Math122  Integration 2.  TABLE DES MATIÈRES

Integration 2.

Intégrale inférieure des fonctions bornées, fonctions intégrables au sens de Riemann.

Table des matières

1 Intégrale de Riemann  3
1.1 Intégrale inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Fonctions intégrables première définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Condition et définition de Riemannn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Deux lemmes de subdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 La définition de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3 Equivalence des définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Math122  Integration 2.  TABLE DES MATIÈRES

Notations

Un intervalle réel fermé borné I = [a, b] est fixé, on note I̊ =]a, b[ l’intervalle ouvert correspondant.

Présentation

Dans le cas d’une fonction f : I → [0, M] bornée à valeurs positives ou nulles pour définir

l’intégrale ∫_{a}^{b}f (si cette dernière peut se définir !) une approche est de majorer (resp. minorer) l’aire

de son épigraphe eΓ(f) = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | a ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ f(x)}, par l’aire d’unions finies de rectangles ∪_{k=1}^{N} [a_{k−1} , a_{k}] × [0, l_{k}] ⊃ eΓ(f) contenants (resp. ∪_{k=1}^{N} [a_{k−1} , a_{k}] × [0, λ_{k}] ⊂ eΓ(f) contenues dans) cet épigraphe.

Dans le cas d’une fonction f : I → [m, M] bornée, mais pouvant changer de signe, sans référence à l’épigraphe (qui n’est plus défini), les formules calculant les aires précédentes d’union de rectangles gardent un sens, ce sont des sommes de Darboux supérieures et inférieures de la fonction f.

La majoration a été obtenue dans les notes intégration 1 (primitives des fonctions continues et intégrale de Riemann) par L(f), l’intégrale supérieure sur I de la fonction. Ici on va obtenir la minoration définissant Λ(f), l’intégrale inférieure sur I de la même fonction et dira que la fonction f est intégrable au sens de Riemann si Λ(f) = L(f).

Cette valeur commune sera ∫_{a}^{b}f l’intégrale de Riemann de la fonction f.

On verra que les fonctions continues et les fonctions monotones vérifient cette condition et donnera une condition caractérisant les fonctions intégrables au sens de Riemann la condition de Riemann qui permettra d’établir les propriétés de l’intégrale de Riemann.

Math122  Integration 2.

1 Fonctions intégrables au sens de Riemann sur I = [a, b] et leur intégrale.

1.1 Intégrale inférieure d’une fonction bornée sur un intervalle I = [a, b] fermé borné.

Soit m ≤ M, x < y ∈ ℝ et f : [x, y] → ℝ une fonction bornée^{1)} par m et M sur l’intervalle [x, y]. ^{1)} pour tout t ∈ [x, y] on a : m ≤ f(t) ≤ M Soit x ≤ a < b ≤ y et α : a = a_{0} < ⋯< a_{N} = b une subdivision d’un sous-intervalle [a, b] ⊂ [x, y].

1.1.1 Notations. Pour 1 ≤ k ≤ N on pose ;

m ≤ λ = inf{f(t) | a ≤ t ≤ b} ≤ λ_{k} = inf{f(t) | a_{k−1} < t < a_{k}} ≤ l_{k} = sup{f(t) | a_{k−1} < t < a_{k}} ≤ l = sup{f(t) | a ≤ t ≤ b}

1.1.2 Exemple. Si f est continue croissante λ_{k} = f(a_{k−1} ), l_{k} = f(a_{k}), si f est continue décroissante λ_{k} = f(a_{k}), l_{k} = f(a_{k−1} ).

1.1.3 Exercice. Soit ∅ ≠ X ⊂ [−M, M] ⊂ ℝ une partie non vide bornée de ℝ. Prouver :

sup_{x∈X}(−x) = − inf_{x∈X} (x) puis inf_{x∈X} (x) = −sup_{x∈X}(−x)

1.1.4 Corollaire et Définition. (i) λ_{k}(f) = −l_{k}(−f) (ii) La somme de Darboux inférieure de la fonction f associée à la subdivision α est :

Λ_{α}(a, b) [ = Λ_{α}(a, b; f)] = ∑_{k=1}^{N} λ_{k}·e_{k} = ∑_{k=1}^{N} inf{f(t) | a_{k−1} < t < a_{k}}·(a_{k}−a_{k−1} ) = −L_{α}(a, b; −f)

En particulier si f est continue croissante Λ_{α}(a, b) = ∑_{k=1}^{N} f(a_{k−1} ) · e_{k}

Les sommes de Darboux inférieures et supérieures s’encadrent en fonction des bornes de la fonction et sont, relativement au raffinement des subdivisions, décroissantes :

1.1.5 Proposition. (i) λ · (b − a) ≤ Λ_{α}(a, b) ≤ L_{α}(a, b) ≤ l · (b − a) (ii) si α′< α alors Λ_{α}(a, b) ≤ Λ_{α′}(a, b) ≤ L_{α′}(a, b) ≤ L_{α}(a, b)

Démonstration : Le premier point suit des encadrements 1.1.1 .

Pour le second, d’après le fait que L_{α′}(a, b; −f) ≤ L_{α}(a, b; −f) et le premier point, on a : Λ_{α}(a, b; f) = −L_{α}(a, b; −f) ≤ −L_{α′}(a, b; −f) = Λ_{α′}(a, b; f) □

Math122  Integration 2.  1.1 Intégrale inférieure

1.1.6 Exercice. En reprenant les arguments de Intégration 1 prouver la proposition 1.1.5 directement sans ramener les inf à des sup comme dans l’exercice 1.1.3 1.1.7 Exercice. Soit N un entier positif, α_{N} la subdivision régulière d’ordre N de l’intervalle [a, b] et f = i : [a, b] → ℝ, f(t) = t. Calculer Λ_{α_{N}} (a, b; f). 1.1.8 Exercice. Soit 1 < x ∈ R et h : [1, x] → R, h(t)= \frac{1}{t}.

1. Prouver, en notant pour 1 ≤ u < w ≤ x et v ∈]u, w[ α(v), la subdivision α(v) : u = u_{0} < u_{1} = v < u_{2} = w de [u, w] :

Λ_{α(v)} (u, w; h)= \frac{1}{v}(v − u) + \frac{1}{w}(w − v)=2 − \frac{u}{v} − \frac{v}{w} ≤ 2 − \frac{u}{\sqrt{uw}} − \frac{\sqrt{uw}}{w} =Λ_{α(\sqrt{uw} )} (u, w, h)

2. Admettant que parmi les subdivisions α d’ordre N de [a, b] il y en a une qui maximise la somme de Darboux inférieure Λ_{α} (a, b; h), en déduire que c’est la subdivision géométriquement régulière γ_{N} : 1 = x^{\frac{0}{N}} < ⋯< x^{\frac{k}{N}} < ⋯< x^{\frac{N}{N}} = x, qu’elle est de k ^{ième} pas e_{k} =(x^{\frac{1}{N}} − 1) x^{\frac{k−1}{N}} et, pour toute α d’ordre N :

Λ_{α} (1, x; h) ≤ Λ_{γ_{N}} (1, x; h) = ∑_{k=1}^{N} \frac{1}{x^{\frac{k}{N}}} (x^{\frac{1}{N}} − 1)x^{\frac{k−1}{N}} = ∑_{k=1}^{N} (1 − x^{\frac{−1}{N}} ) = N(1 − x^{\frac{−1}{N}} )

D’après 1.1.5 l’ensemble {Λ_{α}(a, b) | α ∈ A(a, b)} est un ensemble borné de nombres réels. Comme il est non vide il a une borne supérieure^{2)} et on peut poser la ^{2)} La borne supérieure sup(X) d’une partie ∅ ≠ X ⊂ ℝ non vide

majorée de ℝ est le plus petit de ses majorants, caractérisée par : 1. Pour tout x ∈ X on a x ≤ sup(X)

2. Si y < sup(X) ∈ ℝ il y a x ∈ X tel que y < x.

1.1.9 Définition et Proposition. L’intégrale inférieure de f sur [a, b] est

Λ(a, b) (= Λ(a, b; f)) = sup_{α∈A(a,b)} Λ_{α}(a, b)

On a Λ(a, b; f) = −L(a, b; −f) et Λ(a, b; f) ≤ L(a, b; f)

Démonstration : Soit α, β ∈ A(a, b) deux subdivisions de l’intervalle [a, b] et α′= α ∪ β. On a α′< α et α′< β donc d’après la proposition 1.1.5 on

a Λ_{α}(a, b) ≤ Λ_{α′}(a, b) ≤ L_{α′}(a, b) ≤ L_{β}(a, b) et Λ(a, b) = sup_{α∈A(a,b)} Λ_{α}(a, b) ≤ L_{β}(a, b), puis Λ(a, b) ≤ inf_{β∈A(a,b)} L_{β}(a, b) = L(a, b) □

1.1.10 Remarque. En général il n’y a pas égalité dans cette proposition.

1.1.11 Exemple. Soit f = χ_{[0,1]\ℚ} : [0, 1] → ℝ la fonction caractéristique des irrationnels de [0, 1], si t ∈ ℚ ∩ [0, 1], f(t) = 0 et si t ∈ [0, 1] \ ℚ, f(t) = 1. Alors, chacun des intervalles [a_{k−1} , a_{k}] d’une subdivision α contenant des rationnels et des irrationnels on a λ_{k} = 0 et l_{k} = 1 d’où Λ(0, 1) = Λ_{α} (0, 1) = 0 < 1 = L_{α} (0, 1) = L(0, 1).

1.1.12 Théorème. (i) λ · (b − a) ≤ Λ(a, b) ≤ L(a, b) ≤ l · (b − a) (encadrement des intégrales inférieure et supérieure)

(ii) Si x ≤ a < b < c ≤ y alors Λ(a, c) = Λ(a, b) + Λ(b, c) (relation de Chasles pour l’intégrale inférieure)

Démonstration : Le premier point suit de la proposition 1.1.5.

Pour le second, par la relation de Chasles pour l’intégrale supérieure de −f on a : Λ(a, c; f) = −L(a, c; −f) = −[L(a, b; −f) + L(b, c; −f)] = −L(a, b; −f) + (−L(b, c; −f)) = Λ(a, b; f) + Λ(b, c; f)

□

Math122  Integration 2. 1.2 Fonctions intégrables première définition

1.1.13 Complément. En posant, si d ∈ [x, y], ∫_{d}^{d} f = 0 les relations de Chasles pour les intégrales supérieures et inférieures ont lieu si x ≤ a ≤ b ≤ c ≤ y

1.1.14 Exercice. Démonter directement (sans utiliser Λ(a, c; f) = −L(a, c; −f)) la formule de Chasles pour l’intégrale inférieure en se souvenant [sans réouvrir intégration1 !] de la preuve de la relation de Chasles pour l’intégrale supérieure .

1.2 Fonctions intégrables au sens de Riemmann, première définition.

1.2.1 Définition. Une fonction bornée f : [x, y] → ℝ est intégrable au sens de Riemann (ou Riemann intégrable, ou R-intégrable) si Λ(x, y; f) = L(x, y; f). Son intégrale est ∫_{x}^{y} =_{Déf} Λ(x, y; f)(= L(x, y; f))

1.2.2 Exemple. D’après 1.1.11 la fonction f = χ_{[0,1]\[0,1]} : [0, 1] → ℝ, si t ∈ [0, 1] ∩ ℚ, f(t) = 0 et sinon f(t) = 1 n’est pas R-intégrable.

1.2.3 Proposition. Une fonction continue f : [x, y] → ℝ est R-intégrable.

Démonstration : Soit F_{1}, F_{2} : [x, y] → ℝ, F_{1}(x) = 0 = F_{2}(x) et si x < t ≤ y, F_{1}(t) = L(x, t; f), F_{2}(t) = Λ(x, t; f) = −L(x, t; −f).

On a vu que F_{1} et −F_{2} sont dérivables de dérivées F′_{1} = f et −F′_{2} = −f donc F_{1} et F_{2} étant deux primitives de f s’annulant en x sont égales, en particulier Λ(x, y; f) = F_{2}(y) = F_{1}(y) = L(x, y; f). □

1.2.4 Exercice. Soit u < v ∈ ℝ et 1 < y ∈ ℝ Déduire des exercices 1.1.7 et 1.1.8 et de leurs analogues dans intégration 1 pour les sommes de Darboux supérieures que les fonctions i : [u, v] → ℝ, i(t) = t et h : [1, y] → ℝ, h(t) = \frac{1}{t} sont R-intégrables

1.2.5 Théorème. Soit f : [x, y] → ℝ une fonction R-intégrable alors pour tout [a, b] ⊂ [x, y] la restriction f_{|} : [a, b] → ℝ est R-intégrable et :

(i) λ · (b − a) ≤ ∫_{a}^{b}f ≤ l · (b − a) (encadrement de l’intégrale)

En particulier si pour tout t ∈ [a, b], f(t) ≥ 0 alors ∫_{a}^{b}f ≥ 0 (positivivité de l’intégrale)

(ii) x ≤ a ≤ b ≤ c ≤ y on a : ∫_{a}^{c} f = ∫_{a}^{b}f + ∫_{b}^{c} f. (Relation de Chasles pour l’intégrale de Riemann)

Démonstration : Par la relation de Chasles pour Λ et L et le fait que f est R-intégrable, on a :

Λ(x, a) + Λ(a, b) + Λ(b, y) = Λ(x, y) = L(x, y) = L(x, a) + L(a, b) + L(b, y) d’où, puisque L(x, y) − Λ(x, y) = 0 et L(x, a) − Λ(x, a), L(b, y) − Λ(b, y ≥ 0 :

0 = L(x, y) − Λ(x, y) = L(x, a) − Λ(x, a) + L(a, b) − Λ(a, b) + L(b, y) − Λ(b, y) ≥ L(a, b) − Λ(a, b) ≥ 0 et donc L(a, b) − Λ(a, b) = 0 □

(Critère d’intégrabilité)

1.2.6 Lemme. Une fonction f : ℝ → ℝ bornée est intégrable si et seulement si :

Pour tout ϵ > 0 il y a une subdivision α ∈ A(a, b) de [a, b] telle que :

L_{α}(a, b; f) − Λ_{α}(a, b; f) (= ∑_{k=1}^{N(α)} (l_{k} − λ_{k}) · e_{k}) ≤ ϵ

De plus, si β ∈ A(a, b) est donnée, on peut supposer α < β.

Démonstration de la suffisance : Comme Λ(a, b) ≤ L(a, b) et pour tout α ∈ A(a, b) on a par définition L(a, b) ≤ L_{α}(a, b) et Λ_{α}(a, b) ≤ Λ(a, b), si L_{α} − Λ_{α} ≤ ϵ on a 0 ≤ L − Λ ≤ L_{α} − Λ_{α} ≤ ϵ. Ceci ayant lieu pour tout ϵ > 0 il vient 0 = L − Λ. □

Démonstration de la nécessité : Si L=L(a, b; f)=Λ(a, b; f)=Λ et ϵ > 0 soit α_{−} , α_{+} ∈ A(a, b) telles que Λ(a, b)− \frac{ϵ}{2} ≤ Λ_{α_{−}} (a, b) et L_{α_{+}} (a, b) ≤ L(a, b)+ \frac{ϵ}{2}. Pour α=α_{−} ∪β∪α_{+} on a α < β et comme α<α_{−} , α_{+} on a Λ_{α_{−}} ≤Λ_{α} ≤L_{α} ≤L_{α_{+}} d’où 0≤ L_{α} − Λ_{α} ≤L_{α_{+}} − Λ_{α−} ≤L + \frac{ϵ}{2} − (Λ − \frac{ϵ}{2})=L − Λ + ϵ=ϵ. □

1.2.7 Corollaire. Soit f, g : [a, b] → ℝ deux fonctions bornées telles que {t ∈ [a, b] | f(t) ≠ g(t)}

est fini alors f est R-intégrable si et seulemnt si g est R-intégrable. En ce cas ∫_{a}^{b}f = ∫_{a}^{b}g.

Démonstration : Soit β = {t ∈ [a, b] | f(t) ≠ g(t)}. Il suffit dans le critère 1.2.6 de prendre α < β puisqu’alors on a Λ_{α}(f)=Λ_{α}(g) et L_{α}(f)=L_{α}(g). □

1.2.8 Remarque. C’est pour avoir gratuitement ce corrollaire que dans les définitions des nombres λ_{k} = inf_{t∈]a_{k−1} ,a_{k} [} f(t) et l_{k} = sup_{t∈]a_{k−1} ,a_{k} [} f(t) on a pris les inf et sup

sur les intervalles ouverts ]a_{k−1} , a_{k}[ plutôt que dans les intervalles fermés [a_{k−1} , a_{k}] correspondants.

1.2.9 Corollaire. Une fonction monotone f : [a, b] est intégrable au sens de Riemann.

Démonstration : Pour tout t ∈ [a, b] on a, suivant que f est croissante ou décroissante f(a) ≤ f(t) ≤ f(b) ou f(b) ≤ f(t) ≤ f(a) donc f est bornée. Soit ϵ > 0 et α : a = a_{0} < ⋯< a_{N} = b une subdivision de [a, b] de plus grand pas e vérifiant |f(b) − f(a)| · e ≤ ϵ. Par l’exemple 1.1.2 on a :

L_{α}(f) − Λ_{α}(f)=∑_{k=1}^{N}(l_{k} − λ_{k}) · e_{k}=∑_{k=1}^{N} |f(a_{k}) − f(a_{k−1} )| · e_{k}≤∑_{k=1}^{N} |f(a_{k}) − f(a_{k−1} )| · e=|∑_{k=1}^{N} f(a_{k}) − f(a_{k−1} )| · e = |f(b) − f(a)| · e ≤ ϵ. □

(linéarité de l’intégrale)

1.2.10 Corollaire. Soit f, g : [a, b] → ℝ intégrables au sens de Riemann et x ∈ ℝ alors :

(i) xf est R-intégrable et ∫_{a}^{b}xf = x ∫_{a}^{b}f

(ii) f + g est R-intégrable et ∫_{a}^{b}f + g = ∫_{a}^{b}f + ∫_{a}^{b}g Démonstration de (i) : Si x = 0 alors xf = 0 est R-intégrable et ∫_{a}^{b}xf = 0 = x ∫_{a}^{b}f. Sinon soit ϵ > 0 et α ∈ A(a, b) tel que L_{α} − Λ_{α} ≤ \frac{ϵ}{|x|}. Si x > 0 comme t ↦ xt est un isomrphisme de (ℝ, <) sur lui même, pour 1 ≤ k ≤ N = N(α) on a l_{k}(xf) = xl_{k}(f) et λ_{k}(xf) = xλ_{k}(f), donc

L_{α}(xf) = ∑_{k=1}^{N} l_{k}(xf) · e_{k} = ∑_{k=1}^{N} xl_{k}(f) · e_{k} = x ∑_{k=1}^{N} l_{k}(f) · e_{k} = xL_{α}(f) et Λ_{α}(xf) = ∑_{k=1}^{N} λ_{k}(xf) · e_{k} = ∑_{k=1}^{N} xλ_{k}(f) · e_{k} = x ∑_{k=1}^{N} λ_{k}(f) · e_{k} = xΛ_{α}(f).

Si x < 0 comme t ↦ xt est un isomrphisme de (ℝ, <) sur (ℝ, >), pour 1 ≤ k ≤ N = N(α) on a l_{k}(xf) = xλ_{k}(f) et λ_{k}(xf) = xl_{k}(f), donc

L_{α}(xf) = ∑_{k=1}^{N} l_{k}(xf) · e_{k} = x ∑_{k=1}^{N} xλ_{k}(f) · e_{k} = xΛ_{α}(f) et Λ_{α}(xf) = ∑_{k=1}^{N} λ_{k}(xf) · e_{k} = ∑_{k=1}^{N} xl_{k}(f) · e_{k} = x ∑_{k=1}^{N} l_{k}(f) · e_{k} = xL_{α}(f).

Dans les deux cas on a L_{α}(xf) − Λ_{α}(xf) = |x|( L_{α}(f) − Λ_{α}(f)) ≤ ϵ et xf est intégrable. Son intégrale étant ∫_{a}^{b}f = L(xf) (= Λ(xf)), la borne inférieure des L_{α}(xf) qui si x > 0 est xL_{α}(f) et si x < 0 est xΛ_{α}(f) de borne inférieure dans le premier cas [t ↦ xt croissant] xL(f) et dans le second [t ↦ xt décroissant] xΛ(f). Comme f est intégrable L(f) = Λ(f) = ∫_{a}^{b}f et on a bien ∫_{a}^{b}xf = x ∫_{a}^{b}f. □ Démonstration de (ii) : Remarquons d’abord que si α ∈ A(a, b) alors pour 1 ≤ k ≤ N = N(α) on a λ_{k}(f)+λ_{k}(g) ≤ λ_{k}(f +g) et l_{k}(f +g) ≤ l_{k}(f)+l_{k}(g)

donc Λ_{α}(f) + Λ_{α}(g) = ∑_{k=1}^{N} λ_{k}(f) · e_{k} + ∑_{k=1}^{N} λ_{k}(g) · e_{k} = ∑_{k=1}^{N} (λ_{k}(f) + λ_{k}(g)) · e_{k} ≤ ∑_{k=1}^{N} λ_{k}(f + g) · e_{k} = Λ_{α}(f + g) et

L_{α}(f + g) = ∑_{k=1}^{N} l_{k}(f + g) · e_{k} ≤ ∑_{k=1}^{N} (l_{k}(f) + l_{k}(g)) · e_{k} = ∑_{k=1}^{N} l_{k}(f) · e_{k} + ∑_{k=1}^{N} l_{k}(g) · e_{k} = L_{α}(f) + L_{α}(g).

Soit ϵ > 0 et α, β ∈ A(a, b) avec α < β et ∫_{a}^{b}f − \frac{ϵ}{4} ≤ Λ_{β}(f) (≤ Λ_{α} ≤ L_{α}) ≤ L_{β}(f) ≤ ∫_{a}^{b}f + \frac{ϵ}{4} et ∫_{a}^{b}g − \frac{ϵ}{4} ≤ Λ_{α}(g) ≤ L_{α}(g) ≤ ∫_{a}^{b}f + \frac{ϵ}{4} donc

∫_{a}^{b}f + ∫_{a}^{b}g − \frac{ϵ}{2} ≤ Λ_{α}(f) + Λ_{α}(g) ≤ Λ_{α}(f + g) ≤ L_{α}(f + g) ≤ L_{α}(f) + L_{α}(g) ≤ ∫_{a}^{b}f + ∫_{a}^{b}g + \frac{ϵ}{2} et L_{α}(f + g) − Λ_{α}(f + g) ≤ ϵ, soit f + g est R-intégrable

et pour tout ϵ > 0 il y a α ∈ A(a, b) tel que ∫_{a}^{b}f + ∫_{a}^{b}g − \frac{ϵ}{2} ≤ Λ_{α}(f + g) ≤ L_{α}(f + g) ≤ ∫_{a}^{b}f + ∫_{a}^{b}g + \frac{ϵ}{2}, c. a d. ∫_{a}^{b}f + g = ∫_{a}^{b}f + ∫_{a}^{b}g □

1.2.11 co-Corollaire. Soit h, k : [a, b] → ℝ R-intégrables avec pour tout t ∈ [a, b], h(t) ≤ k(t) alors : (monotonicité de l’intégrale)

∫_{a}^{b}h ≤ ∫_{a}^{b}k

Démonstration : f =k − h est R-intégrable et vérifie pour tout t∈[a, b]f(t)≥0. Donc d’après 1.2.5 , 0 ≤ ∫_{a}^{b}f =∫_{a}^{b}k − h=∫_{a}^{b}k − ∫_{a}^{b}h d’où ∫_{a}^{b}h ≤ ∫_{a}^{b}k. □

1.2.12 Remarques. 1. Une autre formulation du corollaire 1.2.10 est que R([a, b]) = {f : [a, b] → ℝ | f est R-intégrable} est un sous espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions sur [a, b] et l’intégrale ∫_{a}^{b} : R([a, b]) → ℝ, f ↦ ∫_{a}^{b}f est linéaire.

2. Cette linéarité de l’intégrale des fonctions R-intégrables, n’a pas lieu pour les intégrales supérieures et inférieures des fonctions bornées quelconque. C’est esssentiellement pour l’obtenir que l’on s’est restreint aux fonctions R-intégrables [et doit se battre un peu plus avec les ϵ!].

1.2.13 Exemple. Soit f = 2χ_{[0,1]\ℚ} −1, g = −f : [0, 1] → ℝ. On a f +g = 0 donc Λ(0, 1; f +g) = 0 = L(0, 1; f +g), mais comme Λ(f) = −1 = Λ(g), L(f) = 1 = L(g) on a Λ(0, 1; f) + Λ(0, 1; g) = −2 ≠ 0 = Λ(f + g), L(f + g) = 0 ≠ 2 = L(f) + L(g)

1.2.14 Exercices. Soit f, g : [a, b] → ℝ deux fonctions bornées.

1. Prouver Λ(a, b; f) + Λ(a, b; g) ≤ Λ(a, b; f + g) ≤ L(a, b; f + g) ≤ L(a, b; f) + L(a, b; g)

2. Si pour tout t ∈ [a, b], f(t) ≤ g(t) prouver Λ(a, b; f) ≤ Λ(a, b; g) et L(a, b; f) ≤ L(a, b; g).

1.2.15 Théorème. Soit f : [a, b] → ℝ R-intégrable alors |f| est R-intégrable et :

|∫_{a}^{b}f| ≤ ∫_{a}^{b}|f|

Démonstration : Soit ϵ > 0 et α ∈ A(a, b) telle que ∫_{a}^{b}f − \frac{ϵ}{2} ≤ Λ_{α}(f) ≤ L_{α}(f) ≤ ∫_{a}^{b}f + \frac{ϵ}{2}. Pour 1 ≤ k ≤ N = N(α) et a_{k−1} < s, t < a_{k} on a d’après la seconde inégalité triangulaire |f(t)| − |f(s)| ≤ |f(t) − f(s)| donc :

l_{k}(f) − λ_{k}(f) = sup_{a_{k−1} <s,t<a_{k}} f(t) − f(s) = sup_{a_{k−1} <s,t<a_{k}} |f(t) − f(s)| ≥ sup_{a_{k−1} <s,t<a_{k}} |f(t)| − |f(s)| = l_{k}(|f|) − λ_{k}(|f|) et

L_{α}(|f|) − λ_{α}(|f|) = ∑_{k=1}^{N} (l_{k}(|f|) − λ_{k}(|f|)) · e_{k} ≤ ∑_{k=1}^{N} (l_{k}(f) − λ_{k}(f)) · e_{k} = L_{α}(f) − λ_{α}(f) ≤ ϵ. Ainsi |f| est R-intégrable.

Comme pour tout t ∈ [a, b] on a −|f(t)| ≤ f(t) ≤ |f(t)| il suit de 1.2.10 et 1.2.11 − ∫_{a}^{b}|f| = ∫_{a}^{b}−|f| ≤ ∫_{a}^{b}f ≤ ∫_{a}^{b}|f|, c. a d. |∫_{a}^{b}f| ≤ ∫_{a}^{b}|f| □

1.2.16 Remarque. La réciproque n’est pas vraie : la valeur absolue |f| d’une fonction peut être R-intégrable sans que la fonction f soit R-intégrable 1.2.17 Exemple. Soit f = 2χ_{[0,1]\ℚ} − 1 : [0, 1] → ℝ, alors f n’est pas R-intégrable, mais |f| = 1 est R-intégrable.

Math122  Integration 2.1.3 Condition et définition de Riemannn

1.3 La condition de Riemann et définition de Riemann de l’intégrale.

1.3.1 Deux lemmes de subdivision. 1.3.1 Rappels et définitions. Soit α : a = a_{0} < ⋯< a_{N} = b une subdivision de l’intevalle [a, b] et f : [a, b] → ℝ bornée : il y a B tel que pour tout t ∈ [a, b] on a |f(t)| ≤ B. Soit pour 1 ≤ k ≤ N

\overline{λ}_{k} =^{D�f} inf_{t∈[a_{k−1} ,a_{k}]}f(t) ≤ λ_{k} ( =^{D�f} inf_{t∈]a_{k−1} ,a_{k}[}f(t)) ≤ l_{k} ( =^{D�f} sup_{t∈]a_{k−1} ,a_{k}[}f(t))≤ \overline{l}_{k} =^{D�f} sup_{t∈[a_{k−1} ,a_{k}]}f(t)

L’oscillation de f sur [a_{k−1} , a_{k}] est

s_{k} =^{D�f} sup_{t,s∈[a_{k−1} ,a_{k}]}|f(t) − f(s)| = sup_{t∈[a_{k−1} ,a_{k}]}f(t) − inf_{s∈[a_{k−1} ,a_{k}]}f(s) = l_{k} − λ_{k}

Les sommes de Darboux inférieures et supérieures étendues de f associées à α sont :

\overline{Λ}_{α} (= \overline{Λ}_{α}(f; α)) =^{D�f} ∑_{k=1}^{N} \overline{λ}_{k} · e_{k}, \overline{L}_{α} (= \overline{L}_{α}(f; α)) =^{D�f} ∑_{k=1}^{N} \overline{l}_{k} · e_{k}

1.3.2 Lemme. Soit 0 < δ < \frac{e}{2} et β : a = b_{0} < ⋯< b_{2k−1} = a_{k−1} + δ < b_{2k} = a_{k} − δ < ⋯< b_{2N+1} = a_{N} alors :

Λ_{α} − (4N − 2)Bδ ≤ \overline{Λ}_{β} ≤ Λ_{β}, L_{β} ≤ \overline{L}_{β} ≤ L_{α} + (4N − 2)Bδ

Démonstration : La seconde relation se déduit de la première et de sup_{x∈X}(x) = − inf_{x∈X} (−x) qui implique L_{α} (f) = −Λ_{α} (−f), L_{β}(f) = −Λ_{β}(−f) et \overline{L}_{β} = −\overline{Λ}_{β}(−f). L’inégalité \overline{Λ}_{β} ≤ Λ_{β} suit de \overline{λ}_{k} ≤ λ_{k} et e_{k} = a_{k} − a_{k−1} > 0. On a [b_{0}, b_{1}] = [a_{0}, a_{0} + δ], [b_{2N} , b_{2N+1} ] = [a_{N} − δ, a_{N}] et, pour 0 < k < N, [b_{2k}, b_{2k+1} ] = [a_{k} − δ, a_{k} + δ] et [b_{2k−1} , b_{2k}] ⊂]a_{k−1} , a_{k}[ donc : \overline{λ}_{2k}(β; f) ≥ −B, \overline{λ}_{2k−1} (β; f) ≥ λ_{k}(α; f) et \overline{l}_{2k}(β; f) ≤ B, \overline{l}_{2k−1} (β; f) ≤ l_{k}(α; f) d’où :

\overline{Λ}_{β} = ∑_{l=1}^{2N+1} \overline{λ}_{l}(β; f)(b_{l} − b_{l−1} ) = ∑_{k=0}^{N} \overline{λ}_{2k}(β; f)(b_{2k+1} − b_{2k}) + ∑_{k=1}^{N} \overline{λ}_{2k−1} (β; f)(b_{2k} − b_{2k−1} ) ≥

∑_{k=0}^{N} −B(b_{2k+1} − b_{2k}) + \overline{λ}_{1}(α; f)(a_{1} − a_{0} − δ) + ∑_{k=2}^{N−1} \overline{λ}_{k}(α; f)(a_{k} − a_{k−1} − 2δ) + \overline{λ}_{N} (α; f)(a_{N} − a_{N−1} − δ) =

− N2Bδ + ∑_{k=1}^{N} \overline{λ}_{k}(α; f)(a_{k} − a_{k−1} ) − \overline{λ}_{1}(α; f)δ − 2 ∑_{k=2}^{N−1} \overline{λ}_{k}(α; f)δ − \overline{λ}_{N} (α; f)δ) = Λ_{α} − N2Bδ − \overline{λ}_{1}(α; f)δ − 2 ∑_{k=2}^{N−1} \overline{λ}_{k}(α; f)δ − \overline{λ}_{N} (α; f)δ ≥ Λ_{α} − (4N − 2)Bδ □

1.3.3 Exercice. Reprendre la démonstration pour prouver directement (sans s’y ramener à la première par sup_{x∈X}(x) = − inf_{x∈X} (−x) ) la seconde relation.

1.3.4 Corollaire. (i) \overline{Λ} (= \overline{Λ}(a, b; f)) =^{D�f} sup_{α∈A(a,b)} \overline{Λ}_{α} = Λ ( =^{D�f} sup_{α∈A(a,b)} Λ_{α})

(ii) \overline{L} (= \overline{L}(a, b; f)) =^{D�f} inf_{α∈A(a,b)} \overline{L}_{α} = L ( =^{D�f} inf_{α∈A(a,b)} L_{α})

Le second lemme de subdivision précise la monotonicité pour l’ordre de subdivision des sommes de Darboux (second point de la proposition 1.1.5 ) :

1.3.5 Lemme. Soit β : a = b_{0} < ⋯< b_{N} = b une subdivision de [a, b] et α < β une subdivision de [a, b] raffinant β : α : a = a_{0} < ⋯< a_{N+M} = b (α a M points de plus que β) alors :

\overline{L}_{α} + 2BMe(β) ≥ \overline{L}_{β} ≥ \overline{L}_{α} et \overline{Λ}_{α} − 2BMe(β) ≤ \overline{Λ}_{β} ≤ \overline{Λ}_{α}

Démonstration : Il suffit de traiter le cas où M = 1 (la subdivision α est élémentaire) il y a alors 1 ≤ k ≤ M tel que :

si 0 ≤ l < k, a_{l} = b_{l}, b_{k−1} = a_{k−1} < a_{k} < b_{k} = a_{k+1} et si k < m ≤ M + 1, a_{m} = b_{m−1} (le nouveau point est intérieur au k^{ième} intervalle de β) et :

\overline{L}_{β} − \overline{L}_{α} = ∑_{l=1}^{N} \overline{l}_{l}(β)e_{l}(β) − ∑_{j=1}^{N+1} \overline{l}_{j}(α)e_{j}(α) = \overline{l}_{k}(β)(b_{k} − b_{k−1} ) − \overline{l}_{k}(α)(a_{k} − a_{k−1} ) − \overline{l}_{k+1} (α)(a_{k+1} − a_{k}) =

= \overline{l}_{k}(β)(a_{k+1} − a_{k} + a_{k} − a_{k−1} ) − \overline{l}_{k}(α)(a_{k} − a_{k−1} ) − \overline{l}_{k+1} (α)(a_{k+1} − a_{k}) = (\overline{l}_{k}(β) − \overline{l}_{k}(α))(a_{k} − a_{k−1} ) + (\overline{l}_{k}(β) − \overline{l}_{k+1} (α))(a_{k+1} − a_{k}).

Comme 0 ≤ \overline{l}_{k}(β) − \overline{l}_{k}(α), \overline{l}_{k}(β) − \overline{l}_{k+1} (α) ≤ 2B il vient 0 ≤ \overline{L}_{β} − \overline{L}_{α} ≤ 2B(a_{k} − a_{k−1} + a_{k+1} − a_{k}) = 2B(a_{k+1} − a_{k−1} ) = 2B(b_{k} − b_{k−1} ) ≤ 2Be(β) d’où le premier encadrement. le second, puisque (\overline{Λ}_{β}(f), \overline{Λ}_{α}(f)) = (−\overline{L}_{β}(−f), −\overline{L}_{α}(−f)), s’obtient en appliquant ce premier encadrement à la fonction −f. □

1.3.6 Exercice. Ecrire les détails de la preuve du second encadrement, d’abord comme indiqué, puis directement en reprenant la preuve du premier encadrement.

1.3.7 Corollaire. Pour toute subdivision β, γ on a l’encadrement :

\overline{Λ}_{γ} − 2BN(γ)e(β) ≤ \overline{Λ}_{β} ≤ \overline{L}_{β} ≤ \overline{L}_{γ} + 2BN(γ)e(β)

Démonstration : Comme α = γ ∪ β < γ donc \overline{Λ}_{γ} ≤ \overline{Λ}_{α} ≤ \overline{L}_{α} ≤ \overline{L}_{γ}, cela suit, puisque α = γ ∪ β < β raffine β, de 1.3.5 et est d’ordre N(α) = N(β) + M ≤ N(β) + N(γ). □

1.3.2 La définition de Riemann de l’intégrale.

1.3.8 Définitions. Un marquage d’une subdivision α : a = a_{0} < ⋯< a_{N} = b de l’intervalle [a, b] est t = (t_{1}, …t_{N}) ∈ ℝ^{N} tel que pour 1 ≤ k ≤ N, t_{k} ∈ [a_{k−1} , a_{k}] ^{3)} ^{3)} donc a = a_{0} ≤ ⋯≤ a_{k−1} ≤ a_{k−1} ≤ t_{k} ≤ ⋯≤ a_{N} = b et une

On dit alors que (α, t) est une subdivision marquée de l’intervalle [a, b]. des deux inégalités a_{k−1} ≤ t_{k}, a_{k−1} ≤ t_{k} est stricte.

La somme de Riemann de f associée à la subdivision marquée (α, t) est :

S_{αt}(f) = ∑_{k=1}^{N} f(t_{k}) · e_{k} = ∑_{k=1}^{N} f(t_{k}) · (a_{k} − a_{k−1} )

Une fonction^{4)} f : [a, b] → ℝ est intégrable au sens de Riemann, d’intégrale I(f) si pour tout ^{4)} On ne suppose pas f bornée (mais verra en 1.3.10 ci-desous ϵ > 0 il y a δ > 0 tel que pour toute subdivision marquée (α, t) avec e(α) ≤ δ on a |I(f)−S_{α,t}(f)| ≤ ϵ qu’une fonction intégrable au sens de Riemann est bornée)

1.3.9 Remarque. L’intérêt de cette définition par rapport à la première est que d’une part on n’a pas à calculer les bornes supérieures l_{k} = sup_{t∈]a_{k−1} ,a_{k}[} f(t) et inférieures λ_{k} inf_{t∈]a_{k−1} ,a_{k}[} f(t) de f sur

les intervalles [a_{k−1} , a_{k}] de la subdivision α ∈ A(a, b) de [a, b], mais surtout que au lieu des bornes inférieures L = inf_{α∈A(a,b)} L_{α} et supérieures Λ = sup_{α∈A(a,b)} Λ_{α} sur l’ensemble non dénombrable A(a, b) des

subdivisions de l’intervalle [a, b] on a un critère portant sur le seul plus grand pas des subdivisions.

Ce critère permet une fois que l’on sait la fonction intégrable d’avoir (par exemple en prenant des subdivisions régulières assez fines et pour t_{k} soit une extrémité soit le milieu du k^{ième} intervalle [a_{k−1} , a_{k}]) des approximations explicites de l’intégrale I(f). Alors que pour la première définition on n’avait à priori aucune manière de déterminer une subdivision α ∈ A(a, b) de l’intervalle [a, b] telle que L_{α} (ou Λ_{α}) approche L = Λ.

De plus la définition de Riemann implique que les fonctions intégrables en ce sens sont bornées :

1.3.10 Proposition. Une fonction intégrable au sens de Riemann est bornée.

Démonstration : Soit s ∈ [a, b]. On applique la définition avec ϵ = 1. Si (α, t) vérifie e(α) ≤ δ et, si a_{k−1} ≤ s ≤ a_{k} on considère (α, s) tel que s_{k} = s

et si 1 ≤ l ≠ k ≤ N, s_{l} = t_{l} alors : |f(s)| · e_{k} = | ∑_{l=1}^{N} f(s_{l}) − ∑ ; \begin{matrix}1 ≤ l ≤ N \\ l ≠ k \end{matrix} f(s_{l})_{l} · e_{l}| ≤ |I(f)| + 1 + ∑ ; \begin{matrix}1 ≤ l ≤ N \\ l ≠ k \end{matrix} f(t_{k})_{l} · e_{l} ≤ |I(f)| + 1 + ∑_{l=1}^{N} |f(t_{l})|δ d’où

|f(s)| ≤ [|I(f)| + 1 + ∑_{l=1}^{N} |f(t_{l})|δ])[ min_{1≤k≤N} e_{k}]^{−1} □

La définition suivante est, d’après le théorème fondamental 1.3.12 ci-dessous, un critère équivalent à ce qu’une fonction soit intégrable au sens de Riemann sans avoir à connaître son intégrale I(f), comme le critère de Cauchy permet de décider qu’une suite converge sans connaître sa limite :

1.3.11 Définition. Une fonction f : [a, b] → ℝ vérifie la condition de Riemann si pour tout ϵ > 0 il

y a δ > 0 tel que pour toute subdivision α avec e(α) ≤ δ on a ∑_{k=1}^{N(α)} s_{l} · e_{k} ≤ ϵ 1.3.3 Equivalence des définitions.

( \begin{matrix}théorème fondamental : \\ équivalence des définitions \end{matrix})

1.3.12 Théorème. Soit f : [a, b] → ℝ bornée alors sont équivalents :

(i) f est R-intégrable au sens de la première définition (Λ(f) = L(f)) (ii) \overline{Λ}(f) = \overline{L}(f) (iii) f est intégrable au sens de la définition de Riemann. (iv) f vérifie la condition de Riemann.

En ce cas on note Λ(f) = \overline{Λ}(f) = \overline{L}(f) = L(f) = I(f) =^{not�} ∫_{a}^{b}f =^{syn} ∫_{a}^{b}f dt

Démonstration : (i) ⇒ (ii) est le corollaire 1.3.4 du premier lemme de subdivision 1.3.2 (iii) ⇒ (iv) Soit ϵ > 0 et δ > 0 tel que pour toute subdivision marquée (α, t) avec e(α) ≤ δ on a |S_{α,t}(f) − I(f)| ≤ \frac{ϵ}{2}. Si α : a = a_{0} < ⋯< a_{N} = n est telle que e(α) ≤ δ et pour 1 ≤ k ≤ N soit a_{k−1} ≤ t_{k}, u_{k} ≤ a_{k} avec f(u_{k}) ≤ f(t_{k}) alors :

|∑_{k=1}^{N} (f(t_{k}) − f(u_{k}))e_{k}| = ∑_{k=1}^{N} f(t_{k})e_{k} − ∑_{k=1}^{N} f(u_{k})e_{k} = S_{α,s} (f) − S_{α,t}(f) = S_{α,s} (f) − I(f) + I(f) − S_{α,t}(f) ≤ |S_{α,s} (f) − I(f)|+ |I(f) − S_{α,t}(f)| ≤ \frac{ϵ}{2}+ \frac{ϵ}{2} = ϵ.

D’où, puisque s_{k} = sup_{t_{k},u_{k}∈[a_{k−1} ,a_{k}]} f(t_{k}) − f(u_{k}), ∑_{k=1}^{N} s_{k} · e_{k} ≤ ϵ et la condition de Riemann est vérifiée.

(iv) ⇒ (i) Pour toute subdivision α ∈ A(a, b) de [a, b] on a 0 ≤ L_{α} − Λ_{α} ≤ \overline{L}_{α} − \overline{Λ}_{α} = ∑_{k=1}^{N} s_{k}(α) · e_{k}(α). Donc si f vérifie la condition de Riemann pour tout ϵ > 0 il y a un δ > 0 tel que si e(α) ≤ δ [par exemple si α = α_{N} est la subdivision régulière d’ordre N ≥ \frac{b−a}{δ} ] on a 0 ≤ L_{α} − Λ_{α} ≤ ϵ et donc pour tout ϵ > 0 il y a α ∈ A(a, b) tel que 0 ≤ L − Λ ≤ L_{α} − Λ_{α} ≤ ϵ et donc L − Λ = 0. (ii) ⇒ (iii) (C’est la partie cruxiale). Soit ϵ > 0 et γ : a = c_{0} < ⋯< c_{M} = b une subdivision de [a, b] vérifiant 0 ≤ \overline{Λ}_{γ} − \overline{L}_{γ} ≤ \frac{ϵ}{2}. Soit β ∈ A(a, b) avec e(β) ≤ \frac{ϵ}{8MB} = δ. Le corollaire 1.3.7 donne \overline{L}_{β} − \overline{L}_{γ} ≤ 2MBe(β) ≤ 2MB \frac{ϵ}{8MB} ≤ \frac{ϵ}{4} et \overline{Λ}_{γ} − \overline{Λ}_{β} ≤ 2MBe(β) ≤ 2MB \frac{ϵ}{8MB} ≤ \frac{ϵ}{4} donc \overline{L}_{β} − \overline{Λ}_{β} = \overline{L}_{β} − \overline{L}_{γ} + \overline{L}_{γ} − \overline{Λ}_{γ} + \overline{Λ}_{γ} − \overline{Λ}_{β} ≤ \frac{ϵ}{4} + \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{4} = ϵ.

Ainsi si β : a = b_{0} < ⋯< b_{K} = b est marquée par t: pour 1 ≤ k ≤ K on a t_{k} ∈ [a_{k−1} , a_{k}] alors \overline{Λ}_{β} = ∑_{k=1}^{K} \overline{λ}_{k}·e_{k} ≤ ∑_{k=1}^{K} f(t_{k})·e_{k} = S_{β,t}(f) ≤ ∑_{k=1}^{K} \overline{l}_{k}·e_{k} = \overline{L}_{β}.

De \overline{Λ}_{β} ≤ \overline{Λ} = \overline{L} ≤ \overline{L}_{β} et en posant I(f) = \overline{Λ} = \overline{L} il vient |S_{β,t}(f) − I(f)| ≤ \overline{L}_{β} − \overline{Λ}_{β} ≤ ϵ et f est intégrable au sens de la définition de Riemann. □