Agrégation interne de mathématiques  2003

Epreuve d'Algèbre et Géométrie

liste des leçons - concours 2002

101.

Parties génératrices d'un groupe (les généralités sur les groupes seront supposées connues). Exemples.

116.

Sommes et sommes directes de sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel. Exemples.

102.

Groupes monogènes, groupes cycliques. Exemples.

117.

Rang en algèbre linéaire (on se limitera à des espaces vectoriels de dimension finie).

103.

Exemples de groupes finis. Applications.

118.

Formes linéaires, hyperplans, dualité (on se limitera à des espaces vectoriels de dimension finie).

104.

Groupes opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

119.

Algèbre des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie.

105.

Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

120.

Changements de bases en algèbre linéaire (applications linéaires, formes bilinéaires...). Applications.

106.

Congruences dans  Z, anneau  . Applications.

121.

Opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes d'une matrice. Applications.

107.

Propriétés élémentaires liées à la notion de nombre premier.

122.

Déterminants. Applications.

108.

PGCD, PPCM dans  Z, théorème de Bézout, applications.

123.

Trigonalisation des endomorphismes, sous-espaces caractéris-tiques, applications.

109.

PGCD dans  K [ X ], théorème de Bézout. Applications.

124.

Endomorphismes diagonalisables.

110.

Bases de numération d'entiers. Applications.

125.

Groupe des homothéties-translations dan le plan. Exemples et applications.

111.

Ecriture décimale d'un nombre réel ; cas des nombres rationnels.

126.

Espaces vectoriels euclidiens (donc de dimension finie). Groupe orthogonal.

112.

Polynômes irréductibles à une indéterminée sur un corps commutatif. Factorisation. Cas des corps  R  et  C

127.

Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 3.

113.

Racines d'un polynôme à une indéterminée sur un corps commutatif, multiplicité. Relations entre les coefficients et les racines d'un polynôme scindé. Applications.

128.

Formes quadratiques sur un espace vectoriel sur  R ou sur  C. Classification dans chacun des deux cas

114.

Racines n-ièmes de l'unité dans C

129.

Endomorphismes symétriques d'un espace vectoriel euclidien (donc de dimension finie). Applications.

115.

Dimension d'un espace vectoriel admettant une famille géné-ratrice finie. Rang d'une application linéaire.

130.

Endomorphismes hermitiens en dimension finie.

131.

Formes quadratiques sur un espace vectoriel euclidien (donc de dimension finie). Applications géométriques ; les généralités sur les formes quadratiques seront supposées connues.

141.

Polygones réguliers dans le plan.

132.

Applications géométriques des nombres complexes.

142.

La parabole dans le plan affine euclidien.

133.

Similitudes planes directes et indirectes, formes réduites.

143.

L'ellipse dans le plan affine euclidien.

134.

Isométries du plan affine euclidien, formes réduites. Applica-tions.

146.

Cercles dans le plan euclidien.

135.

Isométries de l'espace affine euclidien de dimension 3, formes réduites.

147.

Etude locale des courbes planes paramétrées.

136.

Géométrie du triangle. Relations métriques et trigonométriques.

148.

Propriétés métriques locales des courbes de l'espace, en dimen-sion 3.

137.

Barycentres. Applications.

149.

Propriétés métriques locales des courbes planes.

138.

Orientation d'un espace vectoriel euclidien de dimension 3, produit mixte, produit vectoriel, applications.

150.

Mouvement à accélération centrale.

139.

Droites et plans dans l'espace.

151.

Cinématique du point : vitesse, accélération. Exemples de mou-vements.

140.

Projecteurs et symétries dans un espace affine de dimension finie.