dire tel que n−a/a est imaginaire pur.
` x`
désigne la partie réelle de r) :
|
|
|
|
|
|
|
La probabilité d’obtenir exactement une boule blanche à l’issue des deux tirages est :
|
|
|
|
|
|
| 1 |
|
|
|
|
O1:=point(-4); c1:=cercle(O1,1); O2:=point(-1); c2:=cercle(O2,2); O3:=point(69/10); c3:=cercle(O3,59/10); A:=point(-5); c:=cercle(A,O3,affichage=1); L:=inter(c,c3):; M:=L[0];d:=droite(A,M); N:=L[1];droite(A,N); H:=projection(d,O2); LL:=inter(c2,d):; B:=affichage(LL[0],quadrant4); C:=affichage(LL[1],quadrant3); segment(O2,H,affichage=1); segment(O3,M,affichage=1);On obtient :
^
2))In = | ∫ |
| x2(lnx)ndx |
In+1= |
| − |
| In |
b) Démontrer les propriétés conjecturées à la question 2) a).
^
2*ln(x)^
n,x,1,e)^
3+1/9^
2*ln(x)^
(n+1),ln(x)^
(n+1)))^
3*ln(x)^
(n+1))/3, ((-(x^
2))*(n+1)*ln(x)^
(n+1))/(3*ln(x))]On tape :
^
3*ln(x)^
(n+1)/3,1,e)On obtient :
^
3Donc
In+1= |
| − |
| In |
| = | ∫ |
|
| dx≤ In ≤ | ∫ |
| e3* |
| dx= |
|
|
| <In< |
|
| <In< |
|
^
3*48/(50*51)) renvoie :^
3*(49^
2+2*49+6)/(50*51*52)) renvoie :0.378080695024709039824<I49<0.379443966761576981074 |
^
2*ln(x)^
49,x,1,exp(1))− |
| *exp(1)3− |
|
On note (d0) la parallèle à (B C) passant par A et (d1) la médiane issue de A dans ABC.
Pour tout point M distinct de A, on note dB et dC les distances respectives de B et C à la droite (AM).
a) Montrer que si M∈ L alors dB = dC.
b) En déduire que J est le milieu de [B C].
A:=point(-2,-2,'couleur'=0); B:=point(3,1,'couleur'=0); C:=point(-2,3/2,'couleur'=0); d0:=parallele(A,droite(B,C), affichage=1); T:=triangle(A,B,C):;T; d1:=mediane(A,B,C,affichage=1); assume(t=[0.4,-5.0,5.0,0.0]); M:=element(d0,t); N:=element(d1,t); normal(aire(A,M,B)); normal(aire(A,M,C)); normal(aire(A,N,B); normal(aire(A,N,C);On obtient (attention avec Xcas les aires sont algébriques !) :
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ |
|
Montrer qu’il existe un quadrilatère M1 M2 M3 M4 dont les milieux des côtés sont les points A1,A2,A3 et A4 si et seulement si le quadrilatère A1 A2 A3 A4 est un parallélogramme.
Montrer que, dans ce cas, le point de concours des diagonales du parallélogramme A1 A2 A3 A4 est l’isobarycentre des points M1,M2,M3 et M4.
On obtient :
| =b1, |
| =b2, |
| =b3, |
| =b4 |
a1=2b1,a2=2b2,a3=2b3,a4=2b4 |
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ |
|
| − |
| + |
| − |
| =b1−b2+b3−b4=0 |
A1:=milieu(M1,M2); A2:=milieu(M3,M2); A3:=milieu(M3,M4); A4:=milieu(M1,M4); polygone(M1,M2,M3,M4); polygone(A1,A2,A3,A4,affichage=1);On obtient : On tape :
N2:=symetrie(B1,N1); N3:=symetrie(B2,N2); N4:=symetrie(B3,N3); N1N:=symetrie(B4,N4) polygone_ouvert(N1,N2,N3,N4,N1N,affichage=1);On obtient :
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