\documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[francais]{babel} \usepackage{amsmath,amssymb,latexsym} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcounter{exercice} \newcommand{\exercice } {\vspace{.2cm}\textbf{Exercice\addtocounter{exercice}{1} \arabic{exercice}.} } \setcounter {exercice}{0} \topmargin-2.8cm \oddsidemargin-2.4mm \textwidth17.3cm \textheight26.2cm \parskip=3pt \parindent=0pt \begin{document} \noindent \textbf{MAT244 - Ann\'{e}e universitaire 2011-2012 \hskip .5cm groupes 3-4 \hskip .5cm Feuille d'exercices 1 bis} \vskip .3cm \exercice Pour chaque fonction $f(x, y)$ d\'eterminer la forme quadratique $q_{x, y}(u, v)$ donnant dans la carte de coordonn\'ees $x, y$ le carr\'e de l'\'el\'ement de longueur sur le graphe $z=f(x, y)$. \begin{enumerate} \item $f : \R^2\mapsto \R, f(x, y)=x+y$ \item $f : \R^2\mapsto \R, f(x, y)=xy$ \item $f : \{ (x, y)\in R^2 ; x^2+y^2\leq 1\}\mapsto \R, f(x, y)=\sqrt{2-x^2-y^2}$ \item $f : \R^2\mapsto \R, f(x, y)=x^2-2xy+y^2$ \item $f : \R^2\mapsto \R, f(x, y)=y^3-3x^2y$ \end{enumerate} Pour chacun des exemples pr\'ec\'edents esquisser le graphe de $f$ et expliquer en quoi le dernier exemple s'approche de la carte du Y grenoblois donn\'ee dans l'introduction du cours. \exercice La forme quadratique $q_{x, y}(u, v)=(1+y^2)u^2+2xyuv+(1+x^2)v^2$ exprime-t-elle le carr\'e de l'\'el\'ement de longueur sur le graphe d'une fonction $f :\R^2\rightarrow \R$? Si oui la donner. M\^eme question pour la forme quadratique $q_{x, y} (u, v)=(1+y^2)u^2+4xyuv+(1+4x^2)v^2$. \exercice Montrer l'\'equivalence esquiss\'ee en cours entre le propri\'et\'es $(1)$ et $(3)$ ci-dessous caract\'erisant une famille ${\cal S}=(s_i)_{i\in I}$ libre de vecteurs $s_i\in E$ d'un espace vectoriel $E$~: \vskip 5mm $(1)$ Si $(\lambda_i)_{i\in I}$ est une famille presque nulle de scalaires $\lambda_i\in {\mathbb K}$ telle que la combinaison lin\'eaire $\sum_{i\in I}\lambda_i\cdot s_i=0$ est nulle alors la famille $(\lambda_i)_{i\in I}=0$ est nulle~: pour tout indice $i\in I, \lambda_i=0$. \vskip3mm $(3)$ aucun $s_i$ des vecteurs de la famille n'est $s_i=\sum_{j\in I\setminus\{i\}}\lambda_j\cdot s_j$ combinaison lin\'eaire des autres. \vskip5mm Donner et d\'emontrer la caract\'erisation $(2)$ que l'on n'a pas recopi\'ee ici. \exercice Supposons, dans un espace vectoriel $E$ de dimension $3$ muni d'une base $(i, j, k)$, que l'on effectue le changement de coordonn\'ees $ \left\{ \begin{array}{ll} x'=2x-y+z \\ y'=-x+2y+4z\\ z'=-4x+y+z \\ \end{array} \right.$ o\`u $(x, y, z)$ d\'esignent les coordonn\'ees dans la base $(i, j, k)$. A quelle base correspondent ces nouvelles coordonn\'ees? \exercice m\^eme question que dans l'exercice pr\'ec\'edent pour les changements de base~: $ \left\{ \begin{array}{ll} x'=2x+2y+z \\ y'=x+2y+z\\ z'=\quad\quad y+z \\ \end{array} \right. \quad\quad \left\{ \begin{array}{ll} x''=2x+3y+2z \\ y''=x+3y+2z\\ z''=\quad\quad y+z \\ \end{array} \right. \quad\quad \left\{ \begin{array}{ll} x'''=4x+2y+z \\ y'''=3x+2y+z\\ z'''=x+y+z \\ \end{array} \right.$ \exercice a) Prouver que si deux matrices carr\'ees $M, N\in M_n(\R)$ sont inversibles alors leur produit $M\cdot N$ est inversible et $(M\cdot N)^{-1}=N^{-1}\cdot M^{-1}$. b) Calculer les trois produits de matrice suivants~: $\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \cr 1 & 1& 0\cr 0&0&1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \cr 0 & 2& 1\cr 0&1&1\end{array}\right)\quad \left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \cr 1 & 1& 0\cr 0&0&1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \cr 0 & 3& 2\cr 0&1&1\end{array}\right)\quad \left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & 1 \cr 1 & 2& 1\cr 0&1&1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \cr 1 & 1& 0\cr 0&0&1\end{array}\right)$ d\'eduire de a) le fait que chacun est une matrice inversible et d\'eterminer son inverse. c) Utiliser ces r\'esultats pour v\'erifier la correction des r\'eponses donn\'ees \`a l'{\bf Exercice 5}. \exercice {\bf Auto-apprentissage} En utilisant la m\'ethode de l'exercice pr\'ec\'edent fabriquer chaque jour par produit des matrices \`a coeficients entiers inversibles dont l'inverse est aussi \`a coefficients entiers et se calcule simplement par produit. Ecrire les syst\`emes correspondants, r\'esoudre ces syst\`emes et v\'erifier la correction du r\'esultat \'a l'aide de la matrice inverse. \exercice On consid\`ere l'espace vectoriel $E=C^\infty(\R; \R)$. a) D\'eterminer les valeurs propres et les vecteurs propres correspondants de l'endomorphisme $D : E\rightarrow E, D(f)=f'$ de d\'erivation qui \`a chaque fonction $f\in E$ associe sa fonction d\'eriv\'ee. b) M\^eme question pour la restriction de $D$ au sous-espace~: $${\cal P}=\{f\in E\ ;\ \hbox{ il y a } P \in\R[X] \hbox{ tel que pour tout } x\in \R, f(x)=P(x)\}$$ invariant par d\'erivation form\'e des fonctions polynomiales. \exercice Soit $\Lambda\subset \C$ l'ensemble des valeurs propres d'un endomorphisme $f : E\rightarrow E$ d'un espace vectoriel complexe $E$ et $(e_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ une famille de vecteurs propres correspondants.\footnote{{\it c. a d.} pour tout $\lambda\in \Lambda$ on a $e_{\lambda}\in E\!\setminus\!\{0\}$ et $f(e_\lambda)=\lambda\cdot e_\lambda$.} En consid\'erant une \'eventuelle relation lin\'eaire $\sum_{\lambda\in\Lambda}z_{\lambda}\cdot e_{\lambda}=0$ non triviale choisie de {\it longueur} $ Card(\{\lambda\in\Lambda ; z_\lambda\ne0\})$ minimale, prouver que la famille $(e_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ est libre. D\'eduire de cet exercice et du pr\'ec\'edent une autre solution de l'{\bf Exercice 6} de la premi\`ere feuille. \exercice a) D\'eterminer les valeurs propres et les vecteurs propres correspondants de $$m : \C[X]\rightarrow \C[X],\ m(P)=X\cdot P$$ la multiplication par $X$ dans l'espace vectoriel des polyn\^omes. b) M\^eme question pour l'endomorphisme lin\'eaire~: $${\cal P} : C^0(\R ; \R)\rightarrow C^0(\R ; \R),\ {\cal P}(f)(x)=\int_0^xf(t)dt$$ {\it primitive s'annulant en} $0$ de l'espace vectoriel des fonctions r\'elles de continues sur $\R$. \exercice Soit $E$ un espace vectoriel r\'eel et une base $(e_i)_{i\in I}$ de $E$. On note $E_{\C}=E\times E$. a) La famille $(e_i, e_j)_{(i, j)\in I\times I}$ est-elle g\'en\'eratrice dans le $\R$-espace vectoriel $E_{\C}$? Est-elle libre? b) Prouver que la loi externe $\C\times E_{\C}\rightarrow E_{\C}, (x+yi)\cdot(u, v)=(x\cdot u-y\cdot v,y\cdot u+x\cdot v)$ fait de $E_{\C}$ un $\C$-espace vectoriel ayant $E=E\times\{0\}$ comme sous $\R$-espace vectoriel. c) Prouver que $(e_i, 0)_{i\in I}$ est une base du $\C$-espace vectoriel $E_\C$. d) Prouver que si $f : E\rightarrow E$ est un endomorphisme lin\'eaire de $E$ alors $$f_{\C} : E_{\C}\rightarrow E_{\C},\ f_{\C}(u, v)=(f(u), f(v))$$ est l'unique endomorphisme $\C$-lin\'eaire de $E_{\C}=E\times E$ respectant $E=E\times\{0\}$ et y induisant $f$. e) Soit $(u, v)\in E_{\C}$ un vecteur propre de $f_{\C}$ associ\'e \`a la valeur propre $\lambda=x+yi$. Prouver que~: e1) Le sous-espace $Vect(u, v)$ engendr\'e par $u$ et $v$ est invariant par $f$. e2) Si $u$ et $v$ sont lin\'eairement d\'ependants alors la valeur propre $\lambda=x\in \R$ est r\'eelle,\hfill\break sinon exprimer la matrice de la restriction $f_{|Vect(u, v)}$ dans la base $(u, v)$ de $Vect(u, v)$. \exercice Soit $f : E\rightarrow E$ un endomorphisme d'un espace vectoriel r\'eel $E$. Peut-on d\'eduire de l'exercice pr\'ec\'edent qu'il y a un sous espace $D\subset E$ tel que $f(D)\subset D$ et $dim_{\R}(D)\in\{1, 2\}$. b) Peut-on le d\'eduire si de plus l'epace $E$ de dimension finie? c) Peut-on le d\'eduire si de plus l'espace $E$ est non r\'eduit \`a $\{0\}$ et de dimension finie? \exercice Les notations sont celles de l'{\bf Exercice 1} expliquer g\'eom\'etriquement\footnote{On rappelle que si $t\mapsto c(t)=(x(t), y(t))\in\R^2$ est une courbe diff\'erentiable et $f : \R^2\rightarrow\R^2$ est diff\'erentiable la fonction $t\mapsto g(t)=f(c(t))$ est d\'erivable de d\'eriv\'ee $g'(t)=f'_x(x(t), y(t))x'(t)+f'_y(x(t), y(t))y'(t)$.} que, \`a $u^2+v^2$ fix\'e, $q_{x, y}(u, v)$ est minimum (resp. maximum) pour $(u, v)$ colin\'eaire \`a $(-f'_y, f'_x)$ (resp. $(f'_x, f'_y)$). \end{document}