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Rencontre au CIRM\ {}``résonances en physique mathématiques'' \ 19-23 janvier 2009.

Rencontre au CIRM
"résonances en physique mathématiques"
19-23 janvier 2009.

Contents

1  Présentation du thème et intérêt scientifique du colloque
    1.1  Motivations physiques
        1.1.1  Résonances quantiques
        1.1.2  Décohérence quantique
    1.2  Analyse semiclassique
        1.2.1  Dynamique chaotique
        1.2.2  Chaos quantique
    1.3  Quelques problématiques du chaos quantique
        1.3.1  Exemples simples de systèmes chaotiques
        1.3.2  Ergodicité quantique
        1.3.3  Distribution des résonances
2  le nombre de participants prévus et ayant confirmé leur participation
3  la liste des conférenciers prévus et ayant confirmé leur participation
4  la composition du comité scientifique
5  Un programme

1  Présentation du thème et intérêt scientifique du colloque

Le thème principal de ce colloque concerne les résonances telles qu'elles apparaissent dans plusieurs domaines de la physique mathématiques et de la physique théorique. La notion de résonance est une description de type spectrale pour des problèmes dynamiques. C'est une notion qui s'est très développée ces dernières années. Le concept de résonances apparaît sous des formes et des interprétations assez variées selon les domaines et nous souhaitons réunir et confronter les différentes communautés concernées en physique théorique et mathématiques:
Malgré la diversité des applications du concept de résonance, le concept de base et de nombreux outils sont communs. Par conséquent des résultats obtenus dans certains domaines peuvent être profitables à d'autres.
Nous décrivons maintenant ces différents domaines.

1.1  Motivations physiques

Le thème de ce colloque est de nature essentiellement théorique, puisqu'il concerne des systèmes quantiques modèles (simplifiés), mais dans une description rigoureuse (mathématique). Ces modèles partagent certaines caractéristiques avec les systèmes expérimentaux suivants:
Chacune de ces expériences concerne un système quantique "ouvert", autrement dit un "petit système" fortement couplé avec l'extérieur (ou "environnement"). Les phénomènes intéressants ont lieu dans une région bien définie de l'espace (la cellule à atomes, la cavité micro-onde ou la "boîte" mésoscopique), tandis que les particules à l'extérieur de cette zone peuvent être considérées comme étant "libres". Il s'agit donc d'expériences de diffusion: l'expérimentateur envoie un faisceau de particules libres vers la "boîte", et observe le faisceau sortant après l'interaction: la forme de ce faisceau le renseigne sur la nature des interactions à l'intérieur de la "boîte".

1.1.1  Résonances quantiques

Lorsqu'on fait varier l'énergie du faisceau incident, on observe dans l'intensité du faisceau sortants des fluctuations, qui prennent dans certains cas la forme de pics bien séparés: chaque pic correspond alors à une résonance, autrement dit un état métastable de la "boîte". Mathématiquement, l'hamiltonien décrivant le système n'a en général pas d'états liés, mais un spectre continu sur l'axe réel positif. Néanmoins, cet hamiltonien possède des "états propres métastables" associés à des valeurs propres complexes, qui sont les résonances: la partie réelle de la valeur propre donne la position pic, tandis que sa partie imaginaire en donne la largeur.
Lorsque la boîte est faiblement ouverte (faiblement couplée à l'extérieur), chaque résonance est une perturbation d'un état lié de la "boîte fermée". À mesure que le couplage augmente, les résonances deviennent plus profondes, et il devient impossible de discerner les pics les uns des autres. Le signal est alors fluctuant et sans structure simple : on est dans un régime de "fluctuations d'Ericson" (en physique nucléaire et atomique), de "fluctuations de conductance" (en physique mésoscopique). Nous nous intéresserons particulièrement à ce régime non-perturbatif.

1.1.2  Décohérence quantique

Une manière plus réaliste de modéliser un système quantique ouvert, c'est de tenir compte explicitement de la dynamique propre de l'environnement, ainsi que des interactions entre la "boîte" et ce dernier. En général, l'évolution du système total est trop compliquée pour être analysée exactement, et on a recours à une évolution effective du petit système, qui est alors non-unitaire et non-réversible. Pour des faibles interactions avec l'environnement (régime perturbatif), cette dynamique effective peut être décrite par une équation maîtresse markovienne de Lindblad ou de Redfield décrivant l'évolution de la matrice densité du petit système. Cette évolution est caractérisée par des résonances, qui sont alors les valeurs propres du générateur de la dynamique. Une approche équivalente consiste a décrire la dynamique grâce à une équation de Schrödinger stochastique [Gisin-Percival, Dalibard-Castin-Mølmer, Carmichael].
Physiquement, l'interaction avec l'environnement a sur le petit système des effets dissipatifs (avec ou sans échange d'énergie) et de décohérence quantique qui découlent de l'intrication entre l'état du petit système et celui de l'environnement (l'état du système n'est plus décrit par un état pur mais par un mélange statistique d'états). Le second effet est généralement le plus rapide, et il est crucial de le contrôler si on veut réaliser un "ordinateur quantique" (le calcul fait par l'ordinateur doit se faire avant le début de cette décohérence). Par conséquent, il est important de contrôler l'échelle de temps de la décohérence, en fonction de la dynamique propre du petit système et de son couplage avec l'extérieur [Strunz-Haake-Braun].

1.2  Analyse semiclassique

Un autre point commun des expériences ci-dessus est qu'elles ont souvent lieu dans un régime "semi-classique": l'hamiltonien quantique contient une "constante de Planck effective" assez petite. Cette "constante" n'a pas forcément de rapport avec la constante absolue (h/2p). Par exemple, dans le cas du billard micro-onde, le régime semiclassique correspond au cas où la longueur d'onde des ondes injectées est petite par rapport à la taille caractéristique du billard. De même, une cavité mésoscopique (typiquement, de quelques microns) est grande par rapport à la longueur d'onde de Fermi des électrons assurant le transport.
Dans ces conditions, il convient d'utiliser des méthodes d'analyse semi-classiques pour décrire le système quantique. L'analyse semi-classique rigoureuse s'est beaucoup développée depuis une trentaine d'années, en particulier au sein de la communauté mathématique française.

1.2.1  Dynamique chaotique

Ce colloque concerne aussi les systèmes dont la dynamique classique est chaotique.
La dynamique classique est instable, et ne peut être décrite en général que par une approche probabiliste, dans la limite des temps longs: au lieu de décrire l'évolution d'une seule particule, on s'intéresse à l'évolution d'un "nuage" de particules donné par une certaine densité sur l'espace des phases. Ce formalisme permet de décrire de façon précise la vitesse à laquelle deux nuages de particules se "mélangent" lors de l'évolution. Dans les cas simples, la vitesse de mélange est exponentielle, et contrôlée par un autre type de "résonances" (dites de Ruelle-Pollicott). Ces résonances sont des valeurs propres d'opérateurs engendrant la dynamique sur des espaces fonctionnels adaptés.
La théorie des systèmes dynamiques (classiques) a fait d'importantes avancées ces dernières années.

1.2.2  Chaos quantique

Lorsqu'on quantifie un système hamiltonien non-intégrable, on ne peut utiliser les méthodes asymptotiques du type Bohr-Sommerfeld pour décrire les valeurs propres, car il n'y a qu'une seule quantité conservée (l'énergie), contre plusieurs degrés de liberté. Un certain nombre d'outils ont néanmoins été développés (surtout par les physiciens) pour caractériser la dynamique de systèmes quantiques dont la limite classique est chaotique. La "formule des traces" due à Gutzwiller relie les fluctuations du spectre d'un hamiltonien quantique à l'ensemble des orbites périodiques classiques. Ce type de formule a été employée également dans le cas de systèmes ouverts [Gaspard, Cvitanovi\'c, Smilansky].
Une approche complémentaire, introduite par les physiciens, consiste à comparer l'hamiltonien quantique à une matrice aléatoire [Wigner-Dyson, Bohigas-Giannoni-Schmit]. Il n'existe cependant pas de justification rigoureuse de cette approche. Cette approche statistique a été étendue aux systèmes quantiques ouverts [Weidenmüller, Smilansky, Beenakker, Fyodorov].

1.3  Quelques problématiques du chaos quantique

Ci-dessous nous présentons quelques aspects plus précis du "chaos quantique", qui ont progressé ces dernières années. On commencera par une description de modèles précis.

1.3.1  Exemples simples de systèmes chaotiques

Une première classe de modèles est fournie par le flot géodésique sur certains variétés riemanniennes de courbure négative: en raison de la courbure, le flot est Anosov. Parmi celles-ci on compte les variétés hyperboliques homogènes, obtenues comme quotient du demi-espace hyperbolique par un groupe discret. Selon la nature du groupe, on obtient une variété compacte ("système fermé") ou non-compacte ("système ouvert"); L'étude de ce type de variété constitue un domaine à part entière des mathématiques, du fait de multiples ramifications arithmétiques. Dans le cadre de présent projet, on s'attachera surtout à l'aspect dynamique de ces modèles. Le système dynamique quantique correspondant est le Laplacien associé à la métrique hyperbolique; le régime semi-classique correspond à la limite de haute énergie.
Les propriétés chaotiques sont aussi aisées à montrer pour un autre type de systèmes dynamiques : les transformations à temps discret sur un espace des phases compact (le tore bidimensionnel). Comme exemples, citons les automorphismes hyperboliques du tore (ou transformation du "chat d'Arnold"), ainsi que la transformation "du boulanger". Ces deux systèmes sont définis par des équations linéaires, donc très simples à analyser. Il est possible de les "quantifier": on obtient alors une suite d'opérateurs unitaires de dimensions finies arbitraires; la limite semi-classique correspond à considérer les quantifications de grande dimension.
Les transformations du "chat" et du "boulanger" ont toutes deux été quantifiées, et étudiées en détail par les physiciens et les mathématiciens. De telles applications quantiques sont très simples à étudier numériquement. Le "chat" quantifié possède des propriétés très spéciales (d'ordre arithmétique) qui permettent de l'analyser en détail. En perturbant la dynamique de façon non-linéaire, on obtient un système chaotique "générique" sur le tore, qu'on sait aussi quantifier.

1.3.2  Ergodicité quantique

Le "chaos quantique" est un domaine relativement jeune en mathématiques, où il s'intègre dans la théorie spectrale de certains types d'opérateurs (pseudo-)différentiels, ou plus généralement l'étude des EDP linéaires.
Il existe peu de résultats généraux concernant les états propres d'un système chaotique "fermé": le théorème de Schnirelman prédit que, dans la limite semi-classique, la plupart des états propres sont équidistribués sur toute la surface d'énergie [Zelditch, Colin de Verdière]. La possibilité d'états propres exceptionnellement localisés (par exemple, le long d'une orbite périodique) n'est toujours pas résolue, sauf pour certains modèles très particuliers. Faure, Nonnenmacher et De Bièvre ont montré que dans le cas de la transformation du "chat d'Arnold quantique", certains états propres se localisent partiellement sur une orbite périodique. Ils ont ensuite montré qu'il est impossible que des états propres se localisent totalement sur une orbite ou une union d'orbites. Récemment, Anantharaman a montré que dans le cas du flot géodésique sur une variété de courbure négative, les états propres de haute énergie ne peuvent se localiser sur des ensembles trop "fins". Sa stratégie de preuve semble généralisable à un grand nombre de systèmes.

1.3.3  Distribution des résonances

Dans les 20 dernières années, des résultats rigoureux ont été obtenus concernant la distribution des résonances et leur influence sur la dynamique, dans divers types de problèmes (diffusion par des obstacles ou des potentiels à décroissance rapide) [Melrose, Sjöstrand, Zworski, Vodev].
L'étude se ramène souvent à l'analyse spectrale de certains opérateurs (pseudo-)différentiels non auto-adjoints, qui est moins aisée que le cas auto-adjoint. Par exemple, dans le cas auto-adjoint (système "fermé"), on connaît bien la densité de valeurs propres, donnée par la loi de Weyl. Dans le cas "ouvert", on conjecture depuis peu [Sjöstrand-Zworski-Guillopé] que le nombre de résonances dans une région donnée du plan complexe satisfait également une "loi de Weyl généralisée", caractérisée par la géométrie de l'ensemble des trajectoires piégées. Une borne supérieure pour cette loi de distribution a été obtenue dans certains cas [Zworski-Guillopé, Sjöstrand-Zworski] Dans un travail récent, Nonnenmacher et Zworski ont mis en évidence une telle loi de Weyl généralisée pour une certaine "application quantique ouverte".
Les modèles de "décohérence quantique" décrits plus haut sont également décrits (de façon effective) par un opérateur d'évolution non auto-adjoint (ou un propagateur non-unitaire). L'étude spectrale correspondante est donc souvent du même type que celle d'un problème de diffusion. Là encore, il existe peu de résultats (rigoureux ou non) sur le spectre du propagateur effectif, et encore moins en présence d'une dynamique chaotique.
Dans l'exemple d'une variété hyperbolique non-compacte, la théorie des groupes fournit des outils puissants pour avoir accès aux résonances: celles-ci sont données par les pôles de la fonction Zêta de Selberg, définie en termes de géodésiques périodiques: la correspondance classique-quantique est alors exacte.

2  le nombre de participants prévus et ayant confirmé leur participation

40 participants prévus environ.

3  la liste des conférenciers prévus et ayant confirmé leur participation

Experimentalists  
Theoritical physicists  
Quantum systems coupled to a bath  
Semi-classical Non Hermitian operators  
Semiclassical Quantum resonances  
Ruelle Resonances  
Hyperbolic Manifolds  

4  la composition du comité scientifique

5  Un programme

Répartis du lundi au vendredi:


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On 5 Sep 2008, 13:43.