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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\newcounter{qstct}[exo]
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\newcommand{\qstn}{\noindent\stepcounter{qstct}\hspace{0.1cm}}

\newcounter{sqct}[sqct]
\newcommand{\sq}{ \noindent\stepcounter{sqct}\textbf{\alph{sqct}.}\hspace{0.1cm}}

\def\b#1{{\mathbb{#1}}} % police en double barre (pour les corps, par exemple)
\def\l#1{{\mathcal{#1}}}

\begin{document}
\parindent=0cm \parskip=3pt

{\bf Université Joseph Fourier Grenoble I\hfill Année 2011/2012}\\
{\bf DLST\hfill L2 PGM-PHC-PHY-PMM}

\begin{center}
\begin{large}
\textbf{MAT244 : examen, deuxième session (13 juin 2012)} \\ 
Durée 2h00 -- documents et appareils électroniques interdits.\\
Il est demandé une rédaction précise et soignée.
\end{large}
\end{center}

\noindent
\textbf{Question de cours.}
Soit $(E,\langle~~,~~\rangle)$ un espace hermitien. 

0.a) Rappeler la définition de l'adjoint $u^*$ d'un endomorphisme
$u$ de $E$ en termes du produit scalaire hermitien.

0.b) On suppose ici $u$ symétrique. \`A partir de la définition du 0.a, donner 
la preuve du fait que\\
-- Si $x\in E$ est un vecteur propre de $u$ pour la valeur propre 
$\lambda\in\b C$, alors celle-ci est  nécessairement réelle.\\
-- Des vecteurs propres $x,y$ correspondant à des valeurs propres
$\lambda,\mu$ distinctes sont nécessairement orthogonaux.
\vskip1mm

\begin{exo} On considère dans $\b R^3$ la forme bilinéaire 
symétrique $\varphi$ de matrice
$$A=\begin{pmatrix}
 2 & 4 & 5\\
 4 & 2 & -5 \\
 5 & -5 & -7
\end{pmatrix}$$
et $q$ la forme quadratique associée.

1.a) Soient $u=(x,y,z)$ et $u'=(x',y',z')$ des vecteurs de $\b R^3$. Expliciter
$\varphi(u,u')$ et $q(u)$.

1.b) Déterminer l'orthogonal du vecteur $a=(0,1,1)$ pour la forme bilinéaire
symétrique $\varphi$.

1.c) \`A l'aide de la méthode de Gauss, déterminer une décomposition de $q(u)$
en somme de carrés de formes linéaires indépendantes. Quels sont le rang et la signature de $q$~?

1.d) Expliciter une base orthogonale de $\b R^3$ pour $\varphi$, déduite
de la décomposition en carrés obtenue à la question précédente.

1.e) Montrer que le vecteur $u_1=(1,1,0)$ est un vecteur propre de $A$ pour une
valeur propre $\lambda_1$ que l'on déterminera. Déterminer les valeurs 
propres et une base de vecteurs propres de $A$, qui soit orthonormée relativement au produit scalaire euclidien usuel.

1.f) Déterminer la nature de la quadrique $Q=\{u\in\b R^3\,;\;q(u)=-1\}$.
\end{exo}
\vskip1mm

\begin{exo}
On considère la fonction $f$ de période $2\pi$ telle que $f(x)=e^{\lambda|x|}$ 
sur $[-\pi,\pi]$, où $\lambda\in\b R^*$.

2.a) Dessiner sommairement le graphe de la fonction pour $\lambda=-\ln 4/\pi\,(\simeq -0.44)$ 
sur l'intervalle $[-3 \pi,3\pi]$.

2.b) Calculer les coefficients de Fourier 
$a_0(f)=c_0(f)$, puis les coefficients 
$a_n(f)$, $b_n(f)$ et $c_n(f)$ $($on pourra
utiliser au choix des intégrations par parties ou les exponentielles 
complexes pour calculer l'intégrale, mais on demande le résultat sous 
forme réelle pour $a_n(f)$ et $b_n(f))$.

2.c) Quelle est la somme de la série de Fourier de $f$~? On justifiera
le résultat à l'aide de l'énoncé précis du théorème utilisé.

2.d) Déduire de ce qui précède la valeur de la somme de la série
$$
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^ne^{\lambda\pi}-1}{\lambda^2+n^2}
$$

2.e) Donner l'énoncé général de la formule de Parseval. Expliciter la valeur
de la série
$$
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{((-1)^ne^{\lambda\pi}-1)^2}{(\lambda^2+n^2)^2}.
$$

2.f) Déterminer la projection orthogonale de la fonction $f$ sur le 
sous-espace ${\cal P}_N$ des polynômes trigonométriques de degré
inférieur ou égal à $N$, et exprimer la distance de $f$ à ce sous-espace, 
relativement
à la norme $L^2$ $\Vert g\Vert_2^2=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi|g(x)|^2\,dx$.

2.g) (Question bonus) Un barreau métallique compris entre
$x=0$ et $x=\pi$, a une température $\theta(x,0)= \theta_0\,e^{\lambda x}$
au temps $t=0$. On suppose que le transfert thermique avec l'atmosphère
est négligeable. Si le coefficient de diffusivité thermique
est $D$, expliciter la température $\theta(x,t)$ pour tout temps $t$.
\end{exo}

\end{document}