\documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,latexsym} \def\A{{\cal A}} \def\B{{\cal B}} \def\F{{\cal F}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}} \renewcommand{\Im}{\mathop{\mathrm{Im}}} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcounter{exercice} \newcommand{\exercice } {\vspace{.2cm}\textbf{Exercice\addtocounter{exercice}{1} \arabic{exercice}.} } \setcounter {exercice}{0} \topmargin-3cm \oddsidemargin-2.4mm \textwidth17.3cm \textheight27cm \parskip=3pt \parindent=0pt \begin{document} \noindent \textbf{MAT244 Ann\'ee universitaire 2011-2012\quad groupes 3-4 \hfill Feuille d'exercices 4} %\vskip 1.4cm \exercice D\'emontrer qu'est un produit scalaire chaque application $\varphi $ de la liste suivante~: \begin{enumerate} \item Si $s\in C([a,b],]0 ,+\infty[),\quad\varphi : C([a,b], \R)\times C([a,b],\R)\rightarrow \R,~ \varphi(f,g)= \int_a^b s(x)f(x)g(x)\, dx$ \item $\varphi: \R[X]_n\times\R[X]_n,\ (P, Q)\mapsto \ds\sum_{i=0}^n P(a_i)Q(a_i)\in\R$ o\`{u} $a_0,\ldots,a_n$ sont des r\'{e}els distincts. \item $\varphi: {\rm M}_n(\R)\times {\rm M}_n(\R)\to \R, (M,N)\mapsto {\rm Tr}(M^tN)$. \end{enumerate} \exercice D\'{e}terminer si les applications suivantes sont des produits scalaires. \begin{enumerate} \item $\varphi: \R^3\times \R^3\to \R,~ \varphi((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))=x_1y_1+2x_2y_2+9x_3y_3$ \item $\varphi: \R^3\times \R^3\to \R,~ \varphi((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))\!=\!x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+2x_1y_3+2x_3y_1+ 3x_2y_2+5x_3y_3$ \item $\varphi: \R[X]_n\times\R[X]_n,\ (P, Q)\mapsto \ds\sum_{i=1}^n P(a_i)Q(a_i)\in\R$ o\`{u} $a_1,\ldots,a_n$ sont des r\'{e}els distincts. \item $\varphi: {\rm M}_n(\R)\times {\rm M}_n(\R),\ (M, N)\mapsto {\rm Tr}(MN)\in\R$. \end{enumerate} \exercice Soit $E, x\mapsto \Vert x\Vert ^2=\langle x, x\rangle$ un espace (vectoriel r\'eel) euclidien et $x, y\in E$. \begin{enumerate} \item Expliciter la forme quadratique $q : \R^2\rightarrow \R,\ q(t_1, t_2)=\Vert t_1\cdot x+ t_2\cdot y\Vert ^2$. \item Prouver que $q$ est semi-positive et d\'eterminer son noyau. \item En d\'eduire que $q$ est d\'efinie positive si et seulement si $x$ et $y$ sont lin\'eairement ind\'ependants. \item Par la m\'ethode de Gauss pour $q$ en donner une preuve de l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz. \end{enumerate} \exercice Soit $E, x\mapsto \Vert x\Vert ^2=\langle x, x\rangle$ un espace (vectoriel r\'eel) euclidien et $v\in E, v\ne0$. On consid\`ere l'application~: $s_v : E\rightarrow E,\ x\mapsto x-2{{\langle v, x\rangle}\over{\langle v, v\rangle}}\cdot v$ \begin {enumerate} \item D\'eterminer le carr\'e $s_v\circ s_v$ de $s_v$. \item Prouver que $s_v$ conserve le produit scalaire~: pour tout $x, y\in E$ on a $\langle x, y\rangle=\langle s_v(x), s_v(y)\rangle$. \item D\'eterminer les valeurs et vecteurs propres de $s_v$. \item En d\'eduire que $s_v=\sigma_{(\R v)^\perp}$ est la sym\'etrie orthogonale par rapport \`a l'hyperplan $(\R v)^\perp$ orthogonal \`a la droite port\'ee par le vecteur $v$. \item En consid\'erant une base orthonorm\'ee de $E$ contenant le vecteur ${{1}\over{\Vert v\Vert}}\cdot v$, prouver directement que la sym\'etrie orthogonale $\sigma_{(\R v)^\perp}$ conserve le produit scalaire. \end{enumerate} \exercice Les fonctions suivantes sont elles~: des formes sesquilin\'eaire, si oui, hermitiennes? \begin{enumerate} \item $\varphi: \C^3\times \C^3\to \C, \quad \varphi ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))=\overline{x}_1y_3+\overline{x}_2+y_1y_2$ \item $b, b':\C[X]_n\!\times\!\C[X]_n\!\rightarrow\!\C,\ b(P,Q)\!=\!P'(1)\overline{Q(0)}+\overline{Q'(1)}P(0),\ b'(P,Q)\!=\!Q'(1)\overline{P(0)}+\overline{P'(1)}Q(0)$. \item $\varphi, \varphi' : C([a,b], \C)\times C([a,b],\C)\rightarrow \C, \quad \varphi(f,g)\!=\!\int_a^b \overline{f(x)}g(x)dx,\ \varphi'(f,g)\!=\!\int_a^b f(x)\overline{g(x)}dx$. \end{enumerate} \exercice Appliquer la m\'ethode de Gauss pour d\'ecomposer en carr\'es de modules de formes lin\'eairement ind\'ependantes les formes quadratiques hermitiennes~: \begin{enumerate} \item $h :\C^2\rightarrow \C,\ h(z)=\overline{z_1}z_1+\overline{z_1}z_2+\overline{z_2}z_1+2\overline{z_2} {z_2}$ \item $h :\C^2\rightarrow \C,\ h(z)=\overline{z_1}z_2+\overline{z_2}z_1$ \item $h :\C^3\rightarrow \C,\ h(z)=\overline{z_1}z_1+\overline{z_1}z_2+\overline{z_2}z_1+ +\overline{z_1}z_3+\overline{z_3}z_1+2\overline{z_2}{z_2}- 4\overline{z_3}{z_3}$ \end{enumerate} \exercice En modifiant l'{\bf Exercice 3} pour une forme hermitienne définie positive donner une preuve directe% \footnote{c'est-\`a-dire sans se ramener \`a l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz dans le cas euclidien.} l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz dans le cas hermitien. \exercice Soit $V$ un $\C$-espace vectoriel et $h:V\times V\to \C$ une forme sesquilin\'eaire hermitienne. Montrer les relations suivantes: $(1)$ $\ds h(x-iy,x-iy)-h(x,x)-h(y,y)=2\Im {h(x,y)}$ $(2)$ $\ds h(x+y,x+y)-h(x-y,x-y)=4\Re{h(x,y)}$ $(3)$ $\ds h(x-iy,x-iy)-h(x+iy,x+iy)=4\Im {h(x,y)}$. \exercice Pour chaque forme quadratique $q$ de la liste, on appelle $b$ sa forme polaire. \hskip .5cm a) Appliquer \`a $q$ la r\'eduction de Gauss. \hskip .5cm b) En d\'eduire la signature, le rang de $q$ et une base $b$-orthogonale. %(orthonormale si c'est possible). \begin{enumerate} \item $q:\R^2\rightarrow \R$,~ $q(x,y)=x^2+xy+3y^2$, \item $q:\R^2\rightarrow \R$,~ $q(x,y)=xy$, \item $q:\R^3\rightarrow \R$,~ $q(x,y,z)=x^2-2y^2+xz+yx $, \item $q:\R^3\rightarrow \R$,~ $q(x,y,z)=xy-yz$, \item $q:\R[X]_2\rightarrow \R$,~ $q(P)=P(1)P(2)+P(1)P(0)$. \end{enumerate} \exercice Utiliser la m\'ethode de Gram-Schmidt pour orthonormaliser dans $\R^3$ avec son produit scalaire usuel la base $e_1=(1,1,-1)$, $e_2=(1,-1,1)$ et $e_3=(-1,1,1)$. \exercice Pour chacun des espaces $V$ munis du produit scalaire $\phi$ et famille $\F$ ci-dessous~: \hskip .5cm a) Produire une base orthonorm\'ee pour le sous-espace $W$ engendr\'{e} par $\F$. \hskip .5cm b) Calculer la projection orthogonale de $v\in V$ sur $W$. \begin{enumerate} \item $V=\R^3$, $\phi=\langle , \rangle$ le produit scalaire usuel, $\F=((1,0,-1),(1,-1,0)), v=(1,1,1)$. \item $V=\R^4$, $\phi=\langle , \rangle$, $\F=(u_1, u_2, u_3)=((1,1,0,0), (1,0,-1,1), (0,1,1,1)), v=(1,1,1,1)$. \item $V=\R^3,\ \varphi(x,y)= 3x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+3x_2y_2+3x_3y_3,\ \F=((1,0,0),(0,1,0),\ v=(0,0,1)$. %\item $V=\R[X]_3$, $\phi(P,Q)=\int_{-1}^1P(x)Q(x)dx$, $\F=(1,X,X^2)$, % $v=X^3$. \item $V=\R[X]_3$, $\phi(P,Q)=\int_{0}^1P(x)Q(x)dx$, $\F=(1,X,X^2)$, $v=X^3$. \end{enumerate} \exercice Soit $C([-1, 1],\R)$ (l'espace des fonctions continues \`a valeurs r\'eelles d\'efinies sur l'intervalle $[-1, 1]$) muni du produit scalaire $\ds\langle f,g\rangle= \int_{-1}^{1} f(x)g(x)dx$. \begin{enumerate} \item Utiliser la m\'ethode de Gram-Schmidt afin de produire une base orthonorm\'ee pour le sous-espace $\R[X]_2\subset C([-1, 1], \R)$. \item Trouver des r\'eels $a,b,c$ tels que l'int\'egrale $\int_{-1}^1 (e^x-ax^2-bx-c)^2 \,dx$ soit minimale. \end{enumerate} \exercice Soit $\R[X]_2$ l'espace vectoriel des polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a deux, on consid\`ere sur $\R[X]_2$ l'application $\Delta$ qui \`a un polyn\^ome $P(X)=aX^2+bX+c$ associe son discriminant $\Delta(P)=b^2-4ac$. \begin{enumerate} \item Montrer $\Delta$ est une forme quadratique et donner sa forme polaire. \item Donner la matrice de la forme polaire $b$ dans la base canonique $\B_0=(1,X,X^2)$. \item Montrer que pour tout polyn\^ome $P(X)=aX^2+bX+c$ de $\R[X]_2$, on peut \'ecrire : $$\Delta(P)=b^2+(a-c)^2-(a+c)^2.$$ \item Montrer que la famille de vecteurs $\B_1=(\frac 1 2 (X^2-1),X,\frac 1 2 (X^2+1))$ est une base de $\R[X]_2$. \item Donner la matrice de passage de la base $\B_0$ \`a la base $\B_1$. \item Donner les coordonn\'ees du polyn\^ome $P(X)=aX^2+bX+c$ dans la base $\B_1$. \item Donner la matrice de la forme polaire $b$ dans la base $\B_1$. \item Exprimer $\Delta(P)$ en fonction des coordonn\'ees de $P$ dans la base $\B_1$. \item Donner le rang et la signature de $\Delta$. \end{enumerate} \end{document} \exercice Pour chaque matrice sym\'etrique suivante, d\'eterminer les valeurs propres et une matrice orthogonale $P$ de changement de base qui la diagonalise : \[A_1=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\mbox{ }\mbox{ } A_2=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&2&0\\2&0&1\end{pmatrix}\mbox{ }\mbox{ }A_3= \begin{pmatrix}5&-1&2\\-1&5&2\\2&2&2\end{pmatrix}.\] \exercice R\'eduire les formes quadratiques suivantes avec des changements de base orthogonaux. \begin{enumerate} \item $q(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2xy-2xz-2yz$. \item $q(x,y,z)=2x^2+4y^2+z^2+4xy-2\sqrt{2}xz+4\sqrt{2}yz$. (à revoir : infaisable) \end{enumerate} \exercice Trouver le genre des coniques suivantes : \begin{enumerate} \item $x^2-xy+y^2-3x+2y-1=0$ \item $3x^2+5xy+2y^2+2x+y-1=0$ \end{enumerate} \exercice Trouver les \'equations r\'eduites dans des rep\`eres orthonorm\'ees des coniques sui\-vantes. \begin{enumerate} \item $x^2-xy+y^2+x+y=0$, \item $xy+2x+y=0$, \item $x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0$, \item $4x^2+12xy+9y^2-8x-12y-5=0$, \item $5x^2-6xy+5y^2+2x-14y+a=0$ selon le paramètre $a$, \item $15x^2+24xy+15y^2+30x-24y+20=0$, \item $15x^2-16xy-15y^2-62x-44y-13=0.$ \end{enumerate}