Math122  Polynômes et fractions rationnelles.  TABLE DES MATIÈRES

Polynômes et fractions rationnelles.

Le calcul polynomial et décomposition en éléments simples.

Table des matières

1 Polynômes  3
1.1 Définition et opérations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Dérivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Evaluation, composition et racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Fractions rationnelles  14
2.1 Définition et opérations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Eléments simples sur ℂ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Eléments simples sur ℝ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Math122  Polynômes et fractions rationnelles.  TABLE DES MATIÈRES

Notations

On désignera par A l’un des ensembles de nombre ℤ, ℚ, ℝ, ℂ, {0, 1} = {pair, impair}, les entiers relatifs, nombres rationnels, nombres réels, nombres complexes, parités chacun munis de ses 0, 1 ∈ A son addition + et sa multiplication · usuelles.^{1)} ^{1)} On utilisera les propriétés suivantes de ces opérations +, · :

pour tout a, b, c ∈ A on a :

(a + b) + c = a + (b + c), (a · b) · c = a · (b · c)

a · (b + c) = (a · b) + (a · c), (a + b) · c = (a · c) + (b · c)

a + 0 = a = 0 + a, a · 1 = a = 1 · a

il y a − a tel que a + (−a) = 0 = (−a) + a

a + b = b + a, a · b = b · c

De cette première liste propriétés, pour tout a ∈ A, il suit :

a · 0 = 0 = 0 · a (−1) · a = −a = a · (−1)

De plus, dans les cinq cas considérés ci-dessus on a :

si a · b = 0 alors, soit a = 0, soit b = 0

et pour les quatre cas A = ℚ, ℝ, ℂ, {0, 1} on a de plus :

et si a ≠ 0 il y a a^{−1} , noté aussi \frac{1}{a} , tel que : a · a^{−1} = 1 = a^{−1} · a

[Quand A = {0, 1} = {pair, impair}, on a par définition

0 + 0 = 0 = 1 + 1, 0 + 1 = 1 = 1 + 0 0 · 0 = 0 · 1 = 1 · 0 = 0, 1 · 1 = 1

qui correspond bien avec les règles de parité pour les opérations dans les entiers.]

Présentation

L’étude systématique des ensembles munis d’opérations ayant les propriétés rappelées en marge ci-dessus occupera une autre partie du cours. Ici on se propose seulement, utilisant^{1} ces

« propriétés [qui ne sont pas si] évidentes [[que çà]»

de manière automatique^{2} dans le but de pouvoir :

1. Définir les fractions rationelles et déterminer leurs primitives.

2. Énoncer et démontrer la formule de Taylor avec reste intégral. deux morceaux de la partie d’analyse du programme de Mat122 où on ne peut faire l’économie d’un peu d’algèbre, algèbre que l’on préfère ici exposer de cette manière pragmatique pour ne pas avoir à attendre la fin du cours pour s’entrainer sur ces deux points, importants pour la physique notamment.

1comme Monsieur Jourdain, ou il a été fait au Lycée.

2comme on apprend les quatre opérations et le calcul des fractions à l’école.

Math122  Polynômes et fractions rationnelles.

1 Polynômes à coefficients dans A.

1.1 Définitions et opérations des polynômes.

1.1.1 Définitions (et notations). Un polynôme P à coefficient dans A est une suite

P = (a_{k})_{k∈ℕ} = (a_{0}, a_{1}, …, a_{k}, …) ∈ A^{ℕ}

d’éléments a_{k} ∈ A de A indicée par les entiers naturels et qui est nulle à partir d’un certain rang :

Il y a un entier^{2)} N ∈ ℕ tel que pour tout k > N on a a_{k} = 0. ^{2)} non unique, si N a cette propriété alors tout N′ ≥ N l’a aussi. ainsi si a, b, c ∈ A on a l’égalité des polynômes a = a + 0X = a + 0X + 0X^{2}, a + bX = a + bX + 0X^{2} + 0X^{3}, a + bX + cX^{2} = a + bX + cX^{2} + 0X^{3}, …

Si N est un tel entier, P est dit de degré au plus N et, plutôt que P = (a_{k})_{k∈ℕ}, on note^{3)}

3) Ce n’est qu’une notation, si P = ∑_{k=0}^{M} a_{k}X^{k}, Q = ∑_{l=0}^{N} b_{k}X^{k}

sont deux polynômes, l’égalité P = Q signifie [d’après la définition originale, comme suite] que pour tout j ∈ ℕ on a a_{j} = b_{j} .

P = ∑_{k=0}^{N} a_{k}X^{k} = a_{0} + a_{1}X + ⋯+ a_{k}X^{k} + ⋯+ a_{N}X^{N}

Le k^{ième} coefficient [ ou coefficient de degré k ] du polynôme P = (a_{k})_{k∈ℕ} est c_{k}(P) = a_{k}. Si P est de degré au plus N de N^{ième} coefficient a_{N} ≠ 0 non nul P est alors dit de degré N on écrit alors deg(P) = N. Par convention deg(P) = −∞ si P = 0 est le polynôme nul. On note A[X] l’ensemble des polynômes.

1.1.2 Remarques. 1. Quand certains des coefficients sont nuls où valent un (a_{k} = 0 ou a_{k} = 1)

les abus de notations suivant sont fréquent (et bien pratiques !) : X pour 0 + 1X, plus généralement X^{k} pour 0 + 0X + ⋯+ 0X^{k−1} + 1X^{k}.

2. Ainsi X ∈ A[X] est un polynôme^{4)} qui jouera un rôle particulier. ^{4)} celui dont le coefficient a_{1} = 1 de degré un vaut un et les

coefficients de degré k ≠ 1 différent de un sont nuls.

3. Certains livres écrivent P (X) au lieu de P, ce (pour l’instant 1.3.6 1.) n’est justifié que si il y a ambiguité, la lettre P pouvant représenter autre chose qu’un polynôme ou^{5)} pour préciser qui désigne ce «poly- ^{5)} comme plus tard, une fois A[X] muni de + et ·, on recommencera

le même jeu avec A[X] au lieu de A il y aurait ambiguité si on écrivait alors A[X][X], la solution serait alors d’introduire une nouvelle lettre et d’écrire A[X][Y] ou, si on ne veut pas s’arrêter en si bon chememin numéroter ces lettres : A[X_{1}][X_{2}]

nôme de base» de 2. [dont le coefficient de degré un est un et tous les autres sont nuls]

4. Même quand on utilise la notation usuelle P = ∑_{k=0}^{N} a_{k}X^{k} pour un polynôme,

ses coefficients de degré k > N sont définis (ils valent a_{k} = 0) et

il peut être pratique^{6)} de changer N en N′= M > N et d’écrire P = ∑_{k=0}^{M} a_{k}X^{k}. ^{6)} comme ci-dessous pour définir les opérations + et · dans A[X].

5. Il est aussi pratique^{7)} de définir les a_{k} pour tout entier relatif k ∈ ℤ en posant, si k < 0, a_{k} = 0. ^{7)} voir ci-dessous la définition du produit de deux polynômes.

Math122  Polynômes et fractions rationnelles. 1.1 Définition et opérations

1.1.3 Définition. Soit P = ∑_{k=0}^{M} a_{k}, Q = ∑_{l=0}^{N} b_{l} ∈ A[X] deux polynômes.

Les somme et produit de P et Q sont^{8)} : P + Q = ∑_{i=0}^{M+N} s_{i}X^{i},  P · Q = ∑_{j=0}^{M+N} p_{j}X^{j}  ^{8)} En fait P + Q est une somme de max(M, N) termes, mais

max(M, N) est une notation plus lourde que M + N.

où pour 0 ≤ i, j ≤ M + N on a : s_{i} = a_{i} + b_{i} et p_{j} = ∑_{k=0}^{j} a_{k} · b_{j−k}

1.1.4 Exemples. 1. On a X^{k} · X^{l} = X^{k+l} donc [une fois connu somme et produits dans ce nouvel «ensemble de nombres» A[X], celui des polynômes],

la notation P = ∑_{k=0}^{M} a_{k}X^{k} correspond, à l’emploi du signe ∑_{k=a}^{b} que l’on a l’habitude d’utiliser dans A = ℤ, ℚ, ℝ, ℂ.

2. Une identité remarquable connue : si P = 1 − X et Q = 1 + X + X^{2} alors P + Q = (1 + 1) + (1 + (−1))X + (0 + 1)X^{2} = 2 + 0X + X^{2} = 2 + X^{2} et P Q = 1 · 1 + [(1 · 1) + ((−1) · 1)]X + [(1 · 1) + [(−1) · 1) + (0 · 1)]X^{2} + [(1 · 0) + ((−1) · 1) + (0 · 1) + (0 · 1)]X^{3} = 1 + [1 − 1X] + [1 − 1 + 0]X^{2} + [0 − 1 + 0]X^{3} = 1 − X^{3}

3. Si P = a + bX + cX^{2} et Q = u + vX + wX^{2} alors, en allant un peu plus vite :

P ·Q = [au]+[av +bu]X +[aw +bv +cu]X^{2} +[a0+bw +cv +0u]X^{3} +[a0+b0+cw +0v +0u]X^{4} = [au]+[av +bu]X +[aw +bv +cu]X^{2} +[bw +cv]X^{3} +[cw]X^{4}. c’est le résultat que l’on aurait obtenu en «dévellopant à gauche», «faisant sauter les X^{k} au dessus de Q et regroupant» ; P · Q = [a + bX + cX^{2}][u + vX + wX^{2}] = a[u + vX + wX^{2}] + bX[u + vX + wX^{2}] + cX^{2}[u + vX + wX^{2}] = a[u + vX + wX^{2}] + b[u + vX + wX^{2}]XcX^{2}[u + vX + wX^{2}]X^{2} =

\begin{aligned}= & a & + & avX & + & awX^{2} \\ & & + & buX & + & bvX^{2} & + & bwX^{3} \\ & & & & + & cuX^{2} & + & cvX^{3} & + & cwX^{4} \end{aligned}

= au + (av + bu)X + (aw + bv + cu)X^{2} + (bw + cv)X^{3} + cwX^{4}

1.1.5 Exercices. 1. Comme dans l’exemple 1.1.4 . 2. calculer, si P = 1 + X et Q = 1 − X + X^{2} − X^{3} le produit P · Q.

2. Comme en 3., si P = a+bX +cX^{2}+dX^{3} et Q = u+vX +wX^{2}, calculer en «dévellopant à doite», «faisant sauter les nombres au dessus de P » et regroupant : P · Q = [a + bX + cX^{2}]u + [a + bX + cX^{2}]vX + [a + bX + cX^{2}]wX^{2} = u[a + bX + cX^{2}] + [a + bX + cX^{2}]X + w[a + bX + cX^{2}]X^{2} = ⋯

1.1.6 Remarques. Si P = ∑_{k=0}^{M} a_{k}X^{k}, Q = ∑_{l=0}^{N} b_{l}X^{l} ∈ A[X] sont deux polynômes.

Comme pour k > N ou k < 0, et l > M ou l < 0 on a a_{k} = 0 et b_{l} = 0 on peut^{9)} re-écrire la formule donnant le j^{ième} coefficient p_{j} du produit P · Q en ^{9)} Cela est particulièrement pratique si l’un des polynôme est de

degré petit par rapport à l’autre, voir l’exemple ci-dessous.

p_{j} = ∑_{k=0}^{M} a_{k} · b_{j−k} = ∑_{l=0}^{N} a_{j−l} · b_{l}

1.1.7 Exemple. Si P = 1 − X et Q = 1 + X + X^{2} alors : P Q = 1 · 1 + [(1 · 1) + ((−1) · 1)]X + [(1 · 1) + [(−1) · 1)]X^{2} + [(1 · 0) + ((−1) · 1)]X^{3} = 1 + [1 − 1X] + [1 − 1]X^{2} + [0 − 1]X^{3} = 1 − X^{3}.

1.1.8 Remarque. Dans cette définition la condition que les coefficients a_{k}, b_{l} des polynômes P et Q soit nuls à partir d’un certain rang [si k > M ou l > N] n’a été (implicitement) utilisée que pour assurer que les coefficients s_{j}, p_{j} des polynômes P + Q et P · Q sont nuls à partir d’un certain rang [pour i, j > M + N]. Les formules définissant les coeficients s_{i} et p_{j} gardent un sens sans ces conditions :

1.1.9 Définitions. Une série formelle à coefficients dans A est une suite

S = (a_{k})_{k∈ℕ} = (a_{0}, a_{1}, …, a_{k}, …) ∈ A^{ℕ}

d’éléments a_{k} ∈ A de A indicée par les entiers naturels. On note^{10)} ^{10)} Ce n’est qu’une notation, si S = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}X^{k}, T = ∑_{l=0}^{∞} b_{k}X^{k}

sont deux séries formelles, l’égalité S = T signifie [d’après la définition originale, comme suite] que pour tout j ∈ ℕ on a a_{j} = b_{j} .

S = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}X^{k} = a_{0} + a_{1}X + ⋯+ a_{k}X^{k} + ⋯+ a_{N}X^{N}

Le k^{ième} coefficient [ ou coefficient de degré k ] de la série formelle S = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}X^{k} = (a_{k})_{k∈ℕ} est c_{k}(S) = a_{k}.

On note A[[X]] l’ensemble de ces séries formelles.

Si S = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}X^{k}, T = ∑_{l=0}^{∞} b_{k}X^{k} sont deux séries formelles

leur somme S + T = ∑_{i=0}^{∞} s_{i}^{i} et leur produit S · T = ∑_{j=0}^{∞} p_{j}^{j} sont les séries entières dont les coefficients s_{i} et p_{j}

sont donnés par les mêmes formules 1.1.3 que pour les polynômes.

1.1.10 Exemple. Si S = 1 − X et T = ∑_{l=0}^{∞} X^{l} on a S · T = 1 en effet c_{0}(S · T) = 1· = 1 et si j > 0, c_{j} (S · T) = ∑_{k=0}^{1} c_{k}(S) · c_{j−k} (T) = 1 · 1 + (−1) · 1 = 1 − 1 = 0.

Un résultat et un calcul plus simple que pour l’exemple 1.1.4 . 2. [1 − X] · [1 + X + X^{2}] = 1 − X^{3}

1.1.11 Exercice. Soit S = ∑_{l=0}^{∞} X^{l} et T = ∑_{l=0}^{∞} (l + 1)X^{l}. Calculer S · S, S · T et T · T.

1.1.12 Remarque. Pour une série formelle S = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}X^{k} on peut avoir a_{k} ≠ 0 pour des k arbitrairement

grands, son degré n’est pas défini. Par contre si S ≠ 0 il y a k_{0} ∈ ℕ le plus petit k ∈ ℕ tel que a_{k} ≠ 0, c’est la valuation de la série formelle S, on la note val(S) = k_{0}. Si S = 0 on convient que S est de valuation infinie et note val(S) = +∞. Un polynôme étant une série formelle, on peut parler de sa valuation.

1.1.13 Proposition (Propriétés de + et · dans les polynômes). ^{11)} ^{11)} Elles sont aussi vraies dans les séries formelles Soit P = ∑_{k=0}^{D} a_{k}X^{k}, Q ∑_{l=0}^{E} b_{l}X^{l} et R = ∑_{m=0}^{F} c_{m}X^{m} ∈ A[X] trois polynômes à coefficients dans A alors :

1. (P + Q) + R = P + (Q + R) (P · Q) · R = P · (Q · R) (ii) ((P · (Q + R) = (P · R) + (Q · R) (P + Q) · R = (P · R) + (Q · R) (iii) P + 0 = P = 0 + P P · 1 = P = 1 · P (iv) Si −P = (−1) · P = ∑_{k=0}^{D} (−a_{k})X^{k} alors : P + (−P) = 0 = (−P) + P

(v) P + Q = Q + P P · Q = Q · P

Démonstration de (P · Q) · R = P · (Q · R) : On a P · Q = ∑_{i=0}^{D+E} ( ∑_{k=0}^{i} a_{k}b_{i−k} )X^{i} donc (P · Q) · R = ∑_{j=0}^{(D+E)+F} [ ∑_{i=0}^{j} ( ∑_{k=0}^{i} a_{k}b_{i−k} )c_{j−i} ]X^{j}.

Pour l, m < 0 on a b_{l} = 0 = c_{m} on peut pousser les indices i et k des deux dernières sommes, jusqu’à D + E + F et échanger ces sommes :

P · Q = ∑_{j=0}^{D+E+F} [ ∑_{i=0}^{D+E+F} ( ∑_{k=0}^{D+E+F} a_{k}(b_{i−k} c_{j−i} )) ]X^{j} = ∑_{j=0}^{D+E+F} [ ∑_{k=0}^{D+E+F} ( ∑_{i=0}^{D+E+F} a_{k}(b_{i−k} c_{j−i} )) ]X^{j} = ∑_{j=0}^{D+E+F} [ ∑_{k=0}^{j} a_{k}( ∑_{l=i−k}^{j−k} b_{l}c_{j−l} ) ]X^{j} = P · (Q · R)

□

1.1.14 Proposition (degré et valuation d’un produit). ^{12)} Soit P = ∑_{k=0}^{D} a_{k}X^{k}, Q = ∑_{l=0}^{E} b_{l}X^{l} deux ^{12)} deg(P · Q) = deg(P) + deg(Q) n’a pas de sens pour les séries

formelles, mais si S = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}X^{k}, T = ∑_{l=0}^{∞} b_{l}X^{l} sont deux séries formelles on a aussi val(S · T) = val(S) + val(T)

polynômes à coefficients dans A alors

deg(P · Q) = deg(P) + deg(Q) val(P · Q) = val(P) + val(Q)

Démonstration de deg(P · Q) = deg(P) + deg(Q) : . Si P ou Q est nul alors P · Q est nul et les deux membres de légalité valent −∞.

Sinon on peut supposer P de degré D, c. a d. a_{D} ≠ 0, et Q de degré E, c. a d. b_{E} ≠ 0. Comme la formule définissant P · Q assure que P · Q est de degré au plus D + E et que son coefficient de degré D + E est a_{D} · b_{E} ≠ 0 donc deg(P · Q) = D + E = deg(P) + deg(Q). □

1.1.15 Exercice. Ecrire la démonstration de val(P · Q) = val(P) + val(Q) 1.1.16 Corollaire. Si P, Q ∈ A[X] sont tels que P · Q = 0, alors soit P = 0 soit Q = 0.

Démonstration : On a −∞ = deg(P · Q) = deg(P) + deg(Q) donc soit deg(P) = −∞ soit deg(Q) = −∞, c. a d. soit P = 0 soit Q = 0. □

Math122  Polynômes et fractions rationnelles.  1.2 Dérivations

1.2 Dérivation des polynômes.

1.2.1 Définition. La dérivation est l’application D : A[X] → A[X] qui au polynôme P = ∑_{k=0}^{D} a_{k}X^{k} associe son polynôme dérivé [ou sa dérivée]

D(P) = P′= ∑_{k=0}^{D} ka_{k}X^{k−1} = ∑_{l=0}^{D−1} (l + 1)a_{l+1} X^{l}

Si k ∈ ℕ la dérivation k^{ième} D^{k} : A[X] → A[X], D^{k}(P) = P^{[k)} est définie par

D^{0} = Idet D^{k+1} = D ∘ D^{k}

les mêmes formules définissent D, D^{k} : A[[X]] → A[[X]] 1.2.2 Remarque. Si P = a ∈ A ⊂ A[X] est un polynôme de degré au plus 0 alors^{13)} D(P) = 0. ^{13)} La réciproque [Si D(P) = 0 alors P est de degré au plus 0]

est vraie dans les quatre cas usuels A = ℤ, ℚ, ℝ, ℂ

où si a ∈ A est tel que, un entier positif n ∈ ℕ \ {0}, on a 0 = na (= ^{n + ⋯+ n}_{n−1signes +})alorsa = 0

mais pas pour A = {0, 1} = {pair, impair}, puisque P = X^{2} est de degré 2 donc non nul, mais D(P) = 2X = (1 + 1)X = 0X = 0.

1.2.3 Rappel. Si k, n ∈ ℕ avec k ≤ n le coefficient binômial \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! · (n − k)!} est entier,

puisque \binom{n}{0} = 1 et, si 1 ≤ k, \binom{n}{k} = \frac{1}{k!} ∏_{h=0}^{k−1} (n − h) se généralise en k parmi X,

le polynôme coefficient binomial \binom{X}{k} : \binom{X}{0} = 1 et si 1 ≤ k, \binom{X}{k} = \frac{1}{k!} ∏_{h=0}^{k−1} (X − h)

[en particulier si m ∈ ℕ (ou ℤ) avec m < k on a \binom{n}{k} = 0]

1.2.4 Lemme. Pour tout entier naturel n ∈ ℕ on a : D(X^{n}) = nX^{n−1} .

Plus généralement si k ∈ ℕ on a D^{k}(X^{n}) = \frac{n!}{(n − k)!} X^{n−k} = k!\binom{n}{k} X^{n−k} [= n ⋯ (n+1−k)X^{n−k} , si k ≥ 1 ]

donc \frac{1}{k!}D^{k}(X^{n}) = \binom{n}{k} X^{n−k} et dans tous les cas^{14)} on peut définir \frac{1}{k!}D^{k} : A[X] → A[X], P ↦ \frac{1}{k!}P^{[k)} ^{14)} même A = ℤ, A = \{0, 1\}

Math122  Polynômes et fractions rationnelles.  1.2 Dérivations

1.2.5 Proposition. Pour tout polynômes P = ∑_{k=0}^{M} a_{k}X^{k}, Q = ∑_{l=0}^{M} b_{l}X^{l} ∈ A[X] et a, b ∈ A on a : [Linéarité de la dérivation et règle de Leibniz]

D(aP + cQ) = aD(P) + bD(Q) D(P · Q) = D(P) · Q + P · D(Q)

Démonstration de Leibniz : D(P) · Q + P · D(Q) = [ ∑_{k=0}^{M} ka_{k}X^{k−1} ] · [ ∑_{l=0}^{N} b_{l}X^{l}] + [ ∑_{k=0}^{M} a_{k}X^{k}] · [ ∑_{l=0}^{N} lb_{l}X^{l−1} ] =

= [ ∑_{i=0}^{M+N} ( ∑_{k=0}^{i} ka_{k}b_{i−k} )X^{i−1} ] + [ ∑_{i=0}^{M+N} ( ∑_{k=0}^{i} a_{k}(i − k)b_{i−k} )X^{i−1} ]= ∑_{i=0}^{M+N} ( ∑_{k=0}^{i} (ka_{k}b_{i−k} + a_{k}(i − k)b_{i−k} ))X^{i−1} = ∑_{i=0}^{M+N} i( ∑_{k=0}^{i} a_{k}b_{i−k} )X^{i−1} = D(P · Q) □

1.2.6 Exercice. Pour S = 1 − X et T = ∑_{k=0}^{∞} X^{k} Calculer par Leibnitz D(S · T). En déduire une autre solution de l’exercice 1.1.11 ..

1.2.7 Théorème. Soit P = ∑_{k=0}^{N} a_{k}X^{k} un polynôme de degré au plus N et a ∈ A alors : [Formule de Taylor pour les polynômes]

P = ∑_{k=0}^{N} (X − a)^{k} \frac{1}{k!}P^{(k)}(a)

où^{15)} , pour \frac{1}{k!}P^{[k)} = Q = ∑_{l=0}^{M} b_{l}X^{l} ∈ A[X] et a ∈ A, l’évaluation de Q en a est Q(a) = ∑_{l=0}^{M} b_{l}a^{l} ∈ A ^{15)} voir la secion suivante évaluation et racines des polynômes Démonstration : Comme X = (X − a) + a, la formule du binôme, que pour i < k, \binom{i}{k} = 0 et le lemme 1.2.4 . donnent :

P = ∑_{i=0}^{N} a_{k} ∑_{k=0}^{i} \binom{i}{k} (X − a)^{k}a^{i−k} = ∑_{i=0}^{N} a_{k} ∑_{k=0}^{N} \binom{i}{k} (X − a)^{k}a^{i−k} = ∑_{k=0}^{N} (X − a)^{k} ∑_{i=0}^{N} a_{k}\binom{i}{k} a^{i−k} = ∑_{k=0}^{N} (X − a)^{k} \frac{1}{k!}P^{(k)}(a) □

1.2.8 Exercice. Dans le cas P = 2 − 5 + 6X^{2} − 4X^{3} + X^{4} et a = 1, dérouler la preuve de 1.2.7 [poser X = (X − 1) + 1],

puis calculer, pour 1 ≤ k ≤ 4, \frac{1}{k!} P^{[k)}(1) et vérifier que votre résultat est celui prédit par la formule 1.2.7 . de Taylor pour les polynômes.

Math122  Polynômes et fractions rationnelles. 1.3 Evaluation, composition et racine

1.3 Evalualuation en un point, composition et racines.

Comme la notation P = ∑_{k=0}^{n} a_{k}X^{k} pour écrire les polynômes obéit aux mêmes règles de manipu-

lation calculatoire que le signe somme pour les éléments de A on a la :

1.3.1 Définition et Proposition. Soit P = ∑_{k=0}^{n} a_{k}X^{k} ∈ A[X] et b ∈ A.

L’évaluation des polynômes à coefficients dans A au point b^{16)} est : ^{16)} Il est essentiel pour cette définition que P soit un polynôme et

non une série formelle (car dans A on ne peut définir la somme d’une infinité de termes !)

ev_{b} : A[X] → A, P ↦ P (b) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}b^{k}

On dit que ev_{b}(P) = P (b) est la valeur en b du polynôme P.

Si Q ∈ A[X] et c, d ∈ A on a :

(c · P + d · Q)(b) = c · P (b) + d · Q(b) (P · Q)(b) = P (b) · Q(b)

L’appliction (polynomiale) associée au polynôme P est :

P : A → A, b ↦ P (b)

1.3.2 Remarque. Par définition deux polynômes P = Q ∈ A[X] égaux ont même application polynomiale associée. Nous verrons que dans les «cas habituels» A = ℤ, ℚ, ℝ, ℂ (où l’ensemble de nombres A est infini) la réciproque est vraie, ce n’est pas toujours le cas :

1.3.3 Exemple. Si A = {0, 1} = {pair, impair} et P = X^{2} − X, Q = 0 ∈ A[X]. On a P (0) = 0 − 0 = 0 = Q(0) et P (1) = 1 − 1 = 0 = Q(0) Ce sont deux polynômes distincts P ≠ Q de même application polynômiale associée.

Bien que (dans ces cas habituels) cela soit souvent fait, il convient donc de ne pas confondre un polynôme P ∈ A[X] et sont application polynomiale P : A → A associée.

1.3.4 Rappel. On peut^{17)} , puisque les opérations d’addition + et de multiplication · dans A[X] ^{17)} en prenant la nouvelle lettre Y, notant Q = ∑_{k=0}^{n} P_{k}Y^{k} pour ne

pas confondre avec X apparaissant dans les coefficients P_{k} ∈ A[X]

gardent les propriétés^{18)} qu’elles avaient dans A, répéter la contruction des polynômes et considérer

18) pour tout a, b, c ∈ A on a :
(a + b) + c = a + (b + c), (a · b) · c = a · (b · c)
a · (b + c) = (a · b) + (a · c), (a + b) · c = (a · c) + (b · c)
a + 0 = a = 0 + a, a · 1 = a = 1 · a
il y a − a tel que a + (−a) = 0 = (−a) + a
a + b = b + a, a · b = b · c

A[X, Y] = (A[X])[Y] les polynômes à coefficients dans A[X]. On a donc (A ⊂) A[X] ⊂ A[X, Y]

(un polynôme à coefficients dans A est un polynôme [de (A[X])[Y], de degré 0] à coefficients dans A[X]et, en considérant ses coefficients dans A[X] ⊃ A, être aussi considéré comme polynôme [de (A[X])[Y], de degré deg(P)] à coefficients dans A[X] .)

1.3.5 Définition. Soit P, Q ∈ A[X] deux polynômes à coefficients dans A. Le polynôme composé P ∘ Q est P ∘ Q = ev_{Q}(P) ∈ A[X] l’image par l’évaluation en Q ∈ A[X], ev_{Q} : (A[X])[Y] → A[X] du polynôme P ∈ A[X] ⊂ (A[X])[Y] considéré comme polynôme à coefficients dans A[X]. Ainsi si

P = ∑_{j=0}^{m} a_{j}X^{j}, Q = ∑_{k=0}^{n} b_{k}X^{k} on a P ∘ Q = P (Q) = ∑_{j=0}^{m} a_{j}Q^{j} = ∑_{j=0}^{m} a_{j}( ∑_{k=0}^{n} b_{k}X^{k})^{j} ∈ A[X].

1.3.6 Exemples. 1. Si P = ∑_{j=0}^{m} a_{j} X^{j} , et Q = X ∈ A[X] alors P ∘ Q = P (Q) = ∑_{j=0}^{m} a_{j} X^{j} cohérent avec la notation usuelle (Cf. 1.1.2 3.) P (X) pour P.

2. Si P = X^{n} et Q = a + X alors P ∘ Q = (a + X)^{n} = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n−k} X^{k} par la formule du binôme.

3. Si Q = X + a et P ∈ A[X] comme par la formule de Taylor 1.2.7 . on a P = ∑_{k=0}^{N} \frac{1}{k!}P^{(k)}(a)(X − a)^{k} il vient P ∘ Q = P (X + a) = ∑_{k=0}^{N} \frac{1}{k!}P^{(k)}(a)X^{k}

1.3.7 Exercice. Soit P ∈ A[X] ⊂ (A[X])[Y] et Q = X + Y ∈ (A[X])[Y], en reprenant la preuve de 1.2.7 ), établir l’identité remarquable de Taylor :

P (X + Y) = ∑_{k=0}^{N} \frac{1}{k!}P^{(k)}Y^{k} = ∑_{k=0}^{N} \frac{1}{k!}P^{(k)}(X)Y^{k}

1.3.8 Exercice. Soit P, Q ∈ A[X] deux polynômes à coefficients dans A et n ∈ ℕ un entier naturel.

(a) Déduire de l’identité remarquable de Taylor 1.3.7 . la formule \frac{1}{n!}(P · Q)^{(n)} = ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{(n − k)!} P^{(n−k)} · \frac{1}{k!}Q^{(k)}

(b) En déduire la formule de Leibniz (P · Q)^{(n)} = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k} P^{(n−k)} Q^{(k)} pour la dérivée n^{ième} d’un produit de polynômes.

(c) Etablir les deux résultats précédents directement par récurrence sur n ∈ ℕ.

(Dérivation des polynômes composés)

1.3.9 Proposition. Soit P, Q ∈ A[X] alors la dérivée du polynôme composé P ∘ Q est :

(P ∘ Q)′= D(P ∘ Q) = (D(P) ∘ Q) · D(Q) = P′(Q) · Q′

Démonstration : Par linéarité et comme D(X^{0}) = 0 il suffit de traiter le cas P = X^{n} avec n ≥ 1. Comme P′ = nX^{n−1} il faut montrer D(Q^{n}) = nQ^{n−1} · Q′ : la tautologie D(Q) = Q′ = 1 · 1 · Q′ = 1 · Q^{0} · Q′ pour n = 1 et si n > 1, par la formule de Leibniz 1.2.5 ., le pas de récurrence D(Q^{n}) = D(Q^{n−1} · Q) = D(Q^{n−1} ) · Q + Q^{n−1} · D(Q) = ((n − 1)Q^{n−2} · Q′) · Q + Q^{n−1} ) · Q′= (n − 1 + 1)Q^{n−1} · Q′= nQ^{n−1} · Q′ □

1.3.10 Notation. Soit une famille a_{0}, …, a_{n} ∈ A [resp. P_{0}, …P_{n} ∈ A[X] ] indicés par 0 ≤ k ≤ n de n + 1

éléments de A [resp. A[X]]. Pour chacun des indices k on note^{19)} : 19) ∏_{0≤j≠0≤n} a_{j} = ∏_{j=1}^{n} a_{j} , ∏_{0≤j≠n≤n} a_{j} = ∏_{j=0}^{n−1} a_{j} et si 0 < k < n : ; ∏_{0≤j≠k≤n} a_{j} = (∏_{j=0}^{k−1} a_{j} ) · ( ∏_{j=k+1}^{n} a_{j} )

∏_{0≤j≠k≤n} a_{j}  resp. ∏_{0≤j≠k≤n} P_{j}

le produit dans A [resp. A[X]] pour les n indices j entre 0 et n qui sont distincts de k des a_{j} [resp P_{j}].

1.3.11 Proposition (formule d’interpolation de Lagrange). On suppose A = ℚ, ℝ, ℂ, {0, 1}^{20)} . ^{20)} plus généralement si pour tout 0 ≠ a ∈ A non nul

Soit n ∈ ℕ un entier naturel et a_{0}, …, a_{n} ∈ A et b_{0}, …, b_{n} ∈ A deux familles de n + 1 éléments il y a un a′ ∈ A (noté a^{−1} = \frac{1}{a} ) tel que a · a′ = 1 de A indicées de 0 à n telles que les a_{j} sont deux à deux distincts : si 0 ≤ i ≠ j ≤ n alors a_{i} ≠ a_{j}.

Pour 0 ≤ k ≤ n posons L_{k} = \frac{1}{∏_{0≤j≠k≤n} (a_{k} − a_{j})} · ∏_{0≤j≠k≤n} (X − a_{j}) alors : (polynôme d’interpolation de Lagrange

de valeurs b_{i} aux points a_{i})

P = ∑_{k=0}^{n} b_{k} · L_{k} = ∑_{k=0}^{n} \frac{b_{k}}{∏_{0≤j≠k≤n} (a_{k} − a_{j})} · ∏_{0≤j≠k≤n} (X − a_{j})

est un polynôme de degré au plus n qui, pour 0 ≤ i ≤ n, vérifie P (a_{i}) = b_{i}.

Démonstration : Produit des n termes X − a_{j} , j ≠ k de degré 1 (et de 0 ≠ \frac{1}{∏_{0≤j≠k≤n} (a_{k} − a_{j} )} ∈ A), chaque L_{k} est de degré 1 d’où P de degré au plus n.

L_{i}(a_{i}) = \frac{1}{∏_{0≤j≠i≤n} (a_{i} − a_{j} )} · ∏_{0≤j≠i≤n} (a_{i} − a_{j} ) = 1 et pour 0 ≤ j ≠ i ≤ n, le terme (X − a_{j} ) étant en facteur dans L_{i} on a L_{i}(a_{j} ) = 0,

donc pour 0 ≤ k ≤ n on a : ( ∑_{k=0}^{n} b_{k}L_{k}) (a_{i}) = ∑_{k=0}^{n} b_{k}L_{k}(a_{i}) = b_{i}L_{i}(a_{i}) = b_{i}. □

1.3.12 Complément. Le polynôme d’interpolation de Lagrange de valeurs b_{0}, …, b_{n} ∈ A aux points a_{0}, …, a_{n} ∈ A est l’unique polynôme P ∈ A[X] de degré au plus n tel que :

pour 1 ≤ i ≤ n on ait P (a_{i}) = b_{i}

Démonstration : Si P_{1}, P_{2} sont deux tels polynômes, alors P = P_{1} − P_{2} est un polynôme de degré au plus n qui s’annulle aux n + 1 points a_{0}, …, a_{n}. Par le corollaire 1.3.18 . ci-dessous P = 0, donc P_{1} = P_{2}. □

1.3.13 Exemples. dans le cas A = ℚ 1. Si n = 1 alors L_{0} = \frac{1}{a_{0} −a_{1}} (X − a_{1}), L_{1} = \frac{1}{a_{1} −a_{0}} (X − a_{0}) et

P = \frac{b_{0}}{a_{0} − a_{1}} (X − a_{1}) + \frac{b_{1}}{a_{1} − a_{0}} (X − a_{0}) = \frac{b_{0}a_{1} − b_{1}a_{0}}{a_{1} − a_{0}} + \frac{b_{1} − b_{0}}{a_{1} − a_{0}} X

qui donne (a_{1} − a_{0})Y − (b_{1} − b_{0})X = b_{0}a_{1} − b_{1}a_{0} comme équation d’une droite passant par (a_{0}, b_{0}) et (a_{1}, b_{1}).

2. Si n = 2 alors L_{0} = \frac{1}{(a_{0} −a_{1} )(a_{0} −a_{2} )} (X − a_{1})(X − a_{2}), L_{1} = \frac{1}{(a_{1} −a_{0} )(a_{1} −a_{2} )} (X − a_{1})(X − a_{2}), L_{2} = \frac{1}{(a_{2} −a_{0} )(a_{2} −a_{1} )} (X − a_{0})(X − a_{1}) et

P = \frac{b_{0}}{(a_{0} − a_{1})(a_{0} − a_{2})} (X − a_{1})(X − a_{2}) + \frac{b_{1}}{(a_{2} − a_{0})(a_{2} − a_{1})} (X − a_{0})(X − a_{1}) + \frac{b_{2}}{(a_{2} − a_{0})(a_{2} − a_{1})} (X − a_{0})(X − a_{1}) =

= \frac{1}{(a_{1} − a_{0})(a_{2} − a_{1})(a_{0} − a_{2})} · [b_{0}(a_{1} − a_{2}) · (X − a_{1})(X − a_{2}) + b_{1}(a_{2} − a_{0}) · (X − a_{2})(X − a_{0}) + b_{2}(a_{0} − a_{1}) · (X − a_{0})(X − a_{1})]

3. Si pour 1 ≤ k ≤ n, a_{k} = k, alors

L_{n} = \frac{1}{∏_{0≤j<n} (n − j)} · ∏_{0≤j<n} (X − j) = \frac{1}{∏_{k=n−j=1}^{n} k} · ∏_{j=0}^{n−1} (X − j) = \frac{1}{n!} · ∏_{j=0}^{n−1} (X − j) = \binom{X}{n}

est le polynôme coefficient binomial n parmi X.

1.3.14 Exercice. Soit k ∈ ℕ et P = \binom{X}{k + 1}, Q = \binom{X}{k}. Etablir la relation du triangle de Pascal polynomiale : P (X + 1) − P = Q.

1.3.15 Théorème. Si P =∑_{k=0}^{n} c_{k}X^{k}∈A[X] et a∈A il y a Q ∈ A[X] (0 ou de degré au plus n − 1) avec :

P − P (a) = (X − a) · Q

Démonstration par factorisation de X^{k} − a^{k} : Supposant n ≥ 1, P − P (a) = ∑_{k=0}^{n} c_{k}X^{k} − ∑_{k=0}^{n} c_{k}a^{k} = ∑_{k=0}^{n} c_{k}(X^{k} − a^{k}) = ∑_{k=1}^{n} c_{k}(X^{k} − a^{k}) =

= ∑_{k=1}^{n} c_{k}(X − a) ∑_{l=0}^{k−1} X^{k−1−l} a^{l} = (X − a) ∑_{k=1}^{n} c_{k} ∑_{m=0}^{k−1} X^{m}a^{k−1−m} = (X − a)Q où Q = ∑_{m=0}^{n−1} d_{m}X^{m} avec d_{m} = ∑_{k=m+1}^{n} c_{k}a^{k−1−m} □

Démonstration par Taylor : Si n ≥ 1 on a : P − P (a) = ∑_{k=1}^{n} \frac{P^{(k)}}{k!}(a) (X − a)^{k} = (X − a)Q où Q = ∑_{k=1}^{n} \frac{P^{(k)}}{k!}(a) (X − a)^{k−1} □

1.3.16 Exercice. Vérifier directement que si n ≥ 1 et P = ∑_{k=0}^{n} c_{k}X^{k} ∈ A[X] et a ∈ A alors ∑_{k=1}^{n} \frac{P^{(k)}}{k!} (a) (X − a)^{k−1} = ∑_{m=0}^{n−1} ( ∑_{k=m+1}^{n} c_{k}a^{k−1−m} )X^{m}

1.3.17 Définition et Proposition. Soit P ∈ A[X] de degré positif et a ∈ A . Alors il y a k ∈ ℕ, la multiplicité de P en a notée k = mult_{a}(P), et Q∈A[X] de degré deg(Q) = deg(P) − k avec :

P = (X − a)^{k}Q et Q(a) ≠ 0

. De plus et k est le plus petit l ∈ ℕ tel que \frac{1}{l!}P^{(l)}(a) ≠ 0. Si mult_{a}(P) > 0 (c. a d. P (a) = 0) a est dit racine de P de multiplicité k.

1.3.18 Corollaire. Soit P = ∑_{kde_{=} 0}^{n} a_{k}X^{k} ∈ A[X] et n + 1 points a_{0}, …, a_{n} ∈ A de A deux à deux

distincts (si 0 ≤ i ≠ j ≤ n alors a_{i} ≠ a_{j} ) tels que pour 0 ≤ i ≤ n on ait P (a_{i}) = 0 alors P = 0.

Démonstration : Si n = 0, P = P (a_{0}) = 0. Si n ≥ 1, le théorème 1.3.15 . donne Q = ∑_{m=0}^{n−1} d_{m}X^{m} ∈ A[X] avec P = (X − a_{n})Q.

Pour 0 ≤ i ≤ n − 1, comme 0 = P (a_{i}) = (a_{i} − a_{n})Q(a_{i}) et a_{i} − a_{n} ≠ 0, on a Q(a_{i}) = 0, donc (récurrence sur n) Q = 0 et P = (X − a_{n})0 = 0. □

1.3.19 Exercice. Autre solution de 1.3.14 . : Remarquer pour tout n ∈ ℕ avec n ≥ k + 1, P (n + 1) − P (n) − Q(n) = 0.

1.3.20 Rappel (Théorème de D’Alembert admis). Un polynôme de degré positif à coefficients complexe 0 ≠ P ∈ ℂ[X] a une racine α ∈ ℂ.

1.3.21 Corollaire. 1. Soit P = ∑_{k=0}^{n} a_{k}X^{k} ∈ ℂ[X], a_{n} ≠ 0 alors il y a z_{1} …, z_{n} ∈ ℂ

[resp. ω_{1}, …ω_{r} ∈ ℂ (où si 1 ≤ i ≠ j ≤ r ≤ n, ω_{i} ≠ ω_{j}) et 1 ≤ m_{1}, …, m_{r} ∈ ℕ] tels que :

P = a_{n} ∏_{k=0}^{n} (X − z_{k}) = a_{n} ∏_{l=0}^{r} (X − ω_{l})^{m_{l}}

2. Soit P = ∑_{k=0}^{n} a_{k}X^{k} ∈ℝ[X] avec a_{n} ≠0 alors il y a x_{1} …, x_{t}∈ℝ, z_{1} …, z_{s} ∈ℂ \ ℝ avec t + 2s=n

[resp. λ_{1} …, λ_{r} ∈ ℝ, ω_{1} …, ω_{π} ∈ ℂ \ ℝ (où si 1 ≤ i ≠ j ≤ r ≤ t, 1 ≤ u ≠ v ≤ π ≤ s

λ_{i} ≠ λ_{j}, ω_{u} ≠ ω_{j}) et 1 ≤ m_{1}, …, m_{r}, ν_{1}, …, ν_{π} ∈ ℕ] tels que :

P = a_{n} ∏_{k=0}^{t} (X−x_{k}) ∏_{l=0}^{s} (X−z_{l})(X−\overline{z_{l}}) = a_{n} ∏_{k=0}^{t} (X−t_{k}) ∏_{l=0}^{s} (X^{2}−2ℜ(z_{u})X+|z_{u}|^{2}) = a_{n} ∏_{l=0}^{r} (X−λ_{l})^{m_{l}} ∏_{u=0}^{s} (X^{2}−2ℜ(ω_{u})X+|ω_{u}|^{2})^{ν_{u}}

Math122  Polynômes et fractions rationnelles.

2 Fractions rationnelles à coefficients dans A.

2.1 Définitions opérations et dérivation des fractions rationnelles.

2.1.1 Définitions. Une fraction de polynômes à coefficients dans A est un couple de polynômes (P, Q) ∈ A[X] × (A[X] \ {0} dont le second élément^{21)} , dit dénominateur Q ≠ 0 est non nul. ^{21)} le premier élément P de la fraction (P, Q) est son numérateur

La somme et le produit de deux fractions de polynômes (P_{1}, Q_{1}), (P_{2}, Q_{2}) sont :

(P_{1}, Q_{1}) + (P_{2}, Q_{2}) = (P_{1} · Q_{2} + P_{2} · Q_{1}, Q_{1} · Q_{2}), (P_{1}, Q_{1}) · (P_{2}, Q_{2}) = (P_{1} · P_{2}, Q_{1} · Q_{2})

2.1.2 Définition et Proposition (sera montrée dans les parties relation d’équivalence et opération du cours).

(i) Deux fractions de polynômes (P, Q), (P_{1}, Q_{1}) à coefficients dans A définissent la même^{22)} ^{22)} Que ce soit cohérent avec ce que l’on attend du mot même

demande justification. Esquissons seulement que

si \frac{P}{Q} = \frac{P_{1}}{Q_{1}} et \frac{P_{1}}{Q_{1}} = \frac{P_{2}}{Q_{2}} alors \frac{P}{Q} = \frac{P_{2}}{Q_{2}} :

Q_{1}·(P ·Q_{2}−Q·P_{2}) = (P ·Q_{1}−Q·P_{1})·Q_{2}+Q·(P_{1}·Q_{2}−Q_{1}·P_{2}) = 0 car P · Q_{1} = Q · P_{1} et P_{1} · Q_{2} = Q_{1} · P_{2} donc, puisque Q_{1} ≠ 0, P · Q_{2} − Q · P_{2} = 0.

fraction rationnelle \frac{P}{Q} = \frac{P_{1}}{Q_{1}} à coefficients dans A si

P · Q_{1} = Q · P_{1}

Cet ensemble des fractions rationnelles à coefficients dans A est noté A(X). (ii) Les opérations + et · sur les fractions de polynômes définissent + et · sur A(X) :

\frac{P_{1}}{Q_{1}} + \frac{P_{2}}{Q_{2}} = \frac{P_{1} · Q_{2} + Q_{1} · P_{2}}{Q_{1} · Q_{2}}, \frac{P_{1}}{Q_{1}} · \frac{P_{2}}{Q_{2}} = \frac{P_{1} · P_{2}}{Q_{1} · Q_{2}}

Pour tout a= \frac{P}{Q}, b= \frac{R}{S}, c= \frac{T}{U} ∈A(X), si 0= \frac{0}{1}, 1= \frac{1}{1}, −a= \frac{−P}{Q} et si a≠0, a^{−1} = \frac{Q}{P} on a^{23)} : ^{23)} les mêmes propriétés que + et · avaient dans A =

ℤ, ℚ, ℝ, ℂ, {0, 1} avec en plus (même si A = ℤ!) la possibilité de diviser par des éléments non nul comme dans A = ℚ, ℝ, ℂ, {0, 1} (comme on gagne, passant des entiers aux rationnels définis par les fractions, la possibilité de diviser par les éléments non nul.)

(a) (a + b) + c = a + (b + c), (a · b) · c = a · (b · c)

(b) a + 0 = a = 0 + a, a · 1 = a = 1 · a

(c) a · (b + c) = a · b + a · c, (a + b) · c = a · c + b · c

(d) a + (−a) = 0 = (−a) + a, et si a ≠ 0, a · a^{−1} = 1 = a^{−1} · a

(e) a + b = b + a, a · b = b · a (iii) i : A[X] → A(X), P ↦ \frac{P}{1} est injective^{24)} , i(0) = 0, i(1) = 1 et pour tout P_{1}, P_{2} ∈ A[X] on a : ^{24)} Si P ∈ A[X] est un polynôme on le considère comme fraction

rationnelle, abrègeant i(P) (= \frac{P}{1} ) ∈ A(X) en P ∈ A(X).

i(P_{1} + P_{2}) = i(P_{1}) + i(P_{2}) et i(P_{1} · P_{2}) = i(P_{1}) · i(P_{2})

Math122  Polynômes et fractions rationnelles. 2.2 Eléments simples sur ℂ

2.1.3 Proposition. Il y a une unique application D : A(X) → A(X) prolongeant la dérivation des polynômes telle que pour toutes fraction rationnelle a, b ∈ A(X) et tout polynôme P ∈ A[X] on a : (prolongement linéaire avec régle de Leibniz)

D(\frac{P}{1}) = \frac{D(P)}{1}, D(a + b) = D(a) + D(b), D(a · b) = D(a) · b + a · D(b)

elle est définie par D(\frac{P}{Q}) = \frac{D(P) · Q − P · D(Q)}{Q^{2}}

Démonstration de D(\frac{P}{Q}) = \frac{D(P) · Q − P · D(Q)}{Q^{2}} ne dépend que de \frac{P}{Q} : Soit P_{1}, Q_{1}, P_{2}, Q_{2} ∈ A[X] avec P_{1} · Q_{2} = Q_{1} · P_{2} alors :

[D(P_{1}) · Q_{1} − P_{1} · D(Q_{1})] · Q_{2}^{2} = [D(P_{1}) · Q_{2} + P_{1} · D(Q_{2})] · Q_{2} · Q_{1} − P_{1} · Q_{2}[D(Q_{2}) · Q_{1} + Q_{2} · D(Q_{1})] = D(P_{1} · Q_{2}) · (Q_{2} · Q_{1}) − Q_{1} · P_{2} · D(Q_{2} · Q_{1}) = D(P_{2}·Q_{1}) · Q_{1}·Q_{2} − P_{2} · D(Q_{2}·Q_{1})·Q_{1}=[D(P_{2})·Q_{1} + P_{2}·D(Q_{1})] · Q_{2}·Q_{1} − P_{2} · [D(Q_{2})·Q_{1} + Q_{2}·D(Q_{1})]·Q_{1}=[D(P_{2})·Q_{2} − P_{2}·D(Q_{2})] · Q_{1}^{2} □

2.1.4 Application (Dérivées successives de Arctg). Comme Arctg′(t) = \frac{1}{1 + t^{2}} = \frac{1}{2}[ \frac{1}{1 − it} + \frac{1}{1 + it} ] il vient pour tout entier naturel n ∈ ℕ :

\frac{1}{(n + 1)!} Arctg^{(n+1)} (t) = \frac{1}{2(n + 1)} (i)^{n}[ \frac{1}{(1 − it)^{n+1}} + (−1)^{n} \frac{1}{(1 + it)^{n+1}} ] = \frac{∑_{k=0}^{[ \frac{n}{2} ]} \binom{n + 1}{n − 2k} (−1)^{n−k} t^{n−2k}}{(n + 1)(1 + t^{2})^{n+1}}

En particulier \frac{1}{(2m + 1)!} Arctg^{(2m+1)} (0) = \frac{1}{2m + 1} et \frac{1}{(2m + 2)!} Arctg^{(2m+2)} (0) = 0.

2.2 Décomposition en éléments simples dans ℂ(X).

2.2.1 Théorème. Soit \frac{P}{Q} ∈ ℂ(X) une fraction rationnelle à coeficients complexes de dénominateur

de degré q, de factorisation réduite^{25)} si q ≥ 1 Q = a_{q} ∏_{k=1}^{p} (X − z_{k})^{m_{k}} ou Q = a_{0} alors il y a un ^{25)} c. a d. où 0 ≠ a_{q} ∈ ℂ et soit q = 0, Q = a_{0}, soit pour 1 ≤ i ≤ p polynôme E ∈ ℂ[X] et pour 1 ≤ k ≤ p et 1 ≤ l ≤ m_{k} des λ_{k,l} ∈ ℂ tels que :

\frac{P}{Q} = E + ∑_{k=1}^{p} ∑_{l=1}^{m_{l}} \frac{λ_{k,l}}{(X − z_{k})^{l}}

2.1.5 Exercice. Vérifier par récurrence sur n que la dérivée n^{ième} de la fraction rationnelle \frac{1}{1 + X^{2}} est D^{n}(\frac{1}{1 + X^{2}} ) = \frac{∑_{k=0}^{[ \frac{n}{2} ]} n!\binom{n + 1}{n − 2k} (−1)^{n−k} X^{n−2k}}{(1 + X^{2})^{n+1}}

il y a z_{i} ∈ ℂ et 1 ≤ m_{i} ∈ ℕ avec si i ≠ j, z_{i} ≠ z_{j}

Math122  Polynômes et fractions rationnelles. 2.3 Eléments simples sur ℝ

Démonstration : Par récurrence sur deg(Q) = q = ∑_{k=1}^{p} m_{k}. Si q = 0 alors \frac{P}{Q} = \frac{P}{a_{0}} = (a_{0})^{−1} P ∈ C[X] est un polynôme.

Sinon on suppose m_{1} ≥ ⋯≥ m_{p}. Soit, si 1 < m_{p}, r = p, s = q − p, sinon r + 1 = min{l | m_{l} = 1}, s = q + r − p < q, b_{s} = a_{n} et,

si r = 1, S = b_{0}, sinon S = b_{s} ∏_{n=1}^{r} (X − z_{n})^{m_{n−1}} et, pour 1 ≤ k ≤ p, Q_{k} = \frac{Q}{(X − z_{k})^{m_{k}}} = ∏_{1≤j≠k≤m} (X − z_{j})^{m_{j}} ∈ ℂ[X] est un polynôme tel que pour

i ≠ k, Q_{k}(z_{i}) = 0 et Q_{k}(z_{k}) ≠ 0. Si donc, pour 1 ≤ k ≤ p, on pose λ_{k,m_{k}} = \frac{P (z_{k})}{Q_{k}(z_{z})}, le polynôme R_{1} = P −∑_{k=1}^{m} λk, m_{k}Q_{k} vérifie pour 1 ≤ k ≤ p, R_{1}(z_{k}) = 0.

Comme les z_{k} sont deux à deux distincts, il y a un polynôme R ∈ ℂ[X] tel que R_{1} = R · ∏_{k=1}^{p} (X − z_{k}) d’où

\frac{P}{Q} − ∑_{k=1}^{p} \frac{λ_{k,m_{k}}}{(X − z_{k})^{m_{k}}} = \frac{R}{S}

et le résultat par récurrence puisque deg(S) = s < q = deg(Q). ) □

2.2.2 Exemple. Appliquons l’algorithme à la fraction rationnelle \frac{1}{X^{2} + 1} = \frac{1}{(X^{−} i)(X + i)} [dont les valeurs en t ∈ ℝ sont celles de la dérivée de la fonction Arctg] Ici P = 1, m_{1} = m_{2} = 1, z_{1} = i, z_{2} = −i donc λ_{1,1} = \frac{1}{i−(−i)} = \frac{1}{2i} = \frac{−i}{2} , λ_{2,1} = \frac{1}{−i−i} = \frac{1}{−2i} = \frac{i}{2} et on vérifie que :

\frac{1}{X^{2} + 1} − [\frac{−i}{2(X^{−} i)} + \frac{i}{2(X^{+} i)} = \frac{2 + i(X + i) − i(X − i}{2(X^{−} i)(X^{+} i)} = \frac{2 + iX − 1) − iX − 1}{2(X^{2} + 1)} = 0

2.3 Décomposition en éléments simples dans ℝ(X).

2.3.1 Théorème. Soit \frac{P}{Q} ∈ ℝ(X) une fraction rationnelle à coeficients réels de dénominateur de degré q, de factorisation réduite^{26)} si q ≥ 1 Q = a_{q} ∏_{k=1}^{r} (X−t_{k})^{m_{k}} ∏_{l=1}^{s} (X^{2}−2ℜ(ω_{l})X+|ω_{l}|^{2})^{ν_{k}}ou Q = a_{0} ^{26)} les cas r = 0 ou s = 0 sont possibles, il faut interpréter

∏_{k=1}^{0} (X − t_{k})^{m_{k}} = 1 = ∏_{l=1}^{0} (X^{2} − 2ℜ(ω_{l})X + |ω_{l}|^{2})^{ν_{k}}

∑_{k=1}^{0} ∑_{m=1}^{m_{k}} \frac{λ_{k,m}}{(X − t − k)^{m}} = 0 = ∑_{l=1}^{0} ∑_{n=1}^{ν_{l}} \frac{2α_{l,n} (X − ℜ(ω_{l})) + β_{l,n}}{(X^{2} − 2ℜ(ω_{l})X + |ω_{l}|^{2})^{n}}

alors il y a un polynôme E ∈ ℝ[X] et pour 1 ≤ k ≤ r, 1 ≤ l ≤ s et 1 ≤ m ≤ m_{k}, 1 ≤ n ≤ ν_{l} des λ_{k,m}, α_{l,n}, β_{l,n} ∈ ℝ tels que :

\frac{P}{Q} = E + ∑_{k=1}^{r} ∑_{m=1}^{m_{k}} \frac{λ_{k,m}}{(X − t − k)^{m}} + ∑_{l=1}^{s} ∑_{n=1}^{ν_{l}} \frac{2α_{l,n}(X − ℜ(ω_{l})) + β_{l,n}}{(X^{2} − 2ℜ(ω_{l})X + |ω_{l}|^{2})^{n}}

Math122  Polynômes et fractions rationnelles. 2.3 Eléments simples sur ℝ

2.3.2 Exemples. 1. \frac{P}{Q} = \frac{1}{X(X^{2} + 1)} = \frac{1}{X(X^{−} i)(X + i)} Ici P = 1, r = 1, s = 1, m_{1} = ν_{1} = 1, t_{1} = 0, ω_{1} = i donc λ_{1,1} = \frac{1}{0^{2} +1} = \frac{1}{1} = 1,

2[α_{1,1}(i − ℜ(i)) + β_{1,1} = \frac{1}{i} = −i, donc α_{1,1} = −\frac{1}{2}, β_{1,1} = 0, c. a d. 2α_{1,1}(X − ℜ(i)) + β_{1,1} = −X et on vérifie :

\frac{1}{X(X^{2} + 1)} −[ \frac{1}{X} + \frac{−X}{X^{2} + 1} ]= \frac{1 − [(X^{2} + 1) − X · X}{X(X^{2} + 1)} = \frac{1 − X^{2} − 1) − X^{2}}{X(X^{2} + 1)} = 0

2. Le cas \frac{P}{Q} = \frac{1}{X(X^{2} + 1)^{2}} se fait en deux étapes : trouver d’abord λ_{1,1} = \frac{1}{(0^{2} +1)^{2}} = \frac{1}{1} = 1, 2[α_{1,1}(i−ℜ(i))+β_{1,1} = \frac{1}{i} = −i,c. a d. 2α_{1,1}(X −ℜ(i))+β_{1,1} = −X,

puis : \frac{1}{X(X^{2} + 1)^{2}} −[ \frac{1}{X} + \frac{−X}{(X^{2} + 1)^{2}} ]= \frac{1 − (X^{2} + 1)^{2} − X}{X(X^{2} + 1)^{2}} = \frac{1 − X^{2} − 2X − 1 + X}{X(X^{2} + 1)^{2}} = \frac{−X^{2} − X}{X(X^{2} + 1)^{2}} = \frac{−X}{X^{2} + 1}