\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,latexsym}

\def\A{{\cal A}}
\def\B{{\cal B}}
\def\F{{\cal F}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\renewcommand{\Re}[1]{\mathrm{Re}(#1) } 
\renewcommand{\Im}[1]{\mathrm{Im}(#1) }    

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcounter{exercice}
\newcommand{\exercice }
{\vspace{.2cm}\textbf{Exercice\addtocounter{exercice}{1}
\arabic{exercice}.} }
\setcounter {exercice}{0}

\topmargin-3cm
\oddsidemargin-2.4mm
\textwidth17.3cm
\textheight27cm
\parskip=3pt
\parindent=0pt

\begin{document}

\noindent \textbf{MAT244 Ann\'ee universitaire  2011-2012\quad groupes 3-4
\hfill Feuille d'exercices 3}

%\vskip 1.4cm 






\exercice
Soit $w=(a,b,c)\in\R^3,w\neq 0$ fix\'e et l'application $f:\R^3\to \R$ d\'efinie par 
\vskip-3mm
$$f(x,y,z)=ax+by+cz.$$ 
\vskip-3mm
On consid\`ere l'application $\varphi:\R^3\times \R^3\to \R$ d\'efinie par 
$\varphi (u,v)=f(u\wedge v)$.

Montrer que $\varphi$ est bilin\'{e}aire et calculer sa matrice repr\'{e}sentative dans la base canonique. 

\exercice Soit $E, F, G, H$ quatre espaces vectoriels de dimension finie
sur un corps ${\mathbb K}$
et trois applications lin\'eaires
$u : E\rightarrow F,\ v : F\rightarrow G,\ w : G\rightarrow H$.
\begin{enumerate}
\item Question de cours~: Prouver que si $u$ et $w$ sont des isomorphismes~:
\vskip-3mm
$${\rm rang}\,(w\circ v\circ u)={\rm rang}\,(v)$$
\vskip-3mm
\item Ce r\'esultat a-t-il encore lieu si si seulement
$u$ est surjective et $w$ injective?
\item Prouver que sans rien supposer sur $u$ et $v$ 
on a toujours
${\rm rang}\,(w\circ v\circ u)\leq {\rm rang}\,(v)$.
\item Donner des contre-exemples \`a l'assertion de 1.
 dans chacun des trois autres cas%
\footnote{$u$ injectif et $w$ injectif,
$u$ injectif et $w$ surjectif, $u$ surjectif et $w$ surjectif.}
 d'attribution des qualificatifs
\og injectif\fg, \og surjectif\fg\ \`a $u$ et $w$.
\end{enumerate} 

\exercice
Soient $A,B\in{\rm M}_n(\R)$ des matrices $n\times n$. 
Montrer que si pour tous vecteurs colonnes \`a $n$ composantes r\'eelles 
$X, Y$ on a ${^t}XAY={^t}XBY$, alors $A=B$.




\exercice Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps ${\mathbb K}$ et
une forme bilin\'eaire
$\psi :E\times E\rightarrow {\mathbb K}$.
\begin{enumerate} 
\item 
D\'efinir ce que sont la 
{\it forme quadratique associ\'ee \`a} $\psi$,
puis une {\it forme quadratique sur} $E$ et sa {\it forme polaire} $\varphi$
et pour la forme quadratique associ\'ee \`a $\psi$,
exprimer $\varphi$ en fonction de $\psi$.
\item En notant $(x, y)\in\R^2=E$, pour chacune des expressions suivantes~:
$$q(x,y)=3x^2-10xy+19y^2+2x+3y,\quad q'(x,y)=3x^2-10xy+19y^2$$
$$q''(x,y)=x^3+3x^2-10xy+19y^2,\quad q'''(x,y)=-10xy$$

d\'eterminer si elle d\'efint une forme quadratique sur $E$, et si oui 
 d\'eterminer sa forme polaire.
\end{enumerate}

\exercice Soit $q$ la forme quadratique d\'efinie sur $\R^2$ par 
$q(x,y)=3x^2-10xy+19y^2$.
\begin{enumerate}
\item Donner une d\'ecomposition $q$ en carr\'es de
formes lin\'{e}aires ind\'{e}pendantes.
\item En d\'eduire une base orthogonale pour la forme polaire de $q$.

\item Traduire matriciellement vos r\'esultats.
\item V\'erifierez  vos r\'esultats de 1. et 2. par deux calculs matriciels.
\end{enumerate}

\exercice Dans le cas $E=\R^3$, reprendre l'Exercice pr\'ec\'edent  avec
 les forme quadratiques~:
\begin{enumerate}
\item
 de forme polaire 
$\varphi(x,y)=2x_1y_2+2x_2y_1+3x_2y_3+3x_3y_2$
\item donn\'ee par $q(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2+2xy+2xz$.
\end{enumerate}
\exercice Sur $E\!=\!\R^2$ on consid\`ere les formes lin\'eaires
$l_1, l_2\!\in\!E^\ast, l_1(x)\!=\!2x_1 +x_2,\ l_2(x)\!=\!x_1 + x_2$
et la  forme quadratique
$q(x_1, x_2)=(2x_1+x_2)^2+(x_1+x_2)^2=l_1(x)^2+l_2(x)^2
$.
\begin{enumerate}
\item Les formes $l_1$ et $l_2$ sont elles lin\'eairement ind\'ependantes?
\item Donner la matrice dans la base canonique $((1, 0), (0, 1))$ de $\R^2$
de la forme polaire $\varphi$ de $q$.
\item $q(x)=l_1(x)^2+l_2(x)^2$ est-elle une d\'ecomposition de $q$
en carr\'es de formes lin\'eaire ind\'ependantes?
\item Donner une base de $E$ orthogonale pour la forme polaire $\varphi$.
\item $q(x)=l_1(x)^2+l_2(x)^2$
est-elle une telle d\'ecomposition obtenue par la m\'ethode de Gauss?
\item Appliquer la m\'ethode de Gauss \`a  $q$, en d\'eduire une autre base orthogonale pour $\varphi$.
\end{enumerate}



\exercice Soit $a, b, c\!\in\!\R$, et sur $\R^2$
la forme quadratique $q(x_1, x_2)=ax_1^2+2bx_1 x_2+c x_2^2$.
\begin{enumerate}
\item Ecrire la matrice dans la base canonique de la forme polaire de $q$
et calculer son d\'eterminant.
\item En supposant $a\ne0$ [resp. $c\ne0$], par la m\'ethode de Gauss 
d\'ecomposer  $q$ en carr\'es de formes lin\'eaires ind\'ependantes~:
 $q(x)=a l_1(x)^2+C l_2(x)^2$ 
[resp. $q(x)=A m_1(x)^2+c m_2(x)^2)$].
\item Expliquer pourquoi  $l_1(x) =x_1+\beta x_2,\ l_2(x)=x_2$
[resp. $\ m_2=\alpha x_1+ x_2,\  m_1(x)=x_1$].
\item Quelle est la matrice de passage de la base 
duale $(e_1^\ast, e_2^\ast)$ de la base canonique %$(e_1, e_2)$
\`a la base
$(l_1, l_2)$ [resp. $(m_1, m_2)$] de $(\R^2)^\ast$. Calculer les d\'eterminants
de ces deux matrices de passage.
\item En d\'eduire
 que $C$ [resp. $A$] peuvent se d\'eterminer avant le calcul de $l_1$
[resp. $m_2$].
\item A quelle condition la forme $q$ a des valeurs  des trois signes
$\{-, 0, +\}$? 
\item Comparez ce qui pr\'ec\`ede avec l'\'etude des signes des valeurs 
du trin\^ome\footnote{non nul, mais \'eventuellement ($a=0$)
d\'eg\'en\'er\'e en une application affine $t\mapsto bt + c$.}
 $P(t)=at^2+2bt+c$.
\end{enumerate}

 

\exercice Soit 
${\cal M}=\bigl(m_1=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \cr 0 & 0\end{array}\right), 
m_2=\left(\begin{array}{cc}0 &  0\cr 1 & 0\end{array}\right), 
m_3=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \cr 0 & 0\end{array}\right), 
m_3=\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \cr 0 & 1\end{array}\right)\bigr) $
la base canonique de $M_2({\mathbb K})$
et la forme quadratique d\'eterminant
$q : M_2({\mathbb K})\rightarrow {\mathbb K}, q(M)=|M|$.
\begin{enumerate}
\item Donner la matrice de sa forme polaire $\varphi$ dans la base ${\cal M}$,
en d\'eduire que $\varphi$ est non d\'eg\'en\'er\'ee.

\item Donner une d\'ecomposition de $q$ en carr\'es
de formes lin\'eaires ind\'ependantes.
\item En d\'eduire une base 
${\cal O}=(\mu_1, \mu_2, \mu_3, \mu_4)$ orthogonale pour $\varphi$.
\item Ecrire la matrice de passage de
${\cal M}$ \`a ${\cal O}$.
\end{enumerate}
\exercice 
Soit $\varphi:E\times E\to {\mathbb K}$ une forme bilin\'{e}aire sym\'{e}trique
sur un ${\mathbb K}$-espace vectoriel $E$.
\begin{enumerate}
\item  Question de cours~:  Donner la d\'{e}finition de l'{\it orthogonal}
 $F^\perp$
d'un sous-espace vectoriel $F\subset E$
ainsi que celle du {\it noyau} ${\rm Ker}\,\varphi$ de la forme $\varphi$.
Quand dit on que $\varphi$ est {\it non d\'{e}g\'{e}n\'{e}r\'{e}e}?


\item Pour les  $E, \varphi$ et $F\!\subset\!E$
ci-dessous  calculer le rang de $\varphi$
puis d\'{e}terminer ${\rm Ker}\,\varphi$ et  $F^\perp$.

\begin{enumerate}

\item $E=\R^3, \varphi: \R^3\!\times\!\R^3 \rightarrow \R$
le produit scalaire usuel,
$F=\{(x_1,x_2,x_3)|x_1\!+\!x_2\!+\!x_3\!=\!0\}$.
\item $E=\R[X]_3, \varphi :  \varphi(P, Q)= P'(0)Q(0)+P(0)Q'(0), ~ 
F=\R[X]_2$.
\item $E=M_2({\mathbb K}), \varphi(M)=|M|, F=%
\bigl\{\left(\begin{array}{cc}a & 0\cr c& 0\end{array}\right)%
\in M_2({\mathbb K})\; ;\; 
a, c\in{\mathbb K}\bigr\}$
\end{enumerate}  
\end{enumerate}  

\exercice
D\'emontrer que, pour toute forme bilin\'eaire sym\'etrique 
$\varphi$ sur un espace
vectoriel $E$, pour tous sous-espaces vectoriels $W,U$, on a
les deux propri\'et\'es suivantes~:
\begin{enumerate}
\item $(U+W)^\perp=(U^\perp)\cap (W^\perp)$.
\item $(U\cap W)^\perp\supset U^\perp +W^\perp$ avec \'{e}galit\'{e} 
si $\varphi$ est non d\'{e}g\'{e}n\'{e}r\'{e}e.
\end{enumerate}
%Dans 2. p
Peut on remplacer \og si\fg\  par \og si et seulement si\fg?
Donner un exemple % dans lequel il n'y a pas \'{e}galit\'{e} 
avec inclusion stricte.

\exercice Soit $\varphi : E\times E\rightarrow {\mathbb K}$
une forme bilin\'eaire sym\'etrique non d\'eg\'en\'er\'ee. Un
sous-espace $I\subset E$
est dit {\it (totalement) isotrope} si la restriction 
$\varphi_{I\times I}=0$ de $\varphi$ \`a $I\times I$ est la forme nulle.
\begin{enumerate}
\item Rappeler la d\'efinition, pour un vecteur $x\in E$,
d'\^etre {\it isotrope} et prouver que si tous les vecteurs
$f\in F$ d'un sous-espace $F\subset E$ sont isotropes, alors $F$
est totalement isotrope.
\item V\'erifier que $I\subset E$ est totalement isotrope si et seulement si
$I\subset I^\perp$. 
\item En d\'eduire%
\footnote{dans le cas o\`u $E$ est de dimension finie.}
que la dimension d'un sous-espace $I\subset E$ isotrope, v\'erifie 
$2\,{\rm dim}\, I\leq {\rm dim}\, E$.
\item On suppose que $E$ est de dimension finie et poss\'ede un sous-espace
$I\subset E$ tel que $I=I^\perp$.
\begin{enumerate}
\item Si ${\rm dim}\,I\!=\!m$ prouver ${\rm dim}\,E\!=\!2m$
 et, si ${\cal B}\!=\!(e_1,\ldots, e_m,f_1,\ldots,f_m)$ est une base de $E$
commen\c cant par une base
$(e_1,\ldots, e_m)$ de $I$, \'ecrire la%
\footnote{En notant cette matrice $2m\times 2m$ comme 
$\Phi=\left(\begin{array}{cc}A &  B\cr C & D\end{array}\right)$,
une matrice $2\times 2$ de 
blocs $m\times m$.}
matrice $\Phi$ de $\varphi$ dans ${\cal B}$.
\item Prouver qu'il y a des matrice $Y, Z\in M_m({\mathbb K})$ telle que
on ait~:
$$\left(\begin{array}{cc}1_m &  0_m\cr Y^t & Z^t\end{array}\right)\Phi%
\left(\begin{array}{cc}1_m &  Y\cr 0_m & Z\end{array}\right)=%
\left(\begin{array}{cc}1_m &  0_m\cr Y^t & Z^t\end{array}\right)%
\left(\begin{array}{cc}A &  B\cr C & D\end{array}\right)%
\left(\begin{array}{cc}1_m &  Y\cr 0_m & Z\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc}0_m &  1_m\cr 1_m & 0_m\end{array}\right)$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{document}