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\def\A{{\cal A}}
\def\B{{\cal B}}
\def\F{{\cal F}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\renewcommand{\Re}[1]{\mathrm{Re}(#1) } 
\renewcommand{\Im}[1]{\mathrm{Im}(#1) }    

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcounter{exercice}
\newcommand{\exercice }
{\vspace{.2cm}\textbf{Exercice\addtocounter{exercice}{1}
\arabic{exercice}.} }
\setcounter {exercice}{0}

\topmargin-3cm
\oddsidemargin-2.4mm
\textwidth17.3cm
\textheight27cm
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\parindent=0pt

\begin{document}

\noindent \textbf{MAT244 Ann\'ee universitaire  2011-2012\quad groupes 3-4
\hfill Feuille d'exercices 2}

%\vskip .4cm 
\exercice 
Soit ${\mathbb K}$ le corps $\R$ ou $\C$, l'espace vectoriel $E=M_2({\mathbb K})$ et l'endomorphisme~:
\vskip-3mm
$$\alpha : E\rightarrow E,\quad
\alpha\bigl(\left(\begin{matrix}{a}&{b}\\{c}&{d}
\end{matrix}\right)\bigr)=\left(\begin{matrix}{d}&{-b}\\{-c}&{a}
\end{matrix}\right)$$
\vskip-5mm
\begin{enumerate}
\item Pour tout $M, N\in M_2({\mathbb K})$ en calculant les sommes
et produits de matrices indiqu\'es, v\'erifier~:
\begin{enumerate}
\item La relation
$\alpha(M\cdot N)=\alpha(N)\cdot\alpha(M)$.
\item Le fait qu'il y a des applications 
$\Delta : M_2({\mathbb K})\rightarrow {\mathbb K}$ et
$\beta : M_2({\mathbb K})\times M_2({\mathbb K})\rightarrow {\mathbb K}$\hfill\break
telles que $M\cdot\alpha(M)=\Delta(M) Id_2$ et
$M\cdot\alpha(N)+N\cdot\alpha(M)=\beta(M, N) Id_2$.
\item En d\'eduire la relation $\Delta(M\cdot N)=\Delta(M)\cdot\Delta(N)$.
\end{enumerate}
\item Rappeler ce qu'est symbole de Kronecker $\delta_{i, j}$
et expliciter la matrice  $(\delta_{i, j})_{1\leq i, j\leq 2}\!\in\!M_2({\mathbb K})$.
\item Pour des indices $k, l\in\{1, 2\}$,
expliciter les quatre matrices
$e_{k, l}=(\delta_{k, i}\cdot\delta_{l, j})_{1\leq i, j\leq2}\in M_2({\mathbb K})$
et v\'erifier que ${\cal E}=(e_{1, 1}, e_{2, 2}, e_{1, 2}, e_{2, 1})$
est une base de l'espace vectoriel $E=M_2({\mathbb K})$.
\item Ecrire la matrice 
$A\!=\!Mat_{{\cal E}, {\cal E}}(\alpha)$ de $\alpha$ dansla base ${\cal E}$
et calculer son polyn\^ome caract\'eristique.
\item En d\'eduire les valeurs propres de $\alpha$ et v\'erifier le r\'esultat
en constatant que $\alpha\circ\alpha=Id_{M_2({\mathbb K})}$.
\item D\'eterminer les espaces propres de l'endomorphisme $\alpha$.
\item En d\'eduire une r\'edaction sans calcul matriciel de de $1.(b)$
en v\'erifiant que les matrices
$M\cdot\alpha(M)$ et $M\cdot\alpha(N)+N\cdot\alpha(M)$ 
 sont dans l'espace propre de valeur propre $1$ de $\alpha$.
\end{enumerate}                               

\exercice Pour $z\in\C$ et $n\in\N$, soit le polyn\^{o}me
 $P_{n}^z=(X-z)^n\in\C[X]$.
\begin{enumerate} 
\item Questions de cours Rappeller
(en montrant l'affirmation et donnant les d\'efinitions)~:
\begin{enumerate}  
\item Pourquoi la famille ${\cal M}_z=(P_{n}^z)_{n\in\N}$
est une base du $\C$-espace vectoriel $E=\C[X]$.
\item Si $E$ un ${\mathbb K}$-espace vectoriel
 muni d'une base $(e_i)_{i\in I}$,\hfill\break
 la d\'efinition de la famille
 ${\cal B}=(e_i^\ast)_{i\in I}$ 
des formes lin\'eaires coordonn\'ees dans ${\cal B}$.
\end{enumerate}
\item Soit $\displaystyle \varphi=\sum_{n\in \N}\lambda_n\cdot {P_{n}^0}^\ast$
une combinaison lin\'{e}aire des formes lin\'{e}aires coordonn\'{e}es
dans ${\cal M}_0$. Prouver que pour $n$ assez grand $\varphi(P_{n}^0)=0$.
\item En d\'{e}duire que
$ev_1 : \C[X]\rightarrow\C, ev_1(P)=P(1)$, l'\'{e}valuation en $1$
est un \'{e}l\'{e}ment de $E^\ast$
hors du sous-espace de $E^\ast$ engendr\'{e} par
$({P_{n}^0}^\ast)_{n\in \N}$
. Est-elle dans celui engendr\'{e} par $({P_{n}^1}^\ast)_{n\in \N}$?
\end{enumerate}
%
\exercice Soit $(e_i)_{i\in I}$ une base\footnote{Si $x\!\in\!E$, on note l'\'{e}criture de $x$ dans cette base
$x=\sum_{i\in I}x_i\cdot e_i, x_i=e_i^\ast(x)\in{\mathbb K}$.}
d'un  ${\mathbb K}$-espace vectoriel $E$ et
$\varphi : E\rightarrow{\mathbb K}$ une forme lin\'{e}aire.
\begin{enumerate} 
\item 
 Dans le cas o\`{u} $I$ est infini, 
prouver que la formule
$ S(\sum_{i\in I}x_i\cdot e_i)=\sum_{i\in I}x_i$  a un sens et d\'{e}finit 
une forme lin\'{e}aire $S : E\rightarrow {\mathbb K }$ sur $E$
qui n'est pas dans le sous-espace vectoriel du dual $E^\ast$ de $E$
engendr\'e par les formes lin\'{e}aires
coordonn\'{e}es $e_i^\ast$.
\item
Rappeler la construction donn\'{e}e en cours, quand $dim E$ 
est finie, d'une base de  $Ker\, \varphi$.
\item Prouver que si $\varphi$ est non nulle il y a un indice 
$i_0\in I$ tel que $\varphi(e_{i_0})\ne0$.
On note $J=I\!\setminus\!\{i_0\}$.
\item Avec les notations de 3. prouver que, si
$f_{i_0}=e_{i_0}$
 et si
 $j\ne i_0, f_j=e_j-{{f(e_j)}\over{f(e_{i_0})}}\cdot e_{i_0}$, les familles 
$(f_i)_{i\in I}$ et $(f_j)_{j\in J}$ 
sont des bases de $E$ et $Ker f$ respectivement.
\item En d\'{e}duire que pour toute forme lin\'{e}aire 
$\varphi\in E^\ast\!\setminus\!\{0\}$
non nulle
sur 
$E$,\hfill\break
 il y a une base
$(g_i)_{i\in I}$
de
$E$
dont elle est forme lin\'{e}aire coordonn\'{e}e
$\varphi=g_{i_0}^\ast$.
\end{enumerate} 
%
\exercice Soit $F\subset E$ un sous-espace d'un 
${\mathbb K}$-espace vectoriel $E$.
\begin{enumerate}
\item Prouver que 
$\rho_F : E^\ast\rightarrow F^\ast, \rho_F(f)=f_{|F}: F\rightarrow{\mathbb K}$
la {\it  restriction des formes lin\'eaires au sous-espace\/} $F$
est lin\'eaire surjective. %\hfill\break
[Consid\'{e}rer une base de $E$ contenant une base de $F$].
\item Dans le cas o\`{u} $dim E$ est finie, en d\'{e}duire en fonction de
de $dim E$ et  $dim F$ la dimension du sous-espace
$F^O=\{\varphi\in E^\ast ; \forall f\in F, \varphi(f)=0\}$
du dual $E^\ast$ des formes s'annulant sur $F$.
\end{enumerate}
%
\exercice Soit $E$ un ${\mathbb K}$-espace vectoriel de dimension finie,
$k$ formes lin\'{e}aires $\varphi_1,\ldots,\varphi_k\in E^\ast$ et
$F=F_{\varphi_1,\ldots,\varphi_k}=\{x\in E ; \varphi_1(x)=\cdots=\varphi_k(x)=0\}$
l'ensemble des z\'{e}ros communs de ces $\varphi_i$.
\begin{enumerate}
\item Soit  $1\leq i_1<\cdots<i_c\leq k$  tels que
$Vect(\varphi_{i_1},\ldots,\varphi_{i_c})=%
Vect(\varphi_1,\ldots,\varphi_k)\subset E^\ast$.
Prouver~:
\vskip-2mm
$$F_{\varphi_{i_1},\ldots,\varphi_{i_c}}=F_{\varphi_1,\ldots,\varphi_k}$$
\vskip-2mm
\item En consid\'{e}rant
$\Phi : E \rightarrow{\mathbb K}^c, \Phi(x)=(\varphi_{i_1}(x),\ldots,\varphi_{i_c}(x))$,
 prouver que $F_{\varphi_1,\ldots,\varphi_k}$
est un sous-espace vectoriel de $E$ et que sa dimension v\'{e}rifie~:
$dim E -c\leq dim F\leq dim E$, de plus\footnote{Pour $\Rightarrow$
de la seconde \'{e}quivalence, si $\Phi$ est non surjective,
en  compl\'{e}tant une base de l'image construire une
forme lin\'{e}aire non nulle
 $\varphi\in({\mathbb K}^c)^\ast\!\setminus\!\{0\},
 \varphi(y_1,\ldots, y_c)=\lambda_1 y_1+\cdots+\lambda_c y_c$.                  
}~:
\vskip-2mm
$$ dim F=dim E-c \Longleftrightarrow
\Phi \ \hbox{\rm est surjective\/} \Longleftrightarrow
 (\varphi_1,\ldots,\varphi_c)\ \hbox{\rm est libre dans\/} E^\ast$$
\vskip-2mm
\item En appliquant 2. \`{a} une famille
 $(\varphi_{i_1},\ldots,\varphi_{i_c})$ comme dans 1.
avec $c$ le plus petit possible, d\'{e}terminer la dimension de 
$F_{\varphi_1,\ldots,\varphi_k}$
dans le cas~:\hfill\break
$E=\R^4, k=4$ et\footnote{o\`{u}  $(e_1^\ast,\ldots,e_4^\ast)$
est la base des formes coordonn\'{e}es dans la base canonique du dual $E^\ast$.}
$\varphi_1=e_1^\ast-e_2^\ast,\ \varphi_2=e_2^\ast-e_3^\ast,\
\varphi_3=e_2^\ast+e_3^\ast-2e_4^\ast
,\ \varphi_4=e_1^\ast+e_2^\ast-2e_4^\ast
$
\end{enumerate} 
%
\exercice
Les fonctions suivantes sont-elles 
bilin\'eaires, si oui, 
sont-elles sont sym\'{e}triques?
\begin{enumerate}
\item $b:\R^2\times \R^2\rightarrow \R,\quad 
b((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_2+x_2y_2$.
\item $b:\R^2\times \R^2\rightarrow \R, \quad 
b((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_2+x_2x_1$.
\item $b:\R[X]_n\times \R[X]_n\rightarrow \R,\quad 
b(P,Q)=P'(1)Q(0)+Q'(1)P(0)$.
\item $b : C([a,b], \R)\times C([a,b],\R)\rightarrow \R, \quad 
b(f,g)=\int_a^b f(x)g(x)dx$.
\end{enumerate}
%
\exercice Soit $E, F$ deux ${\mathbb K}$-espaces vectoriel et
 $f\in E^\ast, g\in F^\ast$. Prouver que~:
\begin{enumerate}
\item 
$f\cdot g : E\times G\rightarrow {\mathbb K}, f\cdot g\,(u, v)=f(u)\cdot g(u)$
est bilin\'{e}aire.
 et si $G=E$, elle est symétrique.
\item Si $\varphi : E\times E\rightarrow F$ est bilin\'eaire alors
$g\circ\varphi : E\times F\rightarrow{\mathbb K}$
 est une forme bilin\'eaire sur $E$.
\end{enumerate}
Reprendre \'eventuellement la r\'edaction des points 1., 3. et 4.
de l'exercice pr\'ec\'edent.

\exercice 
a) Pour chaque forme bilin\'eaire, calculer sa matrice $M_1$ 
dans la base $\B_1$ et sa matrice $M_2$ dans la base $\B_2$. Calculer
la matrice de passage $P$ de $\B_1$ \`{a} $\B_2$ et v\'erifier que 
$M_2= {^t}P M_1 P$.
\begin{enumerate}
\item $\phi:\R^2\times \R^2\rightarrow \R
,~\phi ((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_2+3y_1x_2,
~\B_1=((1,0),(0,1)), ~\B_2=((1,1),(2,1))  $
\item  $\phi:(Q,R)\in\R[X]_2\times \R[X]_2\mapsto Q(2)R(1)\in\R,~ ~
\B_1=(1,X,X^2),~\B_2=(1,X-1,X^2-3X+2).
$
\item  $\phi:(Q,R)\in\R[X]_2\times \R[X]_2\mapsto \int_0^1Q(x)R(1-x)dx, ~
\B_1=(1,X,X^2),~ \B_2=(1,X-1,X^2-X)$.
\end{enumerate} 
b) Prouver que $\beta$ de l'{\bf Ex. 1.\/} $1. (b)$ est une forme bilin\'eaire et \'ecrire sa matrice $B$ dans la base ${\cal E}$.

\exercice Soit $E$ et $F$ deux ${\mathbb  K}$-espaces vectoriels et
une application bilin\'{e}aire
$\psi : E\times E\rightarrow F$.
\begin{enumerate}
\item Soit $v, w\in E$.
En appliquant la lin\'{e}arit\'{e} de chaque c\^{o}t\'{e},
d\'{e}velopper $\psi(v+w, v+w)$.
\item En d\'{e}duire que si pour tout $u\in E$ on a $\psi(u, u)=0$ alors $\psi$
est antisym\'{e}trique.
\end{enumerate}

 
\exercice
Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel  et $\varphi, \psi\in E^\ast$.
 D\'emontrer que~:  
\begin{enumerate} 
\item 
$b:(u,v)\in E\times E \mapsto\varphi(u)\psi(v)+\varphi(v)\psi(u)\in\C$ est
une forme bilin\'eaire sym\'etrique.
\item
$a:(u,v)\in E\times E \mapsto\varphi(u)\psi(v)-\varphi(v)\psi(u)$ est
une forme bilin\'eaire antisym\'etrique.
\end{enumerate}  
Si $E=\R^3$ et  pour tout $x=(x_1,x_2,x_3)\in\R^3$,
$\varphi(x)=s_1x_1+s_2x_2+s_3x_3$, $\psi(x)=t_1x_1+t_2x_2+t_3x_3$, 
o\`u les $s_i,t_i\in\R$ sont fix\'es. 
Donner les matrices de $a$ et $b$ dans la base canonique de $\R^3$. 

\exercice
Soit $V$ un ${\mathbb K}$-espace vectoriel. 
Soient $b:V\times V\to {\mathbb K}$ une forme bilin\'{e}aire sym\'{e}trique. 
Montrer les relations suivantes:

$(1)$ $\ds b(x+y,x+y)-b(x,x)-b(y, y)=2b(x,y)$

$(2)$ $\ds b(x+y,x+y)-b(x-y,x-y)=4b(x,y)$

$(3)$ $\ds b(x+y, x+y)+b(x-y, x-y)=2\bigl[b(x, x)+b(y, y)\bigr]$

Si $b$ est le
 produit scalaire usuel sur
$\R^n$ que dit $(3)$ du parall\'elogramme port\'e par $x$ et $y$?

\end{document}



\exercice
Soit $w=(a,b,c)\in\R^3,w\neq 0$ fix\'e et l'application $f:\R^3\to \R$ d\'efinie par 
$$f(x,y,z)=ax+by+cz.$$ 
On consid\`ere l'application $\varphi:\R^3\times \R^3\to \R$ d\'efinie par 
$\varphi (u,v)=f(u\wedge v)$.

Montrer que $\varphi$ est bilin\'{e}aire et calculer sa matrice repr\'{e}sentative dans la base canonique. 


\exercice
Soient $A,B\in{\rm M}_n(\R)$ des matrices $n\times n$. 
Montrer que si pour tous vecteurs colonnes \`a $n$ composantes r\'eelles 
$X, Y$ on a ${^t}XAY={^t}XBY$, alors $A=B$.








\exercice 
Soit $b:E\times E\to {\mathbb K}$ une forme bilin\'{e}aire sym\'{e}trique
sur un ${\mathbb K}$-espace vectoriel $E$.
L' orthogonal d'une partie $S\subset V$ est
$S^\perp=\{ x\in E \mid \mbox{ pour tout }s\in S\} \mbox{ on a } b(x,s)=0\}$.

$(1)$ V\'erifier que $S^\perp$ est un sous-espace  de $E$,
$\{0\}^\perp=E$, si  $S\subset T$ alors $T^\perp\subset S^\perp$
et $S\subset(S^\perp)^\perp$.





$(2)$ En d\'eduire que si $S=(S^\perp)^\perp$ alors $S\supset E^\perp$ 
contient $E^\perp$ et est un sous-espace vectoriel de $E$.

$(3)$ Si $E$ est de dimension finie et $E^\perp=\{0\}$
 alors pour tout sous-espace vectoriel $S\subset E$ on a~:
$$dim S + dim S^\perp=\dim E$$
\end{document}
$b$ ci-dessous est sym\'etrique et calculer son rang. 
Calculer \'{e}galement $V^\perp$ et $S^\perp$.

\begin{enumerate}

\item $b: \R^3\!\times\!\R^3 \rightarrow \R ,\;
b((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))\! = \! x_1y_1\!+\!x_2y_1\!+\!x_1y_2,
S=\{(x_1,x_2,x_3)|x_1\!+\!x_2\!+\!x_3\!=\!0\}$.
\item $b : (P,Q)\in\R[X]_3\times \R[X]_3\mapsto P'(0)Q(0)+P(0)Q'(0), ~ 
S=\R[X]_3$.
\end{enumerate}  

\exercice
D\'emontrer que, pour toute forme bilin\'eaire sym\'etrique 
$b$ sur un espace
vectoriel $E$, pour tous sous-espaces vectoriels $W,U$, nous avons
les propri\'et\'es suivantes. 
\begin{enumerate}
\item $(U+W)^\perp=(U^\perp)\cap (W^\perp)$.
\item $(U\cap W)^\perp\supset U^\perp +W^\perp$.
\end{enumerate}
 Donner un exemple d'une forme bilin\'eaire de rang 1 sur 
$\R^2$ et des sous-espaces $U,W\subset \R^2$ tels que
$(U\cap W)^\perp\neq U^\perp+W^\perp$.

\exercice Soit $q$ la forme quadratique d\'efinie sur $\R^2$ par 
$q(x,y)=3x^2-10xy+19y^2$.
\begin{enumerate}
\item D\'ecomposer $q$ en carr\'es, c'est-\`a-dire trouver un changement
de coordonn\'ees 
$(X,Y)\!=\!f(x,y)$ lin\'eaire (i.e. $f$ est lin\'eaire) 
tel que, dans ces coordonn\'ees, on ait $q=X^2+Y^2$.

\item Gr\^ace \`a ce changement de coordonn\'ees, calculer 
l'int\'egrale double $A=\int\!\!\int _{q(x,y)\le 1}dxdy$. 

\item Quelle aire est calcul\'ee par cette int\'egrale ?

\end{enumerate}

 
\exercice Soit $q$ la forme quadratique d\'efinie sur $\R^3$ par 
$q(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2+2xy+2xz$.
\begin{enumerate}
\item D\'ecomposer $q$ en carr\'es, c'est-\`a-dire trouver un changement
de coordonn\'ees \hfill\break 
$(X,Y,Z)=f(x,y,z)$ lin\'eaire  
tel que, dans ces coordonn\'ees, on ait $q=X^2+Y^2+Z^2$.

\item Gr\^ace \`a ce changement de coordonn\'ees, calculer 
l'int\'egrale triple $V=\int\!\!\int\!\!\int _{q(x,y,)\le 1}dxdydz$. 

\item Quel volume est calcul\'e par cette int\'egrale ?


\end{enumerate}


\exercice Soit $b$ la forme bilin\'eaire sym\'etrique d\'efinie sur $\R^3$ par 
$$b(x,y)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+2x_1y_2+2x_2y_1+3x_2y_3+3x_3y_2.$$
\begin{enumerate}
\item D\'ecomposer la forme quadratique $q(x)=b(x,x)$ en carr\'es,  
c'est-\`a-dire trouver un changement de coordonn\'ees 
$(X_1,X_2,X_3)=f(x_1,x_2,x_3)$ lin\'eaire  
tel que, dans ces coordonn\'ees, on ait $q=a_1X_1^2+a_2X_2^2+a_3X_3^2$
o\`u les $a_i$ sont des constantes.

\item Comment s'\'ecrit $b$ dans ces nouvelles coordonn\'ees $(X_1,X_2,X_3)$ ?
En d\'eduire une base \hfill\break 
$\B=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)$ orthogonale pour $b$.

\end{enumerate}

\end{document}