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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\newcounter{qstct}[exo]
\newcommand{\qst}{\noindent\stepcounter{qstct}\arabic{qstct}.\hspace{0.1cm}}
\newcommand{\qstn}{\noindent\stepcounter{qstct}\hspace{0.1cm}}

\newcounter{sqct}[sqct]
\newcommand{\sq}{ \noindent\stepcounter{sqct}\textbf{\alph{sqct}.}\hspace{0.1cm}}

\def\b#1{{\mathbb{#1}}} % police en double barre (pour les corps, par exemple)
\def\l#1{{\mathcal{#1}}}

\begin{document}

\noindent
{\bf Université Joseph Fourier Grenoble I\hfill Année 2011/2012}

\begin{center}
\begin{large}
\textbf{MAT244 : Contrôle continu du 20 avril 2012} \\ Durée 2h00 -- documents et appareils électroniques interdits\\
Il est demandé une rédaction précise et soignée -- le barême dépassera largement 20 points, donc il n'est pas nécessaire de tout traiter pour atteindre la note maximale.
\end{large}
\end{center}

\noindent
\textbf{Question de cours.}
Soit $(E,\langle~~,~~\rangle)$ un espace hermitien de dimension finie 
sur~$\b C$. On rappelle qu'un endomorphisme unitaire est un endomorphisme
$u$ tel que $\Vert u(x)\Vert=\Vert x\Vert$ pour tout $x\in E$.\vskip3pt

\qst Donner au moins 3 autres caractérisations équivalentes d'un endomorphisme
unitaire $u$ en termes des propriétés de $u$ ou de sa matrice $A$ 
(avec les hypothèses et notations appropriées).
\vskip1mm

\qst Montrer que les valeurs propres d'un endomorphisme unitaire sont de module~$1$.

\vspace{0.25cm}
\begin{exo}${}$\vskip1mm
\qst Déterminer quel est le type géométrique de la conique 
$x^2+4xy+4y^2-x-y+1=0$ du plan euclidien $\b R^2$, et en donner l'équation réduite dans un repère orthonormé.

\qst Préciser la nature de la quadrique $x^2+4xy+4y^2+z^2-x-y+1=0$ dans
$\b R^3$.
\end{exo}

\begin{exo}

\qst Justifier sans calcul que la matrice $$A=\begin{pmatrix}
 0 & -3 & 1\\
 -3 & 0 & 1 \\
1 & 1 & -4
\end{pmatrix}$$ est diagonalisable.

\qst Montrer que le vecteur de coordonnées 
$\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ est un vecteur propre de $A$.

\qst Donner une base orthonormée (pour le produit scalaire euclidien usuel de $\b R^3$) qui diagonalise $A$. Quelle est la signature de la forme quadratique de matrice $A$~?

%\qst Donner l'énoncé de convergence de Dirichlet pour les sommes partielles de séries de Fourier.
\end{exo}
\vspace{6pt}

\begin{exo}
 On se place sur l'espace $E=C^0([-\pi,\pi],\b{R})$ des fonctions continues de $[-\pi,\pi]$ dans $\b{R}$, muni du produit scalaire  $\varphi$ défini par l'expression suivante :
$$
\varphi(f,g) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi} ^{\pi} \ f(x) \ g(x) \ dx.
$$ 

\qst On note ${\mathbb 1}$ la fonction constante $x\mapsto 1$. Vérifier que le système de fonctions $\mathcal{B} = ({\mathbb 1},\cos,\sin)$ engendre un sous-espace vectoriel $F$ de dimension 3 de $E$ et que $\mathcal{B}$ en est une
base orthogonale.

\qst Donner une formule générale pour la projection orthogonale $\pi_F:E\to F$~:
on spécifiera l'expression de $\pi_F(f)$ pour une fonction $f\in E$
quelconque.

\qst Trouver, en justifiant le résultat, un triplet $(a_0,b_0,c_0)$ dans $\b{R}^3$ 
qui minimise 
$$\frac{1}{2\pi}
\int_{-\pi} ^{\pi} \Big(x-a-b\cos x-c\sin x)^2 \ dx$$
et déterminer la valeur minimale de cette intégrale en utilisant le
théorème de Pythagore.

\qst Soit $G$ l'espace vectoriel engendré par $F$ et par la fonction
identique $x\mapsto x$. Déterminer une base orthonormée de $G$. 

\qst Expliciter la matrice $A$ de la forme quadratique $Q$ sur $\b R^4$ telle
que
$$
Q(a,b,c,d)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi} ^{\pi} \Big(a+b\cos x+c\sin x+dx)^2 \ dx
$$
et déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de $Q$.

\end{exo}

\end{document}